Ceist Shamplach ag Plé Suimiú Dhá Veicteoir ag Úsáid an Mhodha Parailealagraim
Is coincheap ríthábhachtach san fhisic agus sa mhatamaitic é suimiú veicteoirí, a úsáidtear go minic chun feiniméin nádúrtha agus fadhbanna laethúla a chur síos. Tá roinnt modhanna ann chun dhá veicteoir a chur le chéile, agus ceann acu sin ná an modh parailealagraim. Ní hamháin go bhfuil an modh seo iomasach ach soláthraíonn sé léirshamhlú cumhachtach ar an gcaoi a gcomhcheanglaíonn dhá veicteoir chun veicteoir mar thoradh a fhoirmiú. San alt seo, féachfaimid ar roinnt samplaí de shuimiú veicteoirí ag baint úsáide as an modh parailealagraim, mar aon lena réitigh.
Cad is Veicteoir ann?
Sula dtéimid isteach sna fadhbanna samplacha, ní mór dúinn sainmhíniú bunúsach veicteora a thuiscint. Is cainníocht í veicteoir a bhfuil méid (fad) agus treo aici araon. I measc na samplaí clasaiceacha de veicteoirí tá luas, luasghéarú, fórsa, agus díláithriú. Is féidir veicteoir a léiriú mar a chomhpháirteanna (i, j, k) i gcomhordanáidí Cairtéiseacha nó mar a fhad agus a threo (uillinn).
Modh Paraileagram
Is bealach amháin chun dhá veicteoir a chur le chéile é modh an pharaileagram. Sa mhodh seo, léirímid dhá veicteoir mar dhá thaobh de pharaileagram. Is é an veicteoir mar thoradh trasnán an pharaileagram ag tosú ó phointe tosaigh an dá veicteoir. Go matamaiticiúil, má tá dhá veicteoir againn, \(\vec{A}\) agus \(\vec{B}\), is é an toradh \( \vec{R} = \vec{A} + \vec{B} \).
Seo a leanas an modh céim ar chéim chun an modh parailealagraim a úsáid:
1. Tarraing an veicteoir \(\vec{A}\) ón bpointe tosaigh.
2. Ó dheireadh an veicteora \(\vec{A}\), tarraing an veicteoir \(\vec{B}\).
3. Tarraing líne comhthreomhar leis an veicteoir \(\vec{B}\) ón bpointe tosaigh \(\vec{A}\).
4. Tarraing líne comhthreomhar leis an veicteoir \(\vec{A}\) ó dheireadh an veicteoir \(\vec{B}\).
5. Tarraing trasnán ón bpointe tosaigh go dtí an chúinne os coinne chun an veicteoir comhthorthach \(\vec{R}\) a fháil.
Ceisteanna Samplacha agus Plé
Ceist 1
Abair go bhfuil dhá veicteoir againn, \(\vec{A}\) agus \(\vec{B}\):
– Tá fad (méid) 5 aonad agus treo 0° (nó feadh an ais-x dhearfaigh) ag \(\vec{A}\),
– Tá fad 3 aonad agus treo 90° (nó feadh an ais-y dhearfaigh) ag \(\vec{B}\).
Cad é an luach mar thoradh ar an dá veicteoir seo a chur le chéile ag baint úsáide as an modh parailealagraim?
Plé:
1. Tarraing an veicteoir \(\vec{A}\) feadh an ais-x dhearfaigh le fad 5 aonad.
2. Ó dheireadh an veicteora \(\vec{A}\), tarraing an veicteoir \(\vec{B}\) feadh an ais-y dhearfaigh le fad 3 aonad.
3. Ón bpointe tosaigh \(\vec{A}\), tarraing líne comhthreomhar le \(\vec{B}\).
4. Ó dheireadh \(\vec{B}\), tarraing líne comhthreomhar le \(\vec{A}\).
5. Is é an toradh ná paraileagram le trasnán arb é an veicteoir comhthoraidh \(\vec{R}\).
Ós rud é go bhfuil \(\vec{A}\) agus \(\vec{B}\) ingearach lena chéile, is féidir linn teoirim Phíotagaráis a úsáid chun fad an veicteora mar thoradh a ríomh:
[R = \sqrt{A^2 + B^2} = \sqrt{5^2 + 3^2} = \sqrt{25 + 9} = \sqrt{34} \thart ar 5.83 \]
Is féidir treo an veicteora mar thoradh a ríomh trí úsáid a bhaint as triantánacht. Más é \(\theta\) an uillinn idir an veicteoir mar thoradh agus \(\vec{A}\):
[\tan(\heta) = \frac{B}{A} = \frac{3}{5} \]
mar sin:
[Theta = tan^{-1}(frac{3}{5}) thart ar 30.96 ciorcal]
Dá bhrí sin, tá méid de thart ar 5.83 aonad ag an veicteoir mar thoradh air sin agus treo de thart ar 30.96° ó A.
Ceist 2
Tugtar dhá veicteoir \(\vec{C}\) agus \(\vec{D}\) mar seo a leanas:
– \(\vec{C}\) le fad 4 aonad agus treo 45°.
– \(\vec{D}\) le fad 6 aonad agus treo 120°.
Faigh an veicteoir mar thoradh \(\vec{R}\) ó shuimiú an dá veicteoir.
Plé:
Chun dhá veicteoir nach bhfuil ingearach lena chéile nó i gcruthanna difriúla a chur le chéile, is féidir leat comhpháirteanna Cairtéiseacha a úsáid.
1. Bris C agus D ina gcomhpháirteanna x agus y.
I gcás \(\vec{C}\):
[C_x = C \cos(45^\circ) = 4 \cos(45^\circ) = 4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2} \approx 2.83 \]
[C_y = C \sin(45^\circ) = 4 \sin(45^\circ) = 4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2} \approx 2.83 \]
I gcás \(\vec{D}\):
[D_x = D \cos(120^\circ) = 6 \cos(120^\circ) = 6 \cdot (-\frac{1}{2}) = -3 \]
[D_y = D \sin(120^\circ) = 6 \sin(120^\circ) = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3} \approx 5.20 \]
2. Cuir comhpháirteanna x agus y an dá veicteoir le chéile:
[R_x = C_x + D_x = 2.83 + (-3) = -0.17]
\[R_y = C_y + D_y = 2.83 + 5.20 = 8.03 \]
3. Ríomh méid agus treo an veicteora mar thoradh air sin \(\vec{R}\):
[R = \sqrt{R_x^2 + R_y^2} = \sqrt{(-0.17)^2 + 8.03^2} = \sqrt{0.03 + 64.48} = \sqrt{64.51} \thart ar 8.03 \]
[Theta = tan^{-1}(frac{R_y}{R_x) = tan^{-1}(frac{8.03}{-0.17) thart ar tan^{-1}(-47.24)]
Ós rud é go bhfuil an toradh diúltach, cuirimid 180° leis chun an uillinn sa chóras ceathrúna ceart a fháil:
[θενον (-1) (47.24) + 180⁻⁴ thart ar 271.93⁻⁴]
Mar sin, tá méid de thart ar 8.03 aonad agus treo de thart ar 271.93° ag an veicteoir mar thoradh air sin, nó is féidir linn a rá go bhfuil sé thart ar 91.93° ón ais-x dhiúltach sa cheathrú ceathrú.
Ag dúnadh
Is bealach éifeachtach agus amhairc é an modh parailealagraim chun dhá veicteoir a chur le chéile. Cé go bhféadfadh an modh seo a bheith simplí i gcás veicteoirí simplí, tá sé tábhachtach a thuiscint go mbíonn gá againn comhpháirteanna Cairtéiseacha agus teicnící ailgéabracha níos airde a úsáid go minic i gcás veicteoirí níos casta chun torthaí cruinne a fháil. Tá súil againn go dtugann na samplaí thuas pictiúr soiléir dúinn ar an gcaoi ar féidir an modh seo a chur i bhfeidhm i gcásanna éagsúla.
