Tuiscint a fháil ar an Dáileadh Déthéarmach
Tá an dáileadh déthéarmach ar cheann de na dáiltí dóchúlachta scoite is cáiliúla agus is minice a úsáidtear i réimsí na dóchúlachta agus na staitisticí. Tá sé ríthábhachtach i mórán feidhmeanna, ó thaighde eolaíoch go hanailís sonraí gnó. Pléifear gnéithe éagsúla den dáileadh déthéarmach san alt seo, óna shainmhíniú bunúsach agus a airíonna go dtí a fheidhmeanna i réimsí éagsúla.
Sainmhíniú agus Foirmle an Dáilte Déthéarmaigh
Is é an dáileadh déthéarmach an dáileadh dóchúlachta ar líon na rath i sraith trialacha nó breathnóireachtaí a bhfuil dhá thoradh ar leith acu, “rath” agus “teip”. Tugtar trialacha Bernoulli ar na trialacha seo, agus tugtar scéim Bernoulli ar an tsraith trialacha neamhspleácha seo.
Is í an phríomhfhoirmle a úsáidtear chun dóchúlacht an dáilte déthéarmaigh a ríomh ná:
[P(X = k) = \binom{n}{k} p^k(1 – p)^{n – k}]
An mana:
– Is é \(P(X = k) \) an dóchúlacht go n-éireoidh le haon \(k \) as \(n \) triail.
– Is é \( \binom{n}{k} \) an chomhéifeacht déthéarmach a ríomhtar mar \( \frac{n!}{k!(nk)!} \).
– Is é \(p \) an dóchúlacht go n-éireoidh le triail aonair.
– Is é \(1 – p \) an dóchúlacht teipe i dtriail aonair.
– Is é \(n \) líon iomlán na dtrialacha.
– Is é \(k \) an líon rath atá ag teastáil.
Airíonna an Dáilte Déthéarmaigh
Tá roinnt airíonna tábhachtacha ag an dáileadh déthéarmach a fhágann go bhfuil sé úsáideach in anailís staitistiúil:
1. Scoite: Is dáileadh scoite é an dáileadh déthéarmach toisc nach n-áiríonn sé ach líon na rath i líon teoranta trialacha.
2. Dhá Thoradh: Níl ach dhá thoradh ag gach triail i scéim Bernoulli: rath (le dóchúlacht \(p \)) nó teip (le dóchúlacht \(1 – p \)).
3. Neamhspleách: Bíonn turgnamh amháin neamhspleách ar cheann eile; ní bhíonn tionchar ag torthaí turgnamh amháin ar an gceann eile.
4. Paraiméadair Sheasta: Is paraiméadair sheasta iad an dóchúlacht \(p \), líon iomlán na dtrialacha \(n \), agus líon na rath \(k \) sa dáileadh déthéarmach.
Meán agus Athraitheas an Dáilte Déthéarmaigh
Tá foirmlí simplí agus iomasach ag an meán agus an athraitheacht sa dáileadh déthéarmach freisin:
– Meán (\(\mu\)): Is é meán dáilte déthéarmaigh líon na dtrialacha iolraithe faoin dóchúlacht ratha:
\[ \mu = np \]
– Athraitheas (\(\sigma^2\)): Is é athraitheas an dáilte déthéarmaigh toradh líon na dtrialacha, dóchúlacht an ratha, agus dóchúlacht an teipe:
[ \sigma^2 = np(1 – p) \]
Cás-Staidéar ar Fheidhmiú an Dáilte Déthéarmaigh
Chun cur i bhfeidhm an dáilte déthéarmaigh a thuiscint, féachfaimid ar roinnt samplaí ón saol réadúil:
Sampla 1: Anailís ar Fheidhmíocht Fostaithe
Ba mhaith le bainisteoir feidhmíocht fostaithe i roinn a anailísiú. Glac leis go bhfuil seans 0,7 (70%) ag gach fostaí tasc a chur i gcrích go rathúil. Má tá 10 bhfostaí ag déanamh an tasc chéanna, b’fhéidir gur mhaith leis an mbainisteoir a fháil amach an dóchúlacht go n-éireoidh le 7 bhfostaí go díreach.
Úsáid an fhoirmle dáilte déthéarmach:
[P(X = 7) = \binom{10}{7} (0.7)^7 (0.3)^3 \]
Trí an chomhéifeacht déthéarmach agus an toradh deiridh a ríomh, tugtar dóchúlacht an cháis seo.
Sampla 2: Tástáil Táirgí i Monarcha
Táirgeann monarcha comhpháirteanna leictreonacha le ráta lochtanna 2%. Má dhéanann siad tástáil ar 100 comhpháirt, cad é an dóchúlacht go mbeidh 2 acu lochtach?
Úsáid an fhoirmle dáilte déthéarmach:
[P(X = 2) = \binom{100}{2} (0.02)^2 (0.98)^{98} \]
Soláthraíonn sé treoir maidir le rialú cáilíochta.
Dáileadh Déthéarmach i gcoinne Dáileadh Poisson
I gcásanna áirithe, is féidir leis an dáileadh déthéarmach an dáileadh Poisson a mheas mar chomhfhogas, go háirithe nuair a bhíonn líon na dtrialacha n mór agus an dóchúlacht p beag. Riail ghinearálta amháin chun an dáileadh Poisson a mheas mar chomhfhogas leis an dáileadh déthéarmach ná má tá n ≤ 20 agus p ≤ 0.05 ann.
Úsáid Bogearraí agus Dáileadh Déthéarmach
Le dul chun cinn sa teicneolaíocht agus sa ríomhaireacht, is féidir ríomhanna dáilte déthéarmaigh a dhéanamh go héasca anois ag baint úsáide as bogearraí staitistiúla ar nós R, Python, agus bogearraí eile ar nós Microsoft Excel. Mar shampla, i Python, is féidir leat an leabharlann `scipy.stats` a úsáid chun ríomhanna dáilte déthéarmaigh a dhéanamh go héasca:
“` python
ó scipy.stats allmhairiú binom
paraiméadair
n = 10 líon trialacha
p = 0.5 dóchúlacht ratha
k = 5 líon na rath
dóchúlacht déthéarmach a ríomh
binom_prob = binom.pmf(k, n, p)
print(“Dóchúlacht go bhfaighfear 5 rath go díreach:”, binom_prob)
"`
Conclúid
Is dáileadh bunúsach ach cumhachtach é an dáileadh déthéarmach in anailís dóchúlachta agus staitistiúil. Mar gheall ar a nádúr scoite agus a fhócas ar dhá thoradh - rath agus teip - feidhmíonn sé mar mhúnla idéalach do go leor cásanna fíorshaoil. Ní hamháin go gcabhraíonn eolas ar an dáileadh déthéarmach le dóchúlacht teagmhais a shainiú agus a thuiscint ach soláthraíonn sé bunús láidir freisin le haghaidh anailíse staitistiúla níos casta. A bhuí le húsáid uirlisí ríomhaireachta nua-aimseartha, tá sé níos éasca an dáileadh déthéarmach a chur i bhfeidhm, rud a fhágann gur uirlis an-ábhartha é i saol an lae inniu atá bunaithe ar shonraí.
