Eisimpleirean de Cheistean a’ Deasbad nan Riaghailtean airson Beàrnan a lìonadh
’S e bun-bheachd ann am matamataig agus coltachd a th’ ann an riaghailt lìonadh-àite, no riaghailt suidheachaidh, a tha glè fheumail ann an iomadh suidheachadh. Mar as trice, bithear a’ cleachdadh na riaghailt seo ann an co-theacsa rudan a chur ann an òrdugh sònraichte no ann an diofar rèiteachaidhean. San artaigil seo, bruidhnidh sinn air grunn eisimpleirean de dhuilgheadasan a tha a’ toirt a-steach riaghailt lìonadh-àite, a’ toirt seachad fuasglaidhean mionaideach airson gach fear.
Pendahuuan
’S e lìonadh-àite dòigh-obrach chumanta a thathas a’ cleachdadh ann an co-mheasgaidhean, raon matamataig a bhios a’ sgrùdadh rèiteachadh, cothlamadh agus taghadh nithean. ’S e aon de na prionnsapalan bunaiteach ann an co-mheasgaidhean riaghailt an iomadachaidh, a tha ag ràdh ma tha grunn ìrean ann am pròiseas agus ma tha àireamh shònraichte de roghainnean aig gach ìre, faodar an àireamh iomlan de rèiteachaidhean a dh’ fhaodadh a bhith ann fhaighinn le bhith ag iomadachadh àireamh nan roghainnean anns gach ìre.
Mar eisimpleir, ma tha dà ìre againn far a bheil \(m\) roghainnean aig a’ chiad ìre agus \(n\) roghainnean aig an dàrna ìre, is e \(m\) uiread n\) an àireamh iomlan de rèiteachaidhean a dh’ fhaodadh a bhith ann.
Feuchaidh sinn ris a’ bhun-bheachd seo a chleachdadh gus beagan eisimpleirean de dhuilgheadasan fhuasgladh.
Eisimpleir 1: A’ cur leabhraichean air sgeilp
Ceist:
Tha 5 leabhraichean eadar-dhealaichte ann agus sgeilp leabhraichean le 5 àiteachan ri lìonadh. Cia mheud dòigh anns an gabh na còig leabhraichean a chur air an sgeilp?
Deasbad:
Anns a’ chùis seo, feumaidh sinn na còig leabhraichean a chur ann an còig àiteachan eadar-dhealaichte. ’S e duilgheadas permutation a tha seo oir tha òrdugh deatamach. ’S urrainn dhuinn riaghailt lìonadh-àite no riaghailt iomadachaidh a chleachdadh gus an duilgheadas seo fhuasgladh.
1. Airson a’ chiad rùm, tha 5 roghainnean leabhraichean againn.
2. Às dèidh aon leabhar a chur sa chiad rùm, tha 4 roghainnean leabhraichean againn air fhàgail airson an dàrna rùm.
3. Airson an treas seòmar, tha 3 roghainnean leabhraichean againn air fhàgail, agus mar sin air adhart.
Is e an co-aontar airson an àireamh iomlan de shuidheachaidhean:
[5 uairean 4 uairean 3 uairean 2 uairean 1 = 5! = 120]
Mar sin, tha 120 dòigh ann air na còig leabhraichean a chur ann an òrdugh.
Eisimpleir 2: Faclan a dhèanamh à diofar litrichean
Ceist:
Cia mheud facal eadar-dhealaichte a ghabhas cruthachadh le bhith a’ cleachdadh nan litrichean uile anns an fhacal “MATHAMATICS”, gun an ath-aithris?
Deasbad:
Feumaidh sinn an toiseach faicinn cia mheud litir a tha anns an fhacal "MATAMATAIG". Tha 11 litrichean ann, agus tha cuid dhiubh air an ath-aithris. Is iad seo na litrichean a thèid ath-aithris:
– M cho mòr ri 2
- Uiread ri 3
– Uiread ri 2
– Nochdaidh na litrichean eile (E, I, K) aon uair gach fear.
Bidh sinn a’ cleachdadh foirmle an ath-chuairteachaidh airson eileamaidean ath-aithrisichte, is iad sin:
[ \frac{n!}{n_1! \times n_2! \times \ldots \times n_k!} \]
far a bheil \(n \) an àireamh iomlan de eileamaidean (litrichean) agus \(n_1, n_2, \ldots, n_k \) an àireamh ath-aithrisean de gach eileamaid fa leth.
Leis an fhacal “MATAMATAIG”:
[n = 11, n_1 = 2 (M), n_2 = 3 (A), n_3 = 2 (T), n_4 = 1 (E), n_5 = 1 (I), n_6 = 1 (K)]
Mar sin, is e an àireamh de dh’fhaclan a ghabhas cruthachadh:
[ \frac{11!}{2! \uair 3! \uair 2! \uair 1! \uair 1! \uair 1!} = \frac{39916800}{2 \uair 6 \uair 2 \uair 1 \uair 1 \uair 1} = \frac{39916800}{24} = 1663200 \]
Tha 1,663,200 facal eadar-dhealaichte ann a ghabhas cruthachadh.
Eisimpleir 3: A’ dearbhadh àireamh nan cothlamadh ann am Martabak
Ceist:
Tha còig roghainnean lìonaidh aig neach-reic martabak (càise, seoclaid, cnòthan-talmhainn, banana, agus reasanan). Ma tha neach-ceannach airson trì de na còig lìonaidhean a thaghadh airson am martabak aca, cia mheud measgachadh eadar-dhealaichte as urrainn dhaibh a thaghadh?
Deasbad:
Is e duilgheadas co-thàthaidh a tha seo, chan e permutation, oir chan eil an òrdugh cudromach. Bidh sinn a’ cleachdadh foirmle a’ cho-thàthaidh:
\[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(nk)!} \]
far a bheil n an àireamh iomlan de roghainnean, agus k an àireamh de roghainnean a chaidh a ghabhail.
Airson a’ chùis seo, tha n = 5 agus k = 3, mar sin:
[C(5, 3) = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5!}{3! \times 2!} = \frac{120}{6 \times 2} = \frac{120}{12} = 10 \]
Tha 10 measgachadh eadar-dhealaichte ann airson 3 susbaint a thaghadh bho 5 roghainnean.
Eisimpleir 4: Rèiteachadh Chom-pàirtichean ann am Maidse
Ceist:
Tha 8 com-pàirtichean ann an rèis ruith. Cia mheud dòigh anns am faodar na 3 as fheàrr a crìochnachadh a chur?
Deasbad:
Is e seo duilgheadas permutation gun ath-aithris oir tha suidheachadh a’ ciallachadh gu bheil òrdugh cudromach. Bidh sinn a’ cleachdadh foirmle an permutation:
\[ P(n, k) = \frac{n!}{(nk)!} \]
Airson a’ chùis seo, tha (n = 8) agus (k = 3) ann, agus an uairsin:
[P(8, 3) = \frac{8!}{(8-3)!} = \frac{8!}{5!} = \frac{40320}{120} = 336 \]
Mar sin, tha 336 dòigh ann airson na trì prìomh àiteachan de 8 com-pàirtichean a chur.
San artaigil seo, tha sinn air beachdachadh air grunn eisimpleirean de dhuilgheadasan agus na fuasglaidhean aca a’ cleachdadh riaghailtean lìonadh-àite ann an grunn shuidheachaidhean: bho bhith a’ cur leabhraichean air sgeilp gu bhith a’ dearbhadh buannaiche farpais. Le bhith a’ tuigsinn nam bunaitean seo, gheibh thu barrachd misneachd ann a bhith a’ fuasgladh nan diofar dhuilgheadasan co-mheasgaichte agus coltachd a dh’ fhaodadh tu a thighinn tarsainn orra.
