Eisimpleirean de Cheistean agus Deasbad air Riaghailt na Slabhraidh ann an Toraidhean
’S e riaghailt na slabhraidh aon de na bun-bheachdan as bunaitiche ann an àireamhachd eadar-dhealaichte, air a chleachdadh gus an t-atharrachadh de ghnìomh a tha air a dhèanamh suas de dhà ghnìomh no barrachd obrachadh a-mach. San artaigil seo, bruidhnidh sinn air bun-bheachd riaghailt na slabhraidh, mar a chleachdas tu i, agus eisimpleirean de a cleachdadh ann an duilgheadasan atharrachaidh a bhios tric ag èirigh san àrd-sgoil agus sa cholaiste.
1. Ro-ràdh don Riaghailt Slabhraidh
Mus tèid sinn a-steach don eisimpleir de dhuilgheadas, tuigidh sinn an toiseach dè a th’ ann an riaghailt na slabhraidh. Tha riaghailt na slabhraidh ag ràdh ma tha dà ghnìomh eadar-dhealaichte againn (f) agus (g), agus ma tha sinn airson an t-atharrachadh a lorg air co-dhèanamh nan gnìomhan (h = f(g(x))), is e an t-atharrachadh de (h):
[ h'(x) = f'(g(x)) ⋅ g'(x)]
Ann am faclan sìmplidh, bidh sinn a’ tomhas an t-atharrachadh den ghnìomh a-muigh air g(x), agus an uairsin bidh sinn ag iomadachadh an toraidh leis an t-atharrachadh den ghnìomh a-staigh \(g(x) \).
2. A’ Tuigsinn Gnìomh na Co-dhèanamh
Mus tèid sinn a-steach do na duilgheadasan eisimpleireach, tha e cudromach tuigsinn gnìomhan co-dhèanamh. Is e gnìomh co-dhèanamh gnìomh a gheibhear le bhith a’ cur aon ghnìomh a-steach do ghnìomh eile. Mar eisimpleir, ma tha \( f(x) = \sin(x) \) agus \( g(x) = x^2 \) againn, bidh co-dhèanamh an dà ghnìomh \( h(x) = f(g(x)) = \sin(x^2) \).
Ann an gnìomhan co-dhèanamh, bidh sinn tric a’ smaoineachadh air \(g(x) \) mar an “gnìomh a-staigh” agus \(f(x) \) mar an “gnìomh a-muigh”. San eisimpleir seo, is e \(x^2 \) an gnìomh a-staigh agus is e sine an gnìomh a-muigh.
3. Eisimpleirean de Cheistean agus Deasbad
Seallaidh sinn air eisimpleirean de dhuilgheadasan a bhios a’ cleachdadh riaghailt na slabhraidh gus an fhuasgladh.
Eisimpleir 1:
Ma tha an gnìomh (y = cos(3x^2)) againn, lorg a’ chiad thoradh de y a thaobh x.
Deasbad:
An toiseach, comharraichidh sinn na gnìomhan a-staigh agus a-muigh. An seo, is e g(x) = 3x^2 an gnìomh a-staigh agus is e f(g) = cos(g) an gnìomh a-muigh.
Tha fios againn:
1. \(g'(x) = 6x \)
2. \( f'(g) = -\sin(g) \)
Leis an riaghailt slabhraidh, gheibh sinn:
[y' = f'(g(x)) ⋅ g'(x) = -sin(3x^2) ⋅ 6x]
Mar sin, is e an t-atharrachadh de (y = cos(3x^2)):
[y' = -6x \sin(3x^2) \]
Eisimpleir 2:
Lorg a’ chiad thoradh de \( h(x) = e^{5x^3 + 2x} \).
Deasbad:
An seo, is e \(g(x) = 5x^3 + 2x \) an gnìomh a-staigh agus is e \(f(g) = e^g \) an gnìomh a-muigh.
Tha fios againn:
1. \(g'(x) = 15x^2 + 2 \)
2. \( f'(g) = e^g \)
Leis an riaghailt slabhraidh, gheibh sinn:
[h'(x) = f'(g(x)) ⋅g'(x) = e^{5x^3 + 2x} ⋅(15x^2 + 2)]
Mar sin, is e an t-atharrachadh de \( h(x) = e^{5x^3 + 2x} \) seo:
\[ h'(x) = (15x^2 + 2)e^{5x^3 + 2x} \]
Eisimpleir 3:
Lorg a’ chiad thoradh de (y = ln(4x^2 – 5)).
Deasbad:
Is e an gnìomh a-staigh \(g(x) = 4x^2 – 5 \) agus is e an gnìomh a-muigh \(f(g) = \ln(g) \).
Tha fios againn:
1. \(g'(x) = 8x \)
2. \( f'(g) = \frac{1}{g} \)
Leis an riaghailt slabhraidh, gheibh sinn:
[y' = f'(g(x)) ⋅ g'(x) = \frac{1}{4x^2 – 5} ⋅ 8x \]
Mar sin, is e an t-atharrachadh de \( y = \ln(4x^2 – 5) \):
[y' = \frac{8x}{4x^2 – 5} \]
Eisimpleir 4:
Ma tha an gnìomh \( y = (3x^2 + 2x + 1)^4 \) ann, lorg an t-atharrachadh aige.
Deasbad:
Is e an gnìomh a-staigh \(g(x) = 3x^2 + 2x + 1 \) agus is e an gnìomh a-muigh \(f(g) = g^4 \).
Tha fios againn:
1. \(g'(x) = 6x + 2 \)
2. \( f'(g) = 4g^3 \)
Leis an riaghailt slabhraidh, gheibh sinn:
[y' = f'(g(x)) ⋅ g'(x) = 4(3x^2 + 2x + 1)^3 ⋅ (6x + 2)]
Mar sin, is e an t-atharrachadh de \( y = (3x^2 + 2x + 1)^4 \) seo:
[y' = 4(3x^2 + 2x + 1)^3 (6x + 2)]
4. Cùisean Sònraichte agus Leasachadh Riaghailtean Slabhraidh
Uaireannan, chan eil an riaghailt slabhraidh a’ stad aig co-dhèanamh dà ghnìomh a-mhàin. Bidh amannan ann nuair a bhios gnìomh na cho-dhèanamh de chòrr is dà ghnìomh, mar eisimpleir: \( h(x) = f(g(k(x))) \).
Airson trì gnìomhan, faodar an riaghailt slabhraidh a chur an sàs ann an sreathan:
[ h'(x) = f'(g(k(x))) ⋅ g'(k(x)) ⋅ k'(x)]
Chì sinn, anns gach sreath, gu bheil sinn a’ tomhas toraidhean nan sreathan a-muigh mus gluais sinn air adhart gu toraidhean nan sreathan a-staigh.
Eisimpleir 5:
Ma tha (y = \sqrt{\ln(2x^2 + 1)} ann, lorg an t-atharrachadh aige.
Deasbad:
Is e an gnìomh as fhaide a-staigh (k = 2x^2 + 1), am meadhan (g = ln(k)) agus am fear a-muigh (f = g).
Tha fios againn:
1. \(k'(x) = 4x \)
2. \(g'(k) = \frac{1}{k} \)
3. \( f'(g) = \frac{1}{2\sqrt{g}} \)
Cuireamaid an riaghailt slabhraidh an sàs ann an sreathan:
[y' = f'(g(k(x))) ⋅ g'(k(x)) ⋅ k'(x) = \frac{1}{2\sqrt{\ln(2x^2 + 1)}} ⋅ \frac{1}{2x^2 + 1} ⋅ 4x \]
Mar sin, is e an t-atharrachadh de \( y = \sqrt{\ln(2x^2 + 1)} \) seo:
[y' = \frac{4x}{2(2x^2 + 1)\sqrt{\ln(2x^2 + 1)}}]
5. Kesimpulan
Tha pàirt riatanach aig riaghailt na slabhraidh ann an àireamhachd eadar-dhealaichte, gu h-àraidh nuair a thathar a’ dèiligeadh ri co-dhèanamh ghnìomhan. Tha tuigse agus maighstireachd riaghailt na slabhraidh a’ toirt bunait làidir airson dèiligeadh ri duilgheadasan nas iom-fhillte ann an àireamhachd. Tha an artaigil seo air grunn eisimpleirean cudromach a dheasbad gus tuigse làidir a thoirt seachad air mar a thathar a’ cleachdadh riaghailt na slabhraidh ann an toraidhean. Tha sinn an dòchas gu bheil an deasbad seo feumail do dh’ oileanaich agus gun gabh a chur an sàs ann an grunn shuidheachaidhean matamataigeach dùbhlanach.
