Eisimpleirean de Cheistean a’ Deasbad Sreathan is Seicheamhan
’S e bun-bheachdan matamataig a th’ ann an sreathan agus sreathan, agus bidh sinn tric a’ tighinn tarsainn orra bho bhun-sgoil gu colaisde. ’S e cruinneachadh de dh’àireamhan a th’ ann an sreath air an rèiteachadh a rèir riaghailt shònraichte, agus ’s e suim theirmean an t-sreath sin a th’ ann an sreath. San artaigil seo, bruidhnidh sinn air grunn eisimpleirean de dhuilgheadasan agus bruidhnidh sinn air sreathan agus sreathan.
Eisimpleir 1: Sreath Àireamhachd
Ceist:
Ma tha sreath àireamhachd ann leis a’ chiad theirm (a) = 3 agus an diofar (d) = 5. Obraich a-mach:
1. An 10mh teirm den t-sreath.
2. Suim a’ chiad 20 teirm den t-sreath.
Deasbad:
1. 10mh teirm
Is e am foirmle airson an n-mh teirm de shreath àireamhachd:
\[
U_n = a + (n-1)d
\]
Airson an 10mh teirm (U_10):
\[
U_{10} = 3 + (10-1) ≥ 5 = 3 + 45 = 48
\]
2. Suim a’ Chiad 20 Teirmean
Is e am foirmle airson suim a’ chiad n teirmean (S_n) de shreath àireamhachd:
\[
S_n = \frac{n}{2} (2a + (n-1)d)
\]
Airson suim a’ chiad 20 teirm (S_20):
\[
S_{20} = \frac{20}{2} (2 \cdot 3 + (20-1) \cdot 5) = 10 (6 + 95) = 10 \cdot 101 = 1010
\]
Eisimpleir 2: Sreath Geoimeatrach
Ceist:
Ma tha sreath geoimeatrach ann leis a’ chiad theirm (a) = 4 agus an co-mheas (r) = 2. Obraich a-mach:
1. An 6mh teirm den t-sreath.
2. Suim a’ chiad 8 teirm den t-sreath.
Deasbad:
1. 6mh teirm
Is e seo am foirmle airson an n-mh teirm de shreath geoimeatrach:
\[
U_n = a ∫r^{(n-1)}
\]
Airson an 6mh teirm (U_6):
\[
U_{6} = 4 ²^{(6-1)} = 4 ²^5 = 4 32 = 128
\]
2. Suim a’ Chiad 8 Teirmean
Is e am foirmle airson suim a’ chiad n teirmean (S_n) de shreath geoimeatrach:
\[
S_n = a \frac{r^n – 1}{r – 1}
\]
Airson suim a’ chiad 8 teirm (S_8):
\[
S_{8} = 4 \frac{2^8 – 1}{2 – 1} = 4 \frac{256 – 1}{1} = 4 \cdot 255 = 1020
\]
Eisimpleir 3: Sreath neo-chrìochnach geoimeatrach co-chruinneachaidh
Ceist:
Ma tha sreath geoimeatrach ann leis a’ chiad teirm (a) = 1 agus an co-mheas (r) = 1/2. Obraich a-mach suim an t-sreath neo-chrìochnach.
Deasbad:
Is e am foirmle airson suim sreath neo-chrìochnach (S_∞) de shreath geoimeatrach co-chruinneachaidh:
\[
S_{\infty} = \frac{a}{1 – r}
\]
Mar sin airson an t-sreath seo:
\[
S_{\infty} = \frac{1}{1 – \frac{1}{2}} = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2
\]
Eisimpleir 4: Sreathan agus Seicheamhan de Àireamhan Ceàrnagach
Ceist:
Ma tha sreath de dh’àireamhan ceàrnagach ann leis a’ chiad theirm (U_1) = 1, an dàrna teirm (U_2) = 4, agus an treas teirm (U_3) = 9. Obraich a-mach an 5mh teirm den t-sreath. An e sreath àireamhachd no sreath geoimeatrach a tha seo? Mìnich.
Deasbad:
1. 5mh teirm
Is e pàtran sreath de dh’àireamhan ceàrnagach:
\[
U_n = n^2
\]
Airson an 5mh teirm (U_5):
\[
U_{5} = 5^2 = 25
\]
2. Seòrsa Loidhne
Gus dèanamh cinnteach a bheil an sreath seo àireamhachdail no geoimeatrach, thoir sùil air an diofar eadar na teirmean (an diofar cumanta) agus an co-mheas eadar na teirmean:
– An diofar eadar teirmean (d):
\[
U_2 – U_1 = 4 – 1 = 3
U_3 – U_2 = 9 – 4 = 5
\]
Leis nach eil an diofar seasmhach, chan eil an sreath seo àireamhachdail.
– Co-mheas eadar-threubhach (r):
\[
\frac{U_2}{U_1} = \frac{4}{1} = 4 \\
\frac{U_3}{U_2} = \frac{9}{4} = 2.25
\]
Leis nach eil an co-mheas eadar teirmean seasmhach, chan eil an sreath seo geoimeatrach.
Mar sin, chan e sreath àireamhachd no sreath geoimeatrach a tha san t-sreath seo de àireamhan ceàrnagach, ach sreath sònraichte a leanas pàtran nan àireamhan ceàrnagach.
Eisimpleir 5: Sreath Àireamhachd Neo-chrìochnach
Ceist:
A bheil e comasach suim sreath àireamhachd neo-chrìochnach obrachadh a-mach? Ma tha, thoir eisimpleir. Mura h-eil, mìnich carson.
Deasbad:
Eu-coltach ri sreathan geoimeatrach, mar as trice chan eil suim chrìochnaichte aig sreathan àireamhachd neo-chrìochnach. Tha seo air sgàth 's gu bheil gach teirm ag àrdachadh no a' lùghdachadh gu loidhneach, agus mar sin bidh an t-suim a' sìor fhàs gun chrìoch.
Mar eisimpleir, smaoinich air sreath àireamhachd neo-chrìochnach leis a’ chiad teirm 1 agus an diofar cumanta 1:
\[
1 + 2 + 3 + 4 + \ldots
\]
Ma dh’fheuchas sinn ri an suimeachadh, bidh e soilleir nach tig an t-sreath còmhla ri luach stèidhichte, ach gun ruig e neo-chrìochnach. Mar sin, tha suim sreath àireamhachd neo-chrìochnach, san fharsaingeachd, neo-chrìochnach agus chan urrainnear a thomhas mar shreath geoimeatrach co-chruinneachaidh.
-
San artaigil seo, tha sinn air grunn eisimpleirean de dhuilgheadasan a chòmhdach agus air sreathan is sreathan a dheasbad. Tha sinn air sreathan àireamhachd is geoimeatrach ath-sgrùdadh, air faicinn mar a nì sinn obrachadh a-mach an teirm n-mh agus suim a’ chiad theirmean aca, agus air ceistean a fhreagairt mu shreathan neo-chrìochnach. Le bhith a’ tuigsinn nam bun-bheachdan is nan eisimpleirean seo, tha sinn an dòchas gum bi thu a’ faireachdainn nas misneachaile nuair a bhios tu a’ dèiligeadh ri sreathan is sreathan ann am matamataig.
