Foirmlí agus Samplaí Creathadh Armónach
Is ábhar lárnach san fhisic é creathadh armónach, agus is minic a fheictear é i bplé faoi ghluaiseacht thréimhsiúil, tonnta, agus feidhmeanna innealtóireachta. Is féidir linn é a fháil i ngluaiseacht spriongaí, luascadáin (le haghaidh uillinneacha beaga), agus fiú creathadh móilíní in ábhar. Tugtar "armónach" air toisc go leanann a ghluaiseacht patrún rialta agus is féidir é a shamhaltú le feidhmeanna sine nó cosine. Pléann an t-alt seo sainmhíniú gairid, foirmlí tábhachtacha, agus fadhbanna samplacha le réitigh chun cabhrú linn coincheap an chreathadh armónaigh a thuiscint.
1. Tuiscint a fháil ar Chreathadh Armónach
Is éard atá i gceist le creathadh armónach simplí (SHM) ná gluaiseacht anonn is anall réada thar phointe cothromaíochta le fórsa athchóirithe a bhfuil a mhéid comhréireach leis an díláithriú agus a bhfuil a threo i gcónaí i dtreo an phointe cothromaíochta. Go matamaiticiúil, is féidir a thréithe a scríobh mar:
F = −kx
Léiríonn an comhartha lúide go bhfuil treo an fhórsa os coinne treo an diall. Má tharraingítear an réad ar dheis (x dearfach), bíonn an fórsa athchóirithe ar chlé (diúltach), agus a mhalairt.
Is iad an dá chóras is minice a luaitear mar shamplaí de GHS ná:
1. Córas sprionga-mhaise (mais ag deireadh an sprionga).
2. Luascán simplí (le haghaidh uillinneacha beaga, de ghnáth < 15°).
2. Cainníochtaí Tábhachtacha i gCreathadh Armónach
Seo a leanas roinnt cainníochtaí a bhíonn le feiceáil i gcónaí sa GHS:
– Diall (x): achar an réada ón bpointe cothromaíochta (m).
– Aimplitiúid (A): an diall uasta (m).
– Tréimhse (T): an t-am a theastaíonn le haghaidh creathadh iomlán amháin (s).
– Minicíocht (f): líon na gcreathadh in aghaidh an tsoicind (Hz).
– Luas uilleach / minicíocht uilleach (ω): paraiméadar tábhachtach sa chothromóid sine/cosine (rad/s).
– Céim (φ): cinneann sé na coinníollacha tosaigh gluaiseachta.
Gaol bunúsach idir tréimhse agus minicíocht:
f = 1/T
Agus an gaol idir ω agus T agus f:
ω = 2πf = 2π/T
3. Cothromóid Chreathadh Armónach
Is féidir foirm ghinearálta an diall mar fheidhm ama a scríobh mar seo a leanas:
x(t) = A sin(ωt + φ)
nó
x(t) = A cos(ωt + φ)
Tá an rogha sin/cos chomh ceart céanna, ag brath ar na coinníollacha tosaigh (e.g. nuair a bhíonn t = 0, tá an suíomh san aimplitiúid nó ag an bpointe cothromaíochta).
Luas agus Luasghéarú
Is é an luas an chéad díorthach den díláithriú:
v(t) = dx/dt = Aω cos(ωt + φ) (más x = A sin)
nó is féidir luach diúltach a bheith aige freisin de réir an fhoirm tosaigh.
Is é an luasghéarú an dara díorthach:
a(t) = d²x/dt² = −Aω² sin(ωt + φ)
Ós rud é go bhfuil x(t) = A sin(ωt + φ), ansin:
a(t) = −ω² x(t)
Is gné thábhachtach de GHS é seo: tá an luasghéarú comhréireach leis an díláithriú agus os coinne ó thaobh treo de.
Uasluas agus Uasluasghéarú
– v_max = Aω
– a_uas = Aω²
Tarlaíonn an luas uasta nuair a théann an réad thar an bpointe cothromaíochta (x = 0). Tarlaíonn an luasghéarú uasta ag an aimplitiúid (x = ±A).
4. Tréimhse Chreatha i Spriongaí agus i Luascáin
A. Earrach–Aifreann
I gcás sprionga idéalach le tairiseach sprionga k agus mais m:
T = 2π √(m/k)
ω = √(k/m)
Ciallaíonn sé seo, dá mhéad an mhais, is ea is mó an tréimhse (níos moille). Dá mhéad an k (sprionga níos doichte), is ea is lú an tréimhse (níos tapúla).
B. Luascán Simplí (Uillinn Bheag)
I gcás luascadáin le fad sreinge L agus luasghéarú imtharraingteach g:
T = 2π √(L/g)
ω = √(g/L)
Is suimiúil é, sa chur chuige uillinn bhig, nach mbraitheann an tréimhse ar mhais an luascadáin, ach ar an fhad agus ar an domhantarraingt amháin.
5. Fuinneamh i gCreathadh Armónach
I GHS, fanann an fuinneamh iomlán tairiseach (mura bhfuil aon fhrithchuimilt ann):
– Fuinneamh poitéinsiúil an earraigh:
Ep = ½ kx²
– Fuinneamh cinéiteach:
Ek = ½ mv²
– Fuinneamh meicniúil iomlán:
E = Ek + Ep = ½ kA²
Nuair a bhíonn x = ±A, v = 0, mar sin tá an fuinneamh lánphoitéinsil. Nuair a bhíonn x = 0, tá Ep = 0 agus tá an fuinneamh lánchinéiteach.
6. Ceisteanna Samplacha agus Plé
Sampla 1: Tréimhse an Earraigh a Chinneadh
Crochtar mais 0,5 kg ar sprionga le tairiseach k = 200 N/m. Cinntigh tréimhse an chreathaidh!
Tugtha: m = 0,5 kg, k = 200 N/m
Ceist: T
Freagra:
T = 2π √(m/k)
= 2π √(0,5 / 200)
= 2π √(0,0025)
= 2π (0,05)
= 0,1π s
≈ 0,314 s
Mar sin, is é tréimhse chreathadh an earraigh ná thart ar 0,314 s.
-
Sampla 2: Minicíocht agus ω a Chinneadh
Ó cheist 1, faigh amach an mhinicíocht (f) agus ω!
Freagra:
f = 1/T = 1/0,314 ≈ 3,18 Hz
ω = 2π/T = 2π/0,314 ≈ 20 rad/s
(nó go díreach ω = √(k/m) = √(200/0,5) = √400 = 20 rad/s)
Mar sin, tá an mhinicíocht thart ar 3,18 Hz agus ω = 20 rad/s.
-
Sampla 3: Cothromóid Diallta
Creathaíonn réad go harmónach le haimplitiúid 0,10 m agus ω = 5 rad/s. Ag t = 0, tá an réad i gcothromaíocht agus ag bogadh sa treo dearfach. Faigh amach an chothromóid díláithrithe!
Tugtha: A = 0,10 m, ω = 5 rad/s
Coinníollacha tosaigh: t = 0 → x = 0 agus tá an v tosaigh dearfach.
Más x(0) = 0, is é sine an fhoirm chuí:
x(t) = A sin(ωt)
Ós rud é go bhfuil v(t) = Aω cos(ωt), ansin tá v(0) = Aω cos(0) = Aω dearfach, dá réir sin.
Mar sin:
x(t) = 0,10 sin(5t) (méadair)
-
Sampla 4: Uasluas agus Uasluasghéarú
Ó shampla 3, faigh v_max agus a_max.
Freagra:
v_max = Aω = 0,10 × 5 = 0,50 m/s
a_max = Aω² = 0,10 × 25 = 2,5 m/s²
Mar sin, is é v_max = 0,50 m/s agus a_max = 2,5 m/s².
-
Sampla 5: Fuinneamh i dTobair
Creathaíonn sprionga le k = 100 N/m le haimplitiúid A = 0,20 m. Ríomh a fhuinneamh meicniúil iomlán!
Freagra:
E = ½ kA²
= ½ (100)(0,20)²
= 50 × 0,04
= 2 J.
Is é 2 giúl fuinneamh meicniúil iomlán an chreathaidh.
-
Sampla 6: Tréimhse Luascáin
Tá luascadán simplí 1 m ar fhad. Más g = 10 m/s², faigh a thréimhse.
Freagra:
T = 2π √(L/g)
= 2π √(1/10)
= 2π √0,1
≈ 2π (0,316)
≈ 1,99 s
Mar sin, is é tréimhse an luascadáin ná thart ar 2,0 s.
7. Conclúid
Is gluaiseacht thréimhsiúil bhunúsach sa fhisic í an luascadh armónach simplí. Tá an eochair chun í a thuiscint sa ghaol idir an fórsa athchóirithe agus an díláithriú (F = −kx), agus a samhail mhatamaiticiúil, a leanann an fheidhm sine/cosine. Trí thuiscint a fháil ar na foirmlí do thréimhse earraigh agus luascadáin, na cothromóidí díláithrithe-treoluas-luasghéaraithe, agus coincheap an fhuinnimh, beidh sé níos éasca duit fadhbanna a bhaineann le creathadh agus tonnta a réiteach.
Más mian leat, is féidir liom ceisteanna cleachtaidh breise a chur leis (gan plé ar dtús) nó leagan achoimrithe de na foirmlí a chruthú réidh don scrúdú.
