Athraitheas agus Diall Caighdeánach Sonraí Grúpa
Is brainse den mhatamaitic í an staitistic a úsáidtear chun sonraí a bhailiú, a eagrú, a anailísiú, a léirmhíniú agus a chur i láthair. Coincheap tábhachtach amháin sa staitistic is ea tomhas athraitheachta, nó scaipeadh sonraí. Is iad an t-athraitheas agus an diall caighdeánach dhá phríomhbheart athraitheachta. Scrúdóidh an t-alt seo an t-athraitheas agus an diall caighdeánach go mion, go háirithe i gcomhthéacs sonraí grúpa.
Sainmhíniú agus Tábhacht na hÉagsúlachta
Tomhaiseann athraitheacht cé chomh fada agus a scaipeann sonraí óna meán. Tá tábhacht le tomhas athraitheachta mar go soláthraíonn sé léargais bhreise nach féidir a fháil go hiomlán ó thomhais den chlaonadh lárnach, amhail an meán. Trí thomhas na athraitheachta a bheith ar eolas againn, is féidir linn a thuiscint cé chomh comhsheasmhach is atá na sonraí agus eisceachtaí nó neamhghnáchaíochtaí féideartha a aithint.
Tuiscint ar Éagsúlacht agus ar Dhiall Caighdeánach
Is tomhas ar dháileadh sonraí é an athraitheacht a léiríonn cé chomh fada agus atá gach pointe sonraí óna mheán in aonaid chearnacha. Tugtar é leis an tsiombail \( \sigma^2 \) do dhaonra agus \(s^2 \) do shampla. Is é seo an fhoirmle le haghaidh athraitheachta do shonraí daonra:
[ \sigma^2 = \frac{\sum(X_i – \mu)^2}{N} \]
Maidir leis an sampla, seo an fhoirmle:
[ s^2 = \frac{\sum(X_i – \bar{X})^2}{n-1} \]
An mana:
– Is é \(X_i \) an luach sonraí aonair
– Is é \( \mu \) meán an daonra
– Is é \( \bar{X} \) meán an tsampla
– Is é \(N \) méid an daonra
– Is é \(n \) méid an tsampla
Is é an Diall Caighdeánach fréamh chearnach an athraitheas. Tugtar é leis an tsiombail _( \sigma \) do dhaonra agus _(s \) do shampla. Tugann an diall caighdeánach na haonaid sonraí ar ais chuig a bhfoirm bhunaidh, rud a fhágann go bhfuil sé níos éasca a léirmhíniú ná an athraitheas.
[ \sigma = \sqrt{\sigma^2} \]
[s = \sqrt{s^2} \]
Sonraí Grúpa
Is sonraí grúpáilte iad sonraí atá aicmithe i roinnt catagóirí nó eatraimh. Mar shampla, roinntear airde na mac léinn ina eatraimh 150-155 cm, 155-160 cm, agus mar sin de. Éilíonn anailís ar athraitheas agus diall caighdeánach ar shonraí grúpáilte cur chuige beagán difriúil ná mar a éilíonn anailís ar shonraí aonair.
Céimeanna chun Éagsúlacht agus Diall Caighdeánach a Ríomh le haghaidh Sonraí Grúpa
Seo a leanas na céimeanna chun an t-athraitheas agus an diall caighdeánach de shonraí an ghrúpa a ríomh:
1. Cruthaigh Tábla Dáilte Minicíochta
– Roinntear sonraí ina roinnt ranganna nó eatraimh.
– Taifeadtar minicíocht gach eatraimh (líon na sonraí i ngach eatramh).
2. Lárphointe an Ranga a Chinneadh
– Ríomhtar lárphointe gach eatraimh mar seo a leanas: \( \text{Lárphointe} = \frac{\text{Teorainn Íochtarach} + \text{Teorainn Uachtarach}}{2} \)
3. An Meán Sealadach a Ríomh (\( \bar{X} \))
– Ríomhtar an meán ag baint úsáide as an bhfoirmle: \( \bar{X} = \frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i} \)
– I gcás ina seasann \(f_i \) don mhinicíocht agus \(x_i \) do lárphointe an eatraimh.
4. An Diall ón Meán agus a Chearnóg a Ríomh
– I gcás gach eatramh, ríomhtar an diall ón meán mar: \( d_i = x_i – \bar{X} \)
– Ansin ríomh an chearnóg: \( d_i^2 \)
5. Ríomh na hAthraitheachta agus an Diall Caighdeánach
– Ríomhtar an t-athraitheas ag baint úsáide as an bhfoirmle: \( s^2 = \frac{\sum f_i d_i^2}{\sum f_i – 1} \)
– Is é an diall caighdeánach fréamh chearnach an athraitheas: \( s = \sqrt{s^2} \)
Sampla Perhitungan
Abair go bhfuil sonraí airde na mac léinn grúpáilte mar seo a leanas:
| Eatramh (cm) | Minicíocht (f) |
|—————|—————|
| 150 – 154 | 5 |
| 155 – 159 | 10 |
| 160 – 164 | 15 |
| 165 – 169 | 8 |
| 170 – 174 | 2 |
1. Tábla Dáilte Minicíochta:
| Eatramh (cm) | Minicíocht (f) | Lárphointe (x) | \(f \cdot x \) | \(d = x – \bar{X} \) | \(d^2 \) | \(f \cdot d^2 \) |
|——————|——————|———————|——————–|——————–|——————-|
| 150 – 154 | 5 | 152 | 760 | | | |
| 155 – 159 | 10 | 157 | 1570 | | | |
| 160 – 164 | 15 | 162 | 2430 | | | |
| 165 – 169 | 8 | 167 | 1336 | | | |
| 170 – 174 | 2 | 172 | 344 | | | |
| Iomlán | 40 | | 6440 | | | |
2. An Meánluach a Ríomh (\( \bar{X} \)):
[\bar{X} = \frac{6440}{40} = 161 \]
3. Ag Ríomh an Diall ón Meán agus a Chearnóg:
| Eatramh (cm) | Minicíocht (f) | Lárphointe (x) | (f x) | (d = x – 161) | (d^2) | (f d^2)
|——————|——————|———————|——————–|———————-|———————-|
| 150 – 154 | 5 | 152 | 760 | -9 | 81 | 405 |
| 155 – 159 | 10 | 157 | 1570 | -4 | 16 | 160 |
| 160 – 164 | 15 | 162 | 2430 | 1 | 1 | 15 |
| 165 – 169 | 8 | 167 | 1336 | 6 | 36 | 288 |
| 170 – 174 | 2 | 172 | 344 | 11 | 121 | 242 |
| Iomlán | 40 | | 6440 | | | 1110 |
4. Ríomh na hAthraitheachta:
[s^2 = \frac{1110}{40 – 1} = \frac{1110}{39} \thart ar 28.46 \]
5. An Diall Caighdeánach a Ríomh:
[s = \sqrt{28.46} \thart ar 5.33 \]
Conclúid
Is bearta tábhachtacha iad an t-athraitheas agus an diall caighdeánach i staitisticí a chuireann síos ar dháileadh sonraí timpeall a meán. Cé gur féidir na coincheapa seo a chur i bhfeidhm ar shonraí aonair, tá an próiseas ríofa beagán difriúil i gcás sonraí grúpáilte. Ón sampla thuas, is féidir linn na céimeanna mionsonraithe a fheiceáil chun an t-athraitheas agus an diall caighdeánach a ríomh le haghaidh sonraí grúpáilte. Tá an fhaisnéis seo úsáideach i réimse feidhmeanna, ó thaighde acadúil go hanailís ghnó agus táirgeachta.
Le tuiscint mhaith ar an athraitheas agus an diall caighdeánach, is féidir linn léirmhíniú níos cruinne a dhéanamh agus cinntí a dhéanamh bunaithe ar na sonraí atá againn. Ligeann sé seo dúinn torthaí a choinneáil atá ní hamháin cruinn ach ábhartha freisin.
