Eisimpleirean de Cheistean a’ Deasbad Sreathan Geoimeatrach
’S e bun-bheachd matamataig a th’ ann an sreathan geoimeatrach a bhios tric air an teagasg san àrd-sgoil. Tha na sreathan seo air an dèanamh suas de sheata de dh’àireamhan, agus gach fear dhiubh na thoradh den àireamh roimhe le cunbhalach ris an canar “co-mheas”. Còmhdaichidh an t-artaigil seo grunn eisimpleirean de dhuilgheadasan agus deasbadan mu shreathan geoimeatrach, an dòchas cuideachadh le luchd-leughaidh tuigse nas fheàrr fhaighinn air a’ bhun-bheachd seo.
A’ Tuigsinn Sreathan Geoimeatrach
Is e sreath àireamhan a th’ ann an sreath geoimeatrach a thèid a chruthachadh le bhith ag iomadachadh a’ chiad àireamh (a) le co-mheas stèidhichte (r). San fharsaingeachd, is e seo cruth coitcheann sreath geoimeatrach:
[ a, ar, ar^2, ar^3, \ldots, ar^{n-1} \]
An seo:
– ’S e “a” a’ chiad teirm den t-sreath.
– ’S e “r” co-mheas aon theirm ris an teirm roimhe.
– ’S e “n” an n-mh teirm san t-sreath.
Ceistean Eisimpleir agus Deasbad
Bruidhnidh sinn air beagan eisimpleirean de dhuilgheadasan gus barrachd tuigse fhaighinn air sreathan geoimeatrach.
Eisimpleir Ceist 1
Ceist:
Ma tha sreath geoimeatrach ann far a bheil a’ chiad theirm (a) co-ionann ri 3 agus an co-mheas (r) co-ionann ri 2, faigh a-mach:
1. An 5mh teirm den t-sreath.
2. Suim a’ chiad 6 teirmean den t-sreath.
Deasbad:
1. Faodar an 5mh teirm (U5) obrachadh a-mach le bhith a’ cleachdadh na foirmle airson an nmh teirm de shreath geoimeatrach, is e sin:
[U_n = a ⋅ r^{n-1}]
A’ cur a = 3, r = 2, agus n = 5 an àite na foirmle:
[U_5 = 3 ≥ 2^{5-1}]
[U_5 = 3 ⋅ 2^4]
[U_5 = 3 ≥ 16]
\[ U_5 = 48 \]
Mar sin, is e 48 an 5mh teirm den t-sreath.
2. Faodar suim a’ chiad 6 teirmean (S6) de shreath geoimeatrach obrachadh a-mach le bhith a’ cleachdadh na foirmle airson suim a’ chiad n teirmean, is iad sin:
[S_n = a ((r^n – 1}{r – 1))]
A’ cur a = 3, r = 2, agus n = 6 an àite na foirmle:
[S_6 = 3 ((2^6 – 1))]
[S_6 = 3 (frac{64 – 1}{1})]
[S_6 = 3 (63 deas)]
\[S_6 = 189 \]
Mar sin, is e 189 suim a’ chiad 6 teirmean den t-sreath.
Eisimpleir Ceist 2
Ceist:
Tha 3mh teirm de 27 agus 5mh teirm de 243 aig sreath geoimeatrach. Obraich a-mach luach a’ chiad teirm (a) agus an co-mheas (r).
Deasbad:
Ma tha U3 = 27 agus U5 = 243. A’ cleachdadh na foirmle airson an nmh teirm de shreath geoimeatrach:
[U_n = a ⋅ r^{n-1}]
Airson U3:
[U_3 = a ⋅ r^2]
[27 = a ⋅ r²] [(1)]
Airson U5:
[U_5 = a ⋅ r^4]
[243 = a ⋅ r²] [(2)]
A’ dèanamh coimeas eadar co-aontaran (1) agus (2) gus cuir às do:
[\frac{U_5}{U_3} = \frac{a r^4}{a r^2} \]
[ \frac{243}{27} = r^2 \]
\[ 9 = r^2 \]
[ r = 3 no r = -3]
Cuir luach r a-steach don cho-aontar (1):
Ma tha r = 3:
[27 = a ≥ 3^2]
[27 = a ≥ 9]
\[ a = 3 \]
Ma tha r = -3:
[27 = a ≈ (-3)^2]
[27 = a ≥ 9]
\[ a = 3 \]
Mar sin, is e 3 a’ chiad teirm (a), agus faodaidh an co-mheas (r) a bhith 3 no -3.
Eisimpleir Ceist 3
Ceist:
Lorg suim neo-chrìochnach an t-sreath geoimeatrach a leanas ma tha a’ chiad teirm (a) co-ionann ri 8 agus an co-mheas (r) co-ionann ri 1/2.
Deasbad:
Faodar suim neo-chrìochnach sreath geoimeatrach obrachadh a-mach leis an fhoirmle:
[S_{\infty} = \frac{a}{1 – r}]
A’ cur a = 8 agus r = 1/2 an àite na foirmle:
[S_{\infty} = \frac{8}{1 – \frac{1}{2}}]
[S_{\infty} = \frac{8}{\frac{1}{2}} \]
\[ S_{\infty} = 8 \times 2 \]
\[ S_{\infty} = 16 \]
Mar sin, is e 16 suim neo-chrìochnach an t-sreath geoimeatrach.
Eisimpleir Ceist 4
Ceist:
Tha dàrna teirm de 12 agus ceathramh teirm de 108 aig sreath geoimeatrach. Obraich a-mach an co-mheas agus a’ chiad teirm den t-sreath.
Deasbad:
Air a thoirt seachad \(U_2 = 12 \) agus \(U_4 = 108 \). A’ cleachdadh na foirmle airson an n-mh teirm de shreath geoimeatrach:
Airson \(U_2 \):
[U_2 = a \cdot r \]
[12 = a ⋅ r] [(1)]
Airson \(U_4 \):
[U_4 = a ⋅ r^3]
[108 = a ⋅ r²] [(2)]
A’ dèanamh coimeas eadar co-aontaran (1) agus (2) gus cuir às do:
[\frac{U_4}{U_2} = \frac{a r^3}{a r} \]
[ \frac{108}{12} = r^2 \]
\[ 9 = r^2 \]
[ r = 3 no r = -3]
Cuir luach r a-steach don cho-aontar (1):
Ma tha r = 3:
[12 = a ≥ 3]
\[ a = 4 \]
Ma tha r = -3:
[12 = a ≈ 3]
[a = -4]
Mar sin, faodaidh a’ chiad teirm (a) a bhith 4 no -4, agus faodaidh an co-mheas (r) a bhith 3 no -3.
Co-dhùnadh
’S e bun-bheachd matamataigeach cudromach a th’ ann an sreathan geoimeatrach a thathas a’ cleachdadh gu tric ann an diofar raointean. Le bhith a’ tuigsinn nam bunaitean agus a’ cleachdadh sgilean fuasgladh-cheistean, tha sinn an dòchas gum bi sinn nas eòlaiche ann a bhith a’ tuigsinn agus a’ cur a’ bhun-bheachd an sàs. Tha grunn eisimpleirean de dhuilgheadasan agus deasbadan san artaigil seo gus cuideachadh le luchd-leughaidh sreathan geoimeatrach ionnsachadh agus a thuigsinn nas doimhne. Tha sinn an dòchas gu bheil seo feumail!
