Eisimpleirean de Cheistean agus Deasbad mu Iomlaidean Deimhinnte
’S e bun-bheachd chudromach ann an àireamhachd a th’ anns an integral cinnteach, air a chleachdadh gu tric gus an raon fo lùb a lorg, meud nithean iom-fhillte obrachadh a-mach, agus airson mòran thagraidhean eile ann an innleadaireachd agus fiosaig. Chan e a-mhàin gu bheil beachdachadh air an integral cinnteach a’ toirt tuigse bhunasach air a’ bhun-bheachd seo ach cuideachd a’ neartachadh ar sgilean mion-sgrùdaidh matamataigeach. Tha an artaigil seo ag amas air eisimpleirean de dhuilgheadasan integral cinnteach a thoirt seachad còmhla ri deasbadan mionaideach.
Bun-bheachd Bunasach air Integral Deimhinnte
Mus tèid sinn a-steach do na duilgheadasan eisimpleireach, leig dhuinn sùil a thoirt air cuid de bhun-bheachdan mu integralan cinnteach. Tha an integral cinnteach, air a chomharrachadh le \(\int_a^bf(x) \, dx\), a’ riochdachadh an raon fo lùb na gnìomh \(f(x)\) bhon phuing \(x = a\) chun a’ phuing \(x = b\).
Gu matamataigeach, faodar an t-iomlan cinnteach bho \(a\) gu \(b\) den ghnìomh \(f(x)\) a chur an cèill mar:
[\int_a^bf(x)\, dx = F(b) – F(a)\]
far a bheil \(F(x)\) na fhrith-thoradh de \(f(x)\).
Ceistean Eisimpleir agus Deasbad
Seallaidh sinn air eisimpleirean de dhuilgheadasan iomlan cinnteach agus na còmhraidhean mun deidhinn.
Eisimpleir Ceist 1
Ceist:
Obraich a-mach an t-iomlan cinnteach den ghnìomh \(f(x) = 2x\) bho \(x = 1\) gu \(x = 3\).
Deasbad:
Gus an t-iomlan seo fhuasgladh, lorgaidh sinn an toiseach an t-antiderivative de \(f(x) = 2x\).
Is e an t-antiderivative de \(2x\):
[F(x) = x^2 + C]
Ach, ann an iomlaidean cinnteach chan eil feum againn air cunbhalachd an amalachaidh \(C\).
A-nis, cleachd crìochan nan integralan gus obrachadh a-mach:
[\int_1^3 2x \, dx = F(3) – F(1) \]
Obraich a-mach luach \(F(x)\) air na crìochan seo:
\[ F(3) = 3^2 = 9 \]
\[ F(1) = 1^2 = 1 \]
Mar sin,
[\int_1^3 2x\, dx = 9 – 1 = 8\]
Eisimpleir Ceist 2
Ceist:
Obraich a-mach an t-iomlan cinnteach den ghnìomh \(f(x) = x^2 + 1\) bho \(x = 0\) gu \(x = 2\).
Deasbad:
Lorg an t-antiderivative de \(f(x) = x^2 + 1\).
Is e an t-antiderivative de \(x^2\):
[ \frac{1}{3}x^3 \]
Is e an t-antiderivative de \(1\) \(x\).
Mar sin, is e an t-antiderivative de \(f(x)\):
[F(x) = \frac{1}{3}x^3 + x \]
A-nis, cleachd crìochan nan integralan gus obrachadh a-mach:
[\int_0^2 (x^2 + 1)\, dx = F(2) – F(0)\]
Obraich a-mach luach \(F(x)\) air na crìochan seo:
[F(2) = \frac{1}{3}(2)^3 + 2 = \frac{8}{3} + 2 = \frac{8}{3} + \frac{6}{3} = \frac{14}{3}]
[F(0) = \frac{1}{3}(0)^3 + 0 = 0 \]
Mar sin,
[\int_0^2 (x^2 + 1)\, dx = \frac{14}{3} – 0 = \frac{14}{3}\]
Eisimpleir Ceist 3
Ceist:
Obraich a-mach an t-iomlan cinnteach den ghnìomh \(f(x) = e^x\) bho \(x = 1\) gu \(x = 2\).
Deasbad:
Lorg an t-antiderivative de \(f(x) = e^x\).
Is e \(e^x) an t-ant-thoradh de \(e^x\).
A-nis, cleachd crìochan nan integralan gus obrachadh a-mach:
[\int_1^2 e^x\, dx = F(2) – F(1)\]
Obraich a-mach luach \(F(x)\) air na crìochan seo:
[F(2) = e^2]
[F(1) = e^1 = e]
Mar sin,
[\int_1^2 e^x \, dx = e^2 – e \]
Eisimpleir Ceist 4
Ceist:
Obraich a-mach an t-iomlan cinnteach den ghnìomh \(f(x) = \sin(x)\) bho \(x = 0\) gu \(x = \pi\).
Deasbad:
Lorg an t-antiderivative de \(f(x) = \sin(x)\).
Is e an t-atharrachadh aig sin(x) - cos(x).
A-nis, cleachd crìochan nan integralan gus obrachadh a-mach:
[int_0^πλην sin(x), dx = F(π) – F(0)]
Obraich a-mach luach \(F(x)\) air na crìochan seo:
\[ F(\pi) = -\ cos(\pi) = -(-1) = 1 \]
[F(0) = -cos(0) = -1]
Mar sin,
[\int_0^π \sin(x) \, dx = 1 – (-1) = 1 + 1 = 2 \]
Eisimpleir Ceist 5
Ceist:
Obraich a-mach an t-iomlan cinnteach den ghnìomh \(f(x) = \frac{1}{x}\) bho \(x = 1\) gu \(x = e\).
Deasbad:
Lorg an t-antiderivative de \(f(x) = \frac{1}{x}\).
Is e \(\ln|x|\) an t-atharrachadh-thoradh aig \(\frac{1}{x}\).
A-nis, cleachd crìochan nan integralan gus obrachadh a-mach:
[\int_1^e \frac{1}{x} \, dx = F(e) – F(1) \]
Obraich a-mach luach \(F(x)\) air na crìochan seo:
[F(e) = \ln(e) = 1 \]
[F(1) = \ln(1) = 0 \]
Mar sin,
[\int_1^e \frac{1}{x} \, dx = 1 – 0 = 1 \]
Co-dhùnadh
Tro na h-eisimpleirean gu h-àrd, tha sinn air a bhith a’ cleachdadh lorg iomlanan cinnteach de dhiofar ghnìomhan bunaiteach. Anns gach ceum, tha e cudromach an toiseach an t-atharrachadh-thoradh a lorg agus an uairsin crìochan an iomlan a chleachdadh gus an luach deireannach a lorg.
Tha pàirt riatanach aig iomlaidean cinnteach ann am mòran raointean sgrùdaidh agus cleachdaidhean practaigeach. Bidh tuigse air a’ bhun-bheachd seo agus cleachdadh le diofar eisimpleirean a’ neartachadh do sgilean matamataigs gu mòr.
