Ceisteanna Samplacha agus Plé ar Fheidhmiú Comhtháthaithe i Ríomh Achar Plána Cothrom
I múineadh matamaitice, is minic a bhíonn slánuimhir le fáil i gcalcalas. Ceann de na feidhmeanna is cáiliúla de shlánnuimhir ná an limistéar faoi chuar nó plána a ríomh. Pléifear san alt seo roinnt fadhbanna samplacha agus pléifear feidhmiú slánuimhir chun limistéar plána a ríomh.
Réamhrá don Teoiric
Sula dtéimid ar aghaidh chuig an gceist shamplach, déanaimis athbhreithniú ar an gcoincheap bunúsach maidir leis an achar faoi chuar a ríomh ag baint úsáide as slánuimhir. Má tá feidhm f(x) againn atá leanúnach ar an eatramh [a, b], ansin is é an t-achar faoin gcuar y = f(x) ó x = a go x = b ná:
[L = \int_{a}^{b} f(x) \, dx \]
Go geoiméadrach, ciallaíonn sé seo go bhfuilimid ag suimiú achar dronuilleoige an-tanaí ó x = a go x = b.
Ceist Shamplach 1
Ceist
Ríomh an t-achar faoin gcuar y = x² san eatramh [1, 3].
Plé
Chun an achar a ríomh, úsáidimid an t-intuimeall:
[L = \int_{1}^{3} x^2 \, dx \]
Tosaímid tríd an bhfrithdhíorthach de \(x^2 \) a aimsiú. Is é \( \frac{x^3}{3} \) frithdhíorthach \(x^2 \). Ansin, bíonn an slánuimhir mar seo a leanas:
[L = [x⁴/3]_1^3]
Cuimhnigh go gcaithfimid an frithdhíorthach a mheas ar theorainneacha an tsláineamair:
[L = (3^3}{3) – (1^3}{3)]
[L = (27/3) – (1/3)]
[L = 9 – \frac{1}{3} \]
[L = \frac{27}{3} – \frac{1}{3} \]
[L = \frac{26}{3} \]
Mar sin, is é an limistéar faoin gcuar y = x² ó x = 1 go x = 3 ná:
\[ \frac{26}{3} \, \text{aonad achair} \]
Ceist Shamplach 2
Ceist
Faigh amach achar na réigiúin atá teoranta ag an gcuar y = x³ agus na línte x = 1 agus x = 2.
Plé
Chun an achar a ríomh, úsáidimid an t-intuimeall:
[L = \int_{1}^{2} x^3 \, dx \]
Mar is gnách, tosaímid tríd an bhfrithdhíorthach de \(x^3 \) a aimsiú. Is é \( \frac{x^4}{4} \) frithdhíorthach \(x^3 \). Seo a leanas an slánuimhir:
[L = [x⁴/4]_1^2]
Déan teorainneacha an chomhtháthaithe a mheas:
[L = (2^4}{4) – (1^4}{4)]
[L = (16/4) – (1/4)]
[L = 4 – \frac{1}{4} \]
[L = \frac{16}{4} – \frac{1}{4} \]
[L = \frac{15}{4} \]
Mar sin, is é an limistéar faoin gcuar y = x³ ó x = 1 go x = 2 ná:
\[ \frac{15}{4} \, \text{aonad achair} \]
Ceist Shamplach 3
Ceist
Faigh amach achar na réigiúin atá teoranta ag na cuartha y = x² + 1 agus y = 2x + 2 san eatramh x = 0 go x = 1.
Plé
Ar dtús, ní mór dúinn na pointí trasnaithe a aimsiú chun teorainneacha an chomhtháthaithe a chinneadh. An réiteach ar \( x^2 + 1 = 2x + 2 \):
\[ x^2 + 1 = 2x + 2 \]
\[ x^2 – 2x – 1 = 0 \]
Ag baint úsáide as an bhfoirmle chearnach:
[x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2} \]
[x = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2} \]
[x = \frac{2 \pm²\sqrt{2}}{2} \]
[x = 1 pm ²]
Mar sin féin, i gcás na dteorainneacha uachtaracha agus íochtaracha idir 0 agus 1, ní gá dúinn an réiteach cearnach a úsáid, ach an teorainn shlánúcháin ghnáth ó 0 go 1. Ansin, ríomh achar na cuar y barr lúide na cuar y bun de réir na dteorainneacha seo:
[L = \int_{0}^{1} [(2x + 2) – (x^2 + 1)] \, dx \]
Simpliú feidhme:
[L = \int_{0}^{1} (2x + 2 – x^2 – 1) \, dx \]
[L = \int_{0}^{1} (-x^2 + 2x + 1) \, dx \]
Ansin, aimsímid an frithdhíorthach:
Is é frithdhíorthach \( (-x^2) \) \( -\frac{x^3}{3} \),
Is é frithdhíorthach \( (2x) \) \( x^2 \),
Is é an frithdhíorthach de \((1) \) \(x \).
Mar sin,
[L = \left. \left(-\frac{x^3}{3} + x^2 + x \right) \right|_0^1 \]
An chéad mheastóireacht eile:
[L = [-\frac{1^3}{3} + 1^2 + 1] – [-\frac{0^3}{3} + 0^2 + 0]]
[L = [-frac{1}{3} + 1 + 1] – [0]
[L = -\frac{1}{3} + 2 \]
[L = \frac{6}{3} – \frac{1}{3} \]
[L = \frac{5}{3} \]
Mar sin, is é achar an réigiúin atá teoranta ag na cuartha y = x² + 1 agus y = 2x + 2 ar an eatramh [0, 1] ná:
\[ \frac{5}{3} \, \text{aonad achair} \]
-
Ó na samplaí thuas, is féidir linn a fheiceáil conas is féidir slánuimhir a úsáid chun an limistéar faoi chuar nó idir dhá chuar a ríomh. Le tuiscint cheart ar choincheapa bunúsacha na slánuimhir agus na dteicnící frithdhíorthaigh, bíonn ríomh na limistéar seo an-chórasach agus éifeachtach. Tá súil againn gur mhéadaigh an t-alt seo ár dtuiscint ar chur i bhfeidhm slánuimhir sa saol mór, go háirithe i réimse thomhas limistéar dhromchlaí plánacha.
