Eisimpleirean de Cheistean a’ Deasbad Sreathan Àireamhachd
Tha sreathan àireamhachd nam bun-bheachd ann am matamataig a nochdas gu tric ann an diofar dhuilgheadasan, an dà chuid san àrd-sgoil agus ann am foghlam àrd-ìre. Tha a’ bhun-bheachd seo a’ toirt a-steach sreath de àireamhan far a bheil gach teirm mar thoradh air àireamh sheasmhach a chur ris no a thoirt air falbh bhon teirm roimhe. San artaigil seo, bruidhnidh sinn air grunn eisimpleirean de dhuilgheadasan agus na fuasglaidhean aca gus tuigse nas fheàrr fhaighinn air bun-bheachd nan sreathan àireamhachd.
A’ Tuigsinn Sreathan Àireamhachd
Is e sreath àireamhachd sreath aig a bheil eadar-dhealachadh cunbhalach (diofar) eadar dà theirm leantainneach. Mar eisimpleir, ma tha a’ chiad theirm _(a) agus an diofar _(d) ann an sreath àireamhachd, faodar na teirmean a sgrìobhadh mar a leanas:
[a, a + d, a + 2d, a + 3d, ...]
Ma tha sinn airson an n-mh teirm den t-sreath seo a lorg, is e seo foirmle an n-mh teirm (\(U_n\)):
[U_n = a + (n-1)d]
Aig an aon àm, faodar suim a’ chiad n teirmean de shreath àireamhachd (\(S_n\)) obrachadh a-mach leis an fhoirmle:
[S_n = \frac{n}{2} (2a + (n-1)d)]
Ceistean Eisimpleir agus Deasbad
Eisimpleir Ceist 1
Ceist: Ma tha sreath àireamhachd ann leis a’ chiad teirm _(a = 5)_ agus an diofar choitcheann _(d = 3)_. Lorg an 10mh teirm den t-sreath.
Deasbad:
Gus an 10mh teirm (\(U_{10}\)) a lorg, is urrainn dhuinn foirmle an n-mh teirm a chleachdadh:
[U_{10} = a + (10-1)d]
[U_{10} = 5 + (9 ³)]
\[ U_{10} = 5 + 27 \]
\[ U_{10} = 32 \]
Mar sin, is e 32 an 10mh teirm den t-sreath.
Eisimpleir Ceist 2
Ceist: Lorg suim a’ chiad 15 teirmean den t-sreath àireamhachd aig a bheil a’ chiad teirm _(a = 4)_ agus an diofar cumanta _(d = 7)_.
Deasbad:
Gus suim a’ chiad 15 teirmean (\(S_{15}\)) a lorg, is urrainn dhuinn am foirmle a chleachdadh airson suim a’ chiad n teirmean:
[S_{15} = \frac{15}{2} (2a + (15-1)d)]
[S_{15} = \frac{15}{2} (2 ≤ 4 + 14 ≤ 7)]
[S_{15} = \frac{15}{2} (8 + 98)]
[S_{15} = \frac{15}{2} \cdot 106 \]
[S_{15} = 15 ≈ 53]
\[ S_{15} = 795 \]
Mar sin, is e 795 suim a’ chiad 15 teirmean den t-sreath.
Eisimpleir Ceist 3
Ceist: Tha fios againn gur e 20 an 5mh teirm de shreath àireamhachd agus gur e 48 an 12mh teirm. Lorg a’ chiad teirm (\(a\)) agus an diofar cumanta (\(d\)) den t-sreath.
Deasbad:
Bho na cumhaichean a chaidh a thoirt seachad:
\[ U_5 = a + 4d = 20 \]
\[ U_{12} = a + 11d = 48 \]
Tha dà cho-aontar loidhneach againn le dà chaochladair as urrainn dhuinn fhuasgladh:
1. \(a + 4d = 20 \)
2. \(a + 11d = 48 \)
Bho cho-aontar 1, is urrainn dhuinn \(a\) a chur an cèill a thaobh \(d\):
[a = 20 – 4d]
A-nis cuiridh sinn \(a\) an àite co-aontar 2:
\[ 20 – 4d + 11d = 48 \]
\[ 20 + 7d = 48 \]
\[ 7d = 28 \]
\[d = 4 \]
A-nis cuiridh sinn luach \(d\) a-steach don cho-aontar \(a = 20 – 4d\):
[a = 20 – 4 ⋅ 4]
[a = 20 – 16]
\[ a = 4 \]
Mar sin, is e 4 a’ chiad teirm den t-sreath agus is e 4 an diofar cumanta.
Eisimpleir Ceist 4
Ceist: Cia mheud teirm a tha a dhìth airson sreath àireamhachd leis a’ chiad teirm _(a = 2_) agus an diofar choitcheann _(d = 5_) gus suim 200 fhaighinn?
Deasbad:
Anns a’ chùis seo, feumaidh sinn suim a’ chiad n teirmean (\(S_n\)) a lorg a tha co-ionann ri 200. Cleachd am foirmle airson suim a’ chiad n teirmean:
[S_n = \frac{n}{2} (2a + (n-1)d) = 200 \]
Cuir luachan \(a\) agus \(d\) an àite:
[\frac{n}{2} (2 ≤ 2 + (n-1) ≤ 5) = 200 \]
\[ \frac{n}{2} (4 + 5n – 5) = 200 \]
\[ \frac{n}{2} (5n – 1) = 200 \]
[n(5n – 1) = 400]
Is e co-aontar ceàrnagach a tha seo. Gus a fhuasgladh, atharraichidh sinn a chruth:
[5n^2 – n – 400 = 0]
Cleachd am foirmle ceàrnagach \(ax^2 + bx + c = 0\):
[n = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}]
Anns a’ chùis seo (a = 5), (b = -1), agus (c = -400):
[n = \frac{-(-1) pm \sqrt{(-1)^2 – 4 ⋅5 ⋅(-400)}}{2 ⋅5}]
[n = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8000}}{10} \]
[n = \frac{1 \pm \sqrt{8001}}{10} \]
Tha luach \(\sqrt{8001}\) faisg air 89.42, agus mar sin:
[n = \frac{1 \pm 89.42}{10} \]
Gabhaidh sinn ris na luachan adhartach:
\[ n = \frac{1 + 89.42}{10} \]
[ n \approx \frac{90.42}{10} \]
\[ n \timcheall air 9.042 \]
Mar sin, is e 9 teirmean an àireamh theirmean a tha a dhìth (ma thèid a chuairteachadh).
Co-dhùnadh
Tha sreathan àireamhachd nam prìomh chuspair ann am matamataig. Tha tuigse mhionaideach air a’ chiad teirm, an diofar choitcheann, an n-mh teirm, agus suim a’ chiad n teirmean air leth luachmhor airson fuasgladh fhaighinn air raon farsaing de dhuilgheadasan. Le bhith a’ cleachdadh nan eisimpleirean agus nan deasbadan gu h-àrd, thathar an dòchas gum faigh luchd-leughaidh tuigse nas fheàrr air bun-bheachdan sreathan àireamhachd.
