Eisimpleirean de Cheistean a’ Deasbad Àireamhan Iom-fhillte
Tha àireamhan iom-fhillte nan cuspair a bhios tric a’ tighinn am bàrr ann am matamataig aig ìrean àrd-sgoile agus colaiste. Tha àireamhan iom-fhillte air an dèanamh suas de dhà phàirt: pàirt fhìor agus pàirt mac-meanmnach. A’ cleachdadh comharradh àbhaisteach, sgrìobhar àireamh iom-fhillte mar \(z = a + bi \), far a bheil \(a \) agus \(b \) nan àireamhan fìor, agus \(i \) na aonad mac-meanmnach leis an fheart \(i^2 = -1 \). Còmhdaichidh an artaigil seo grunn eisimpleirean agus an deasbad a thaobh àireamhan iom-fhillte, bho obrachaidhean bunaiteach gu tagraidhean ann am fuasgladh cheistean.
Ceistean Eisimpleir agus Deasbad
1. Cur-ris agus Toirt-às Àireamhan Co-fhillte
Ceist 1
Leig le \( z_1 = 3 + 4i \) agus \( z_2 = 1 - 2i \). Obraich a-mach \( z_1 + z_2 \) agus \( z_1 – z_2 \).
Deasbad
Gus àireamhan iom-fhillte a chur ri chèile no a thoirt air falbh, bidh sinn dìreach ag obrachadh a’ phàirt fhìor leis an fhìor agus a’ phàirt mac-meanmnach leis an phàirt mhac-meanmnach.
Cur-ris:
\[
z_1 + z_2 = (3 + 4i) + (1 – 2i) = (3 + 1) + (4i – 2i) = 4 + 2i
\]
Toirt air falbh:
\[
z_1 – z_2 = (3 + 4i) – (1 – 2i) = (3 – 1) + (4i + 2i) = 2 + 6i
\]
Mar sin, \( z_1 + z_2 = 4 + 2i \) agus \( z_1 - z_2 = 2 + 6i \).
2. Iomadachadh Àireamhan Co-fhillte
Ceist 2
Obraich a-mach toradh \(z_1 = 2 + 3i \) le \(z_2 = 4 – i \).
Deasbad
Gus dà àireamh iom-fhillte iomadachadh, bidh sinn a’ cleachdadh feart sgaoilidh ailseabra:
\[
z_1 ⋅ z_2 = (2 + 3i)(4 – i)
\]
Bidh sinn ag iomadachadh gach pàirt:
\[
2 ≤ 4 + 2 ≤ (-i) + 3i ≤ 4 + 3i ≤ (-i)
\]
\[
= 8 – 2i + 12i – 3i^2
\]
Bho \( i^2 = -1 \), an uairsin:
\[
= 8 – 2i + 12i + 3 = 11 + 10i
\]
Mar sin, is e an toradh \(z_1 \cdot z_2 \) \(11 + 10i \).
3. Roinneadh Àireamhan Co-fhillte
Ceist 3
Obraich a-mach co-mheas \(z_1 = 3 + 4i \) le \(z_2 = 1 – i \).
Deasbad
Gus àireamh iom-fhillte a roinn, bidh sinn ag iomadachadh an àireamhaiche agus an t-ainmiche leis an co-mheasgaiche den ainmiche den àireamh iom-fhillte. Is e co-mheasgaiche \(1 – i \) \(1 + i \).
\[
∫3 + 4i}{1 – i} ∫1 + i}{1 + i = ∫(3 + 4i)(1 + i)}{(1 – i)(1 + i)
\]
Feuchaidh sinn ri obrachadh a-mach an t-ainmiche an toiseach:
\[
(1 – i)(1 + i) = 1 – i^2 = 1 – (-1) = 2
\]
A-nis bidh sinn a’ tomhas an àireamhair:
\[
(3 + 4i)(1 + i) = 3 + 3i + 4i + 4i^2 = 3 + 7i + 4(-1) = 3 + 7i – 4 = -1 + 7i
\]
Mar sin, is e an toradh:
\[
\frac{-1 + 7i}{2} = -\frac{1}{2} + \frac{7}{2}i
\]
4. Modúl agus Argamaid Àireamhan Co-fhillte
Ceist 4
Obraich a-mach am modúl agus an argamaid aig \(z = 1 + i \).
Deasbad
Is e modúl an àireimh iom-fhillte (z = a + bi):
\[
|z| = \sqrt{a^2 + b^2}
\]
Airson \(z = 1 + i \), tha \(a = 1 \) agus \(b = 1 \) againn:
\[
|z| = √{1^2 + 1^2} = √{2}
\]
Is e argamaid àireamh iom-fhillte an ceàrn _(\theta \) a tha air a chruthachadh leis an ais fhìor dheimhinneach, air a thomhas bhon tùs a dh’ionnsaigh a’ phuing _((a, b) \).
\[
θ = tan^{-1}(b}{a)
\]
\[
\theta = \tan^{-1}(1) = \frac{\pi}{4}
\]
Mar sin, is e modulas (z = 1 + i) ≥ 2 agus is e (frac{π}{4) an argamaid.
5. Foirm Eas-chruthach agus Pàtran Euler
Ceist 5
Tionndaidh an àireamh iom-fhillte \(z = 1 + i \) gu cruth eas-chruthach.
Deasbad
Cruth eas-chruthach àireamhan iom-fhillte a’ cleachdadh foirmle Euler:
\[
z = re^{i\theta}
\]
Far a bheil r a’ riochdachadh a’ mhodail agus theta an argamaid. Bho’n deasbad roimhe, tha fios againn gu bheil:
\[
r = √², √¹ = √¼
\]
Mar sin, is e an cruth eas-chruthach:
\[
z = √(2) e^{iπ/4}
\]
6. Freumhan Àireamhan Co-fhillte
Ceist 6
Lorg freumhan ceàrnagach na h-àireimh iom-fhillte (z = -1).
Deasbad
Gheibhear freumhan ceàrnagach àireamhan iom-fhillte le bhith a’ cleachdadh cruth pòlar no eas-chruthach. Bidh sinn ag atharrachadh \(z = -1 \) gu cruth eas-chruthach:
\[
z = -1 = e^{i\pi}
\]
Faodar freumh ceàrnagach \( e^{i\pi} \) a sgrìobhadh mar:
\[
z_k = ∫sqrt{r} ⋅ e^{i(θ + 2kπ)/n}
\]
Le (r = 1), (heta = π), (n = 2), agus (k = 0, 1):
\[
z_0 = e ^{i(\pi + 2 \cdot 0 \cdot \ pi)/2} = e^{i\pi/2} = i
\]
\[
z_1 = e ^{i(\pi + 2 \cdot 1 \cdot \ pi)/2} = e^{i3\pi/2} = -i
\]
Mar sin, is iad freumhaichean ceàrnagach \(-1 \) \(i \) agus \(-i \).
7. Cleachdaidhean ann an Co-aontaran Ceàrnagach
Ceist 7
Fuasgail an co-aontar ceàrnagach (z² + 4z + 13 = 0).
Deasbad
Is urrainn dhuinn am foirmle ceàrnagach a chleachdadh:
\[
z = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}
\]
Airson a’ cho-aontar \( z^2 + 4z + 13 = 0 \):
\[
a = 1, b = 4, c = 13
\]
\[
z = \frac{-4 ± 16 – 52}}{2 1} = \frac{-4 ± 36}}{2} = \frac{-4 ± 6i}{2} = -2 ± 3i
\]
Mar sin, is iad fuasglaidhean \( z^2 + 4z + 13 = 0 \) \( z = -2 + 3i \) agus \( z = -2 – 3i \).
Co-dhùnadh
’S e bun-bheachd matamataigeach farsaing a th’ ann an àireamhan iom-fhillte le iomadh cleachdadh. Le bhith a’ tuigsinn obrachaidhean bunaiteach leithid cur-ris, toirt-air-falbh, iomadachadh agus roinneadh, a bharrachd air mar a nì sinn obrachadh a-mach modulas agus argamaid, is urrainn dhuinn diofar dhuilgheadasan a tha a’ buntainn ri àireamhan iom-fhillte fhuasgladh. Tha sinn an dòchas gun cuidich na h-eisimpleirean gu h-àrd thu gus an cuspair seo a thuigsinn agus a mhaighstir nas fheàrr.
