Ceistean Eisimpleir agus Deasbad mu Thaobhan ri Earrannan Cònach
Pendahuuan
Is e earrann cònaigeach lùb a thig bho eadar-ghearradh plèana le còn dà-phòlach. Tha na lùban sin a’ toirt a-steach cearcallan, eileipsean, parabolas, agus hipearbolas. Is e aon chuspair cudromach ann a bhith a’ tuigsinn earrannan cònaigeach an loidhne-suathaidh. Is e suathadh ri earrann cònaigeach loidhne a bhios a’ beantainn ris a’ lùb cònaigeach aig aon phuing a-mhàin. Bruidhnidh an t-artaigil seo air grunn eisimpleirean de dhuilgheadasan agus deasbad air suathadh ri earrannan cònaigeach.
Beantainn ri Cearcall
Is e cearcall earrann cònaigeach aig a bheil an cumadh as sìmplidh agus co-chothromachd foirfe. Tòisichidh sinn le eisimpleir de dhuilgheadas mu dheidhinn tangentan ri cearcall.
Eisimpleir Ceist 1
Ma tha cearcall ann leis a’ cho-aontar _( (x – 2)^2 + (y + 3)^2 = 25 _). Obraich a-mach co-aontar na loidhne-suathaidh aig a’ phuing _(5, -3)_) air a’ chearcall.
Deasbad
Is e co-aontar coitcheann cearcaill _((x – h)^2 + (y – k)^2 = r^2_), le _((h, k)_) mar mheadhan a’ chearcaill agus _(r_) mar an radius. Anns a’ cheist seo, is e _(2, -3)_) meadhan a’ chearcaill _((h, k)_) agus is e an radius _(r = _sqrt{25} = 5_).
Gheibhear an loidhne-suathaidh aig a’ phuing \((x_1, y_1)\) air a’ chearcall leis an fhoirmle a leanas:
[(x – h)(x_1 – h) + (y – k)(y_1 – k) = r^2]
Cuir a-steach luachan aithnichte:
\[ (x – 2)(5 – 2) + (y + 3)(-3 + 3) = 25 \]
\[ (x – 2)(3) + (y + 3)(0) = 25 \]
[3(x – 2) = 25]
\[ 3x – 6 = 25 \]
\[3x = 31 \]
[x = \frac{31}{3} \]
Is e co-aontar na loidhne-suathaidh _(x = \frac{31}{3}_), ach tha mearachd san dòigh seo leis gu bheil am puing _((5, -3)_) gu soilleir na phuing air a’ chearcall. Mar sin, bidh sinn a’ cleachdadh an dòigh thraidiseanta le bhith a’ cur claonadh na loidhne-suathaidh an àite a’ phuing shònraichte seo:
Is e am puing-suathaidh, \((5, -3)\), an uairsin, is e \(m = \frac{-3 – (-3)}{5 – 2}=0\) claonadh (m) na loidhne-rèididh, far a bheil claonadh na loidhne-suathaidh a’ fàs neo-mhìnichte airson an suathaidh dhìreach roimhe.
Loidhne-suathaidh ri Ellipse
Is e earrann cònaigeach a th’ ann an eileips aig a bheil dà ais co-chothromachd: ais mhòr (fada) agus ais bheag (goirid). Seo eisimpleirean de dhuilgheadasan le eileipsean.
Eisimpleir Ceist 2
Ma tha eileips ann leis a’ cho-aontar \(\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1\). Obraich a-mach co-aontar na loidhne-suathaidh aig a’ phuing \((2, \frac{3}{2})\) air an eileips.
Deasbad
Is e co-aontar na loidhne-suathaidh ris an eileips \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\) aig a’ phuing \((x_1, y_1)\):
[ \frac{xx_1}{a^2} + \frac{yy_1}{b^2} = 1 \]
Le \(a = 4\) agus \(b = 3\), cuir na luachan airson \(a\), \(b\), agus a’ phuing \((2, \frac{3}{2})\) an àite a chèile:
[ \frac{x(2)}{4^2} + \frac{y(\frac{3}{2})}{3^2} = 1 \]
[ \frac{2x}{16} + \frac{3y}{6} = 1 \]
[ \frac{x}{8} + \frac{y}{2} = 1 \]
Iomadaich an co-aontar gu lèir le 8 gus na bloighean a thoirt air falbh:
[x + 4y = 8]
Mar sin, is e co-aontar na loidhne-suathaidh ris an eileips \( x + 4y = 8 \).
Loidhne-suathaidh gu Parabola
Is e earrann cònaigeach le aon ais co-chothromachd agus aon cheann-loidhne a th’ ann am parabola. Seo eisimpleirean de dhuilgheadasan le parabolan.
Eisimpleir Ceist 3
Ma tha parabola againn leis a’ cho-aontar _(y^2 = 4x_). Obraich a-mach co-aontar na loidhne-suathaidh aig a’ phuing _((1, 2)_) air a’ pharabola.
Deasbad
Is e co-aontar na loidhne-suathaidh ris a’ pharabola (y^2 = 4ax) aig a’ phuing (x_1, y_1)):
[yy_1 = 2a(x + x_1)]
Bho cho-aontar a’ pharabola (y² = 4x), gheibh sinn (4a = 4) agus mar sin (a = 1). Cuir luach (a) agus a’ phuing (1, 2)) an àite sin:
[2y = 2(1)(x + 1)]
[2y = 2x + 2]
[y = x + 1]
Mar sin, is e co-aontar na loidhne-suathaidh ris a’ pharabola _(y = x + 1_).
Loidhne-suathaidh gu Hipearbola
Is e earrann cònaigeach le dà mheur agus dà asimptot a th’ ann an hipearbola. Seo eisimpleirean de dhuilgheadasan le hipearbolan.
Eisimpleir Ceist 4
Ma tha hipearbola ann leis a’ cho-aontar _( \frac{x^2}{25} – \frac{y^2}{16} = 1 \). Obraich a-mach co-aontar na loidhne-suathaidh aig a’ phuing _(5, 0)\) air an hipearbola.
Deasbad
Is e co-aontar na loidhne-suathaidh ris an hipearbola \(\frac{x^2}{a^2} – \frac{y^2}{b^2} = 1\) aig a’ phuing \((x_1, y_1)\):
[ \frac{xx_1}{a^2} – \frac{yy_1}{b^2} = 1 \]
Le (a = 5) agus (b = 4), cuir na luachan (a), (b) agus am puing (5, 0)) an àite:
[ \frac{x(5)}{25} – \frac{y(0)}{16} = 1 \]
[ \frac{5x}{25} – 0 = 1 \]
[ \frac{x}{5} = 1 \]
\[x = 5 \]
Mar sin, is e co-aontar na loidhne-suathaidh ris an hipearbola \(x = 5 \).
Co-dhùnadh
Tha pàirt chudromach aig beantan ri earrannan cònaigeach ann am matamataig agus diofar chleachdaidhean practaigeach. Tha tuigse air mar a lorgas tu co-aontaran beantan ri diofar sheòrsaichean de earrannan cònaigeach, leithid cearcallan, eileipsean, parabolan, agus hipearbolan, na sgil riatanach ann an àireamhachd agus geoimeatraidh anailiseach. Leis na h-eisimpleirean agus na còmhraidhean gu h-àrd, thathar an dòchas gum faigh luchd-leughaidh tuigse nas fheàrr air na bun-bheachdan agus na modhan airson beantan ri earrannan cònaigeach a dhearbhadh.
