Eisimpleir de Cheistean Deasbaid Iomlan Neo-chinnteach
’S e bun-bheachd ann an àireamhachd a th’ anns an integral neo-chinnteach, air a chleachdadh gus an gnìomh tùsail a lorg bho ghnìomh a chaidh a thoirt a-mach às. Tha integral neo-chinnteach air a chomharrachadh leis an t-samhla ∫ agus an uair sin an gnìomh a tha ri amalachadh agus caochladair an amalachaidh. San artaigil seo, bruidhnidh sinn air grunn eisimpleirean de integralan neo-chinnteach agus na fuasglaidhean aca.
Eisimpleir Ceist 1: Iomlan Gnìomhan Polainomach
Ceist: Obraich a-mach an t-iomlan den ghnìomh \( f(x) = 3x^2 \).
Deasbad: Gus gnìomhan poileanomach a thoirt còmhla, bidh sinn a’ cleachdadh riaghailtean bunaiteach an amalachaidh, is iad sin:
[\int x^n\, dx = \frac{1}{n+1} x^{n+1} + C\]
A’ cleachdadh nan riaghailtean seo, is e seo an t-iomlan de \( 3x^2 \):
[\int 3x^2\, dx = 3\int x^2\, dx = 3 (\frac{1}{2+1} x^{2+1}) + C = 3 (\frac{1}{3} x^3) + C = x^3 + C)
Mar sin, ((int 3x^2, dx = x^3 + C).
Eisimpleir Ceist 2: Iomlan Gnìomhan Eas-chruthach
Ceist: Obraich a-mach an t-iomlan den ghnìomh \( f(x) = e^x \).
Deasbad: Tha an t-iomlan den ghnìomh eas-chruthach \( e^x \) glè shìmplidh leis gur e gnìomh a th’ anns an gnìomh \( e^x \) a tha gu tur neo-atharrachail fo obrachaidhean eadar-dhealaichte agus iomlan:
[\int e^x\, dx = e^x + C\]
Mar sin, ((int e^x, dx = e^x + C).
Eisimpleir Ceist 3: Iomlan Gnìomhan Triantan-eòlach
Ceist: Obraich a-mach an t-iomlan den ghnìomh \( f(x) = \sin(x) \).
Deasbad: Gus gnìomhan trigonometric a thoirt còmhla, feumaidh fios a bhith againn air na h-iomlanan bunaiteach de na gnìomhan sin. Is e aon de na dàimhean bunaiteach:
[int sin(x), dx = -cos(x) + C]
Mar sin, ((int sin(x), dx = -cos(x) + C)).
Eisimpleir Ceist 4: Iomlan Gnìomhan Bloigheach
Ceist: Obraich a-mach an t-iomlan den ghnìomh \( f(x) = \frac{1}{x} \).
Deasbad: Is e seo an t-iomlan den ghnìomh \( \frac{1}{x} \):
[\int \frac{1}{x} \, dx = \ln|x| + C\]
Mar sin, ((\int \frac{1}{x} \, dx = \ln|x| + C \).
Eisimpleir Ceist 5: Iomlan Gnìomhan Eas-chruthach Àicheil
Ceist: Obraich a-mach an t-iomlan den ghnìomh \( f(x) = x^{-2} \).
Deasbad: Airson \(n \neq -1 \), bidh sinn a’ cleachdadh an riaghailt bhunasach iomlanach:
[\int x^n\, dx = \frac{1}{n+1} x^{n+1} + C\]
Anns a' chùis seo, \(n = -2 \), mar sin:
[\int x^{-2} \, dx = \int x^{-2} \, dx = \frac{1}{-2+1} x^{-2+1} + C = \frac{1}{-1} x^{-1} + C = -x^{-1} + C = -\frac{1}{x} + C \]
Mar sin, (\int x^{-2} \, dx = -\frac{1}{x} + C \).
Eisimpleir Ceist 6: Iomlan Gnìomhan Co-mheasgaichte
Ceist: Obraich a-mach an t-iomlan den ghnìomh \( f(x) = 4x^3 – 3x^2 + 2x – 5 \).
Deasbad: Is urrainn dhuinn gach teirm a thoirt còmhla air leth le bhith a’ cleachdadh riaghailtean bunaiteach an amalachaidh:
[(4x^3 – 3x^2 + 2x – 5)), dx = 4x^3, dx – 3x^2, dx + 2x, dx – 5, dx]
A-nis bidh sinn a’ ceangal gach teirm leotha fhèin:
[\int 4x^3\, dx = 4\int x^3\, dx = 4 (\frac{1}{3+1} x^{3+1}) = 4 (\frac{1}{4} x^4) = x^4)
[\int 3x^2\, dx = 3\int x^2\, dx = 3 (\frac{1}{2+1} x^{2+1}) = 3 (\frac{1}{3} x^3) = x^3)
[\int 2x\, dx = 2\int x\, dx = 2\left(\frac{1}{1+1} x^{1+1} ) = 2\left(\frac{1}{2} x^2 ) = x^2 \]
[\int 5 \, dx = 5x \]
A’ cur nan toraidhean seo ri chèile, gheibh sinn:
[\int (4x^3 – 3x^2 + 2x – 5)\, dx = x^4 – x^3 + x^2 – 5x + C\]
Mar sin, (((4x^3 – 3x^2 + 2x – 5)), dx = x^4 – x^3 + x^2 – 5x + C).
Co-dhùnadh
Tha an t-integral neo-chinnteach na bhun-bheachd glè chudromach ann an àireamhachd agus tha grunn riaghailtean ann a tha ga dhèanamh nas fhasa diofar sheòrsaichean ghnìomhan a thoirt còmhla. San artaigil seo, tha sinn air grunn eisimpleirean de integralan neo-chinnteach a dheasbad, a’ gabhail a-steach poileanomaidean, eas-chruthan, gnìomhan trigonometric, bloighean, gnìomhan le eas-chruthan àicheil, agus measgachadh de ghnìomhan. Bidh tuigse agus maighstireachd air na riaghailtean bunaiteach seo de integralan glè fheumail ann a bhith a’ fuasgladh diofar dhuilgheadasan àireamhachd.
Chan e a-mhàin gu bheil iomlaidean neo-chinnteach cudromach ann an teòiridh matamataigeach, ach tha tagraidhean farsaing aca cuideachd ann am fiosaig, innleadaireachd, agus raointean eile. Le cleachdadh gu leòr, bidh e nas fhasa agus nas fhasa diofar ghnìomhan a thoirt còmhla.
