Ceisteanna Samplacha ag Plé Feidhmiú Comhtháthaithe san Fhisic
Is coincheap an-tábhachtach agus leathan é úsáid slánuimhir san fhisic. Ligeann cur i bhfeidhm slánuimhir d’fhisicithe agus d’innealtóirí réimse feiniméin nádúrtha casta a ríomh, bíodh siad bainteach le gluaiseacht, fuinneamh, fórsa, nó gnéithe eile. Scrúdóidh an t-alt seo roinnt fadhbanna samplacha agus pléifidh sé cur i bhfeidhm slánuimhir san fhisic.
1. Obair a Ríomh de réir Fórsa Athraitheach
Ceist
Tugtar fórsa a athraíonn le suíomh \(x\) mar \( F(x) = 3x^2 \). Ríomh an obair a dhéanann an fórsa seo nuair a ghluaiseann an réad ó \(x = 0\) go \(x = 2 \) méadar.
Plé
Is é an obair a dhéanann fórsa atá ag athrú an t-iomlán den fhórsa thar an achar. Má thugtar an fórsa \(F(x) \) mar fheidhm den suíomh \(x\), is féidir linn an obair a chur in iúl mar:
[W = \int_{a}^{b} F(x) \, dx \]
Sa chás seo:
[F(x) = 3x^2]
\[ a = 0 \, \text{méadar} \]
\[ b = 2 \, \text{méadar} \]
Ansin is é an obair \(W\) ná:
[W = \int_{0}^{2} 3x^2 \, dx \]
Ríomhaimid an t-intuime seo:
\[
W = 3 \int_{0}^{2} x^2 \, dx
= 3 \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{2}
= 3 \left( \frac{2^3}{3} – \frac{0^3}{3} \right)
= 3 \left( \frac{8}{3} – 0 \right)
= 8 \, \text{Giúl}
\]
Mar sin, is é 8 Giúl an obair a dhéanann an fórsa.
2. Lárionad Mais Slat Aonchineálach a Ríomh
Ceist
Tá slat aonchineálach le fad L suite ar an ais-x ó x = 0 go x = L. Ríomh suíomh lárphointe maise na slaite.
Plé
I gcás slat aonchineálach, bíonn an mhais dáilte go haonfhoirmeach feadh a faid. Is féidir linn glacadh leis go bhfuil mais líneach tairiseach _(\lambda\) ag an tslat (mais in aghaidh an aonaid faid).
Tugtar lár an mhaise (\(x_{cm}\)) mar seo a leanas:
[x_{cm} = \frac{\int x \, dm}{\int dm} \]
Ós rud é go bhfuil an mais dáilte go haonchineálach, is féidir linn \(dm = \lambda \, dx\), agus an slánuimhir teorann ó \(x = 0\) go \(x = L\) a chur in iúl:
\[
x_{cm} = \frac{\int_{0}^{L} x ΔL, dx}{\int_{0}^L ΔL, dx}
\]
Tá comhtháthú thar \(\lambda\) tairiseach agus is féidir é a chealú:
\[
x_{cm} = \frac{\int_{0}^{L} x \, dx}{\int_{0}^{L} dx}
= \frac{\left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{L}}{ \left[ x \right]_{0}^{L} }
= \frac{\frac{L^2}{2} – 0}{L – 0}
= \frac{L^2 /2}{L}
= \frac{L}{2}
\]
Mar sin, tá suíomh lár maise na slaite ag \( \frac{L}{2} \), nó i lár na slaite.
3. Fórsa Leictreastatach a Ríomh Bunaithe ar Dhlí Coulomb
Ceist
Tá dhá mhuirear q₁ agus q₂ suite feadh an ais-x ag x = 0 agus x = L faoi seach. Ríomh an fórsa leictreastatach idir an dá mhuirear.
Plé
Deir dlí Coulomb go bhfuil an fórsa idir dhá mhuirear pointeáilte comhréireach go díreach le toradh na muirear agus comhréireach inbhéartach le cearnóg an achair eatarthu:
\[ F = k_e \frac{|q_1 q_2|}{r^2} \]
Dimana:
– Is é \(k_e\) tairiseach Coulomb \((8.99 \times 10^9 \, \text{N} \cdot \text{m}^2 / \text{C}^2)\)
– Is é \(r\) an fad idir na muirir
Sa chás seo, luíonn \(q_1\) agus \(q_2\) ag \(x = 0\) agus \(x = L\), ansin an fad \(r = L\).
Is é fórsa leictreastatach:
\[ F = k_e \frac{|q_1 q_2|}{L^2} \]
Is réiteach coitianta é seo chun an fórsa leictreastatach a ríomh idir dhá mhuirear phointe atá suite ag achar áirithe óna chéile.
4. Sreabhadh Maighnéadach a Ríomh
Ceist
Cuirtear lúb sreinge ciorclach de gha r i réimse maighnéadach aonfhoirmeach B, atá ingearach le plána an lúibe. Ríomh an flosc maighnéadach tríd an lúb.
Plé
Tugtar an flosc maighnéadach (\(\Phi_B\)) trí limistéar \(A\) i réimse maighnéadach \(B\) mar:
[PhiB = \int B \cdot dA]
Ós rud é go bhfuil an réimse maighnéadach \(B\) aonfhoirmeach agus ingearach le plána an lúibe, is é an slánuimhir shimplí ná:
\[ \Phi_B = B \cdot A \]
Áit a bhfuil achar \(A\) ciorcail le ga \(r\) mar seo a leanas:
[A = π/r²]
Ansin is é an flosc maighnéadach tríd an lúb ná:
\[ \Phi_B = B \cdot \pi r^2 \]
Mar sin, is é an flosc maighnéadach tríd an lúb ná ∫(B π r^2).
Conclúid
Tá úsáid slánchomharthaí sa fhisic dosheachanta nuair a bhíonn orainn faisnéis a bhaineann le feiniméin chasta nádúrtha a ríomh. Ó ríomh na hoibre a dhéanann fórsa athraitheach, lár mais réada a chinneadh, fórsaí leictreastatacha a ríomh bunaithe ar dhlí Coulomb, go ríomh an flosc maighnéadaigh trí lúb sreinge i réimse maighnéadach, braitheann siad go léir ar shlánchomharthaí chun fadhbanna a réiteach. Ní hamháin go ndéanann tuiscint iomlán ar an gcaoi a n-oibríonn slánchomharthaí i gcomhthéacsanna éagsúla fisice réiteach fadhbanna a shimpliú ach tugann sé léargas níos doimhne ar mheicnic na cruinne ag an leibhéal móilíneach agus ag an leibhéal réaltrach.
