Ceistean Eisimpleir agus Deasbad mu Sgaoileadh Cothrom
’S e sgaoileadh coltachd aon de na bun-bheachdan ann an staitistig agus coltachd. Tha e air a chleachdadh gus tuigse fhaighinn air coltachd diofar luachan àireamh air thuaiream. Faodaidh sgaoilidhean coltachd iomadh cruth a ghabhail a rèir nàdar an dàta a thathar a’ sgrùdadh. Is iad an dà sheòrsa sgaoilidh coltachd as cumanta sgaraichte agus leantainneach. San artaigil seo, nì sinn ath-sgrùdadh air grunn eisimpleirean de dhuilgheadasan agus bruidhnidh sinn air sgaoilidhean coltachd gus ar cuideachadh le bhith a’ tuigsinn a’ chuspair seo nas fheàrr.
Sgaoileadh Sònraichte
'S e sgaoileadh a th' ann an sgaoileadh neo-sgaraichte a bhios ag obrachadh a-mach coltachd caochladair air thuaiream neo-sgaraichte, 's e sin, caochladair nach urrainn ach luachan sònraichte a ghabhail. 'S e eisimpleirean ainmeil de chuairteachadh neo-sgaraichte an Sgaoileadh Binomial agus an Sgaoileadh Poisson.
Eisimpleir 1: Sgaoileadh dà-thomach
Tha an sgaoileadh binomial a’ toirt cunntas air an àireamh de shoirbheasan ann an sreath de dheuchainnean Bernoulli. Tha dà thoradh aig gach deuchainn Bernoulli: soirbheachas no fàilligeadh. Tha coltachd soirbheachais seasmhach tron deuchainn.
Ceist:
Tha companaidh chungaidhean-leighis a’ dèanamh deuchainn air droga ùr air 10 euslaintich. Tha coltachd 0.7 ann gum bi an droga ag obair ann an aon euslainteach sam bith. Obraich a-mach an coltachd gum bi an droga ag obair ann an dìreach 7 a-mach à 10 euslaintich.
Deasbad:
Tha an caochladair air thuaiream \(X\) a’ leantainn sgaoileadh dà-thaobhach le \(n = 10\) agus \(p = 0.7\). Is e gnìomh coltachd dà-thaobhach:
[P(X = k) = \binom{n}{k} p^k(1 – p)^{n – k}]
Airson \(k = 7\):
[P(X = 7) = \binom{10}{7} (0.7)^7 (0.3)^3 \]
A’ tomhas an co-èifeachd dà-thaobhach \(\binom{10}{7}\):
\[ \binom{10}{7} = \frac{10!}{7!(10-7)!} = \frac{10!}{7!3!} = 120 \]
A’ tomhas luachan coltachd:
[P(X = 7) = 120 × (0.7)^7 × (0.3)^3]
[P(X = 7) timcheall air 120 × 0.0823543 × 0.027]
[P(X = 7) timcheall air 0.231]
Mar sin, tha coltachd gum bi an droga ag obair ann an dìreach 7 a-mach à 10 euslaintich mu 0.231 no 23.1%.
Eisimpleir 2: Sgaoileadh Poisson
Tha an sgaoileadh Poisson air a chleachdadh gus modaladh a dhèanamh air an àireamh de thachartasan tachartas tearc taobh a-staigh ùine no raon àite sònraichte.
Ceist:
Bidh bùth a’ faighinn 4 luchd-ceannach san uair air a’ chuibheasachd. Dè an coltachd gum faigh a’ bhùth dìreach 5 luchd-ceannach ann an aon uair?
Deasbad:
Tha an caochladair air thuaiream \(X\) a’ leantainn sgaoileadh Poisson le paramadair \(\lambda = 4\). Is e gnìomh mais coltachd Poisson:
[P(X = k) = \frac{\lambda^ke^{-\lambda}}{k!} \]
Airson \(k = 5\):
[P(X = 5) = \frac{4^5 e^{-4}}{5!} \]
Cunntadh:
[P(X = 5) = \frac{1024 \cdot e^{-4}}{120} \]
[P(X = 5) timcheall air 1024 ≥ 0.0183}{120}]
[P(X = 5) timcheall air 0.156]
Mar sin, tha coltachd mu 0.156, no 15.6% gum faigh an stòr dìreach 5 luchd-ceannach ann an aon uair.
Sgaoileadh Leantainneach
Bithear a’ cleachdadh sgaoilidhean leantainneach nuair as urrainn don chaochladair air thuaiream a thathar a’ tomhas luach sam bith a ghabhail taobh a-staigh raon sònraichte. ’S e eisimpleirean ainmeil de sgaoilidhean leantainneach an Sgaoileadh Àbhaisteach agus an Sgaoileadh Eas-chruthach.
Eisimpleir 3: Sgaoileadh Àbhaisteach
'S e an Sgaoileadh Àbhaisteach, ris an canar gu tric an Sgaoileadh Gaussian, sgaoileadh a thathas a' cleachdadh gu cumanta ann an diofar raointean, nam measg saidheans, innleadaireachd agus eaconamas.
Ceist:
Tha àirdean fhireannach inbheach ann am baile-mòr air an sgaoileadh gu h-àbhaisteach le cuibheasachd de 170 cm agus claonadh àbhaisteach de 10 cm. Dè an coltachd gu bheil fear a thèid a thaghadh air thuaiream eadar 160 cm agus 180 cm a dh'àirde?
Deasbad:
Feumaidh sinn an sgòr-z obrachadh a-mach airson 160 cm agus 180 cm. Tha an sgòr-z air a mhìneachadh mar:
\[ Z = \frac{X - \mu}{\sigma} \]
Airson \(X = 160\):
\[ Z_{160} = \frac{160 – 170}{10} = -1 \]
Airson \(X = 180\):
\[ Z_{180} = \frac{180 – 170}{10} = 1 \]
A-nis feumaidh sinn sùil a thoirt air na luachan coltachd bho -1 gu 1 anns a’ chlàr z. Tha an luach bho z = -1 gu z = 1 timcheall air 0.6826.
Mar sin, tha coltachd gum bi fear a thèid a thaghadh air thuaiream eadar 160 cm agus 180 cm a dh'àirde timcheall air 0.6826 neo 68.26%.
Eisimpleir 4: Sgaoileadh Eas-chruthach
Tha an Sgaoileadh Eas-chruthach air a chleachdadh gus modaladh a dhèanamh air an ùine eadar tachartasan ann am pròiseas Poisson.
Ceist:
Is e 15 mionaidean an ùine chuibheasach eadar dà neach-ceannach a’ ruighinn stòr. Dè an coltachd gu bheil an ùine eadar dà neach-ceannach a’ ruighinn nas lugha na 10 mionaidean?
Deasbad:
Tha paramadair _lambda_ aig an Sgaoileadh Eas-chruthach a tha na chaochladh den chuibheasachd (_mu_). Le cuibheas de 15 mionaidean:
[lambda = \frac{1}{\mu} = \frac{1}{15} = 0.0667 \]
Is e gnìomh an sgaoilidh carnach eas-chruthach:
[P(X ≤ x) = 1 – e^{-Δx}]
Airson \(x = 10\):
[P(X ≤ 10) = 1 – e^{-0.0667 × 10}]
[P(X ≤ 10) = 1 – e^{-0.667}]
[P(X ≤ 10) = timcheall air 1 – 0.5134]
[P(X ≤ 10) timcheall air 0.4866]
Mar sin, tha coltachd gum bi an ùine eadar dà neach-ceannach a’ ruighinn nas lugha na 10 mionaidean mu 0.4866 neo 48.66%.
Co-dhùnadh
Tha sgaoilidhean coltachd, an dà chuid sgaraichte agus leantainneach, nan bun-bheachdan glè fheumail airson modaladh agus tuigse fhaighinn air giùlan caochladairean air thuaiream. Bithear a’ cleachdadh an sgaoilidh binomial agus Poisson gu tric airson caochladairean sgaraichte, agus tha an sgaoilidh àbhaisteach agus an sgaoilidh eas-chruthach nan eisimpleirean de chuairteachadh leantainneach.
Tro na h-eisimpleirean gu h-àrd, tha sinn an dòchas gu bheil tuigse nas fheàrr agad air mar a nì thu obrachadh a-mach agus mìneachadh air coltachdan ann an cuairteachaidhean coltachd. Le cleachdadh cunbhalach, bidh do chomas air cuairteachaidhean coltachd a thuigsinn a’ fàs nas fheàrr agus faodar a chur an sàs thar diofar chuspairean.
