Sampla de Cheisteanna Plé Teaglaim
Is coincheap tábhachtach iad teaglamaí i dteoiric dóchúlachta agus i staitisticí, rud a ligeann dúinn líon na mbealaí chun rudaí a roghnú ó shraith a chomhaireamh gan aird ar ord. I dteaglamaí, fanann ord an roghnúcháin gan athrú, murab ionann agus permutations, áit a bhfuil ord an roghnúcháin ríthábhachtach. Úsáidtear teaglamaí i réimse leathan réimsí, ó eolaíocht ríomhaireachta agus bitheolaíocht go dtí eacnamaíocht agus matamaitic. Míneoidh an t-alt seo bunchoincheap na dteaglamaí agus cuirfidh sé roinnt fadhbanna agus plé samplacha ar fáil chun cabhrú le do thuiscint.
Coincheap Bunúsach na Comhcheangail
Sula dtéimid ar aghaidh chuig fadhbanna samplacha, tosaímis le tuiscint bhunúsach ar chomhcheangail.
Léirítear an teaglaim de \(n\) réad a thógtar \(r\) ag an am céanna leis an nótaíocht \(\binom{n}{r}\) nó \(\mathbf{C}(n, r)\). Seo an fhoirmle chun an teaglaim a ríomh:
\[ \binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(nr)!} \]
– Is é \(n \) líon iomlán na réad atá ar fáil.
– Is é \(r \) líon na réad atá le roghnú.
– ! (fachtóireach) is oibríocht mhatamaiticiúil í a iolraíonn uimhir faoi na huimhreacha dearfacha go léir faoi bhun di suas go dtí 1.
Ceisteanna Samplacha agus Plé
Ceist Shamplach 1: Foireann a Roghnú ó Ghrúpa Mac Léinn
Ceist:
Tá 10 mac léinn i rang. Cé mhéad bealach is féidir 4 mhac léinn ón rang a roghnú chun páirt a ghlacadh sa chomórtas?
Plé:
Ag baint úsáide as an bhfoirmle teaglaim:
[ \binom{10}{4} = \frac{10!}{4! \cdot (10-4)!} = \frac{10!}{4! \cdot 6!} \]
Ag ríomh fachtóir:
– \( 10! = 10 \uaire 9 \uaire 8 \uaire 7 \uaire 6! \)
– \( 4! = 4 \uaire 3 \uaire 2 \uaire 1 = 24 \)
– Tá \(6! \) ag an mbarr cheana féin, mar sin is féidir leis an 6! i \(10!\) a chealú.
Mar sin:
\[ \binom{10}{4} = \frac{10 × 9 × 8 × 7}{4 × 3 × 2 × 1} = \frac{5040}{24} = 210 \]
Mar sin, tá 210 bealach ann chun 4 mhac léinn a roghnú as 10 mac léinn.
Ceist Shamplach 2: Teaglamaí ag Úsáid Tacair Cártaí
Ceist:
Ó dheic de 52 cárta, cé mhéad bealach atá ann chun lámh pócair 5 chárta a roghnú?
Plé:
Ag baint úsáide as an bhfoirmle teaglaim:
[ \binom{52}{5} = \frac{52!}{5! \cdot (52-5)!} = \frac{52!}{5! \cdot 47!} \]
Ag ríomh fachtóir:
– \( 52! = 52 \uaire 51 \uaire 50 \uaire 49 \uaire 48 \uaire 47! \)
– \( 5! = 5 \uaire 4 \uaire 3 \uaire 2 \uaire 1 = 120 \)
– Tá \(47! \) ag an mbarr cheana féin, mar sin is féidir leis an 47! i \(52!\) a chealú.
Mar sin:
\[ \binom{52}{5} = \frac{52 × 51 × 50 × 49 × 48}{5 × 4 × 3 × 2 × 1} = \frac{311875200}{120} = 2598960 \]
Mar sin, tá 2,598,960 bealach ann chun 5 chárta a roghnú as 52 cárta.
Ceist Shamplach 3: Teaglamaí a Ríomh le haghaidh Roghnú Foirne Spóirt
Ceist:
Tá 15 imreoir i bhfoireann cispheile. Más mian leis an gcóitseálaí 5 imreoir a roghnú mar thosaitheoirí, cé mhéad bealach is féidir é seo a dhéanamh?
Plé:
Ag baint úsáide as an bhfoirmle teaglaim:
[ \binom{15}{5} = \frac{15!}{5! \cdot (15-5)!} = \frac{15!}{5! \cdot 10!} \]
Ag ríomh fachtóir:
– \( 15! = 15 \uaire 14 \uaire 13 \uaire 12 \uaire 11 \uaire 10! \)
– \( 5! = 5 \uaire 4 \uaire 3 \uaire 2 \uaire 1 = 120 \)
– Tá \(10! \) ag an mbarr cheana féin, mar sin is féidir leis an 10! i \(15!\) a chealú.
Mar sin:
\[ \binom{15}{5} = \frac{15 × 14 × 13 × 12 × 11}{5 × 4 × 3 × 2 × 1} = \frac{360360}{120} = 3003 \]
Mar sin, tá 3,003 bealach ann chun 5 imreoir a roghnú as 15 imreoir.
Ceist Shamplach 4: Teaglamaí sa Bhitheolaíocht
Ceist:
I ngairdín, tá 8 gcineál bláthanna éagsúla ann. Cé mhéad bealach is féidir 3 chineál bláthanna a roghnú chun socrú bláthanna a dhéanamh?
Plé:
Ag baint úsáide as an bhfoirmle teaglaim:
[ \binom{8}{3} = \frac{8!}{3! \cdot (8-3)!} = \frac{8!}{3! \cdot 5!} \]
Ag ríomh fachtóir:
– \( 8! = 8 \uaire 7 \uaire 6 \uaire 5! \)
– \( 3! = 3 \uaire 2 \uaire 1 = 6 \)
– Tá \(5! \) ag an mbarr cheana féin, mar sin is féidir leis an 5! i \(8!\) a chealú.
Mar sin:
[\binom{8}{3} = \frac{8 × 7 × 6}{3 × 2 × 1} = \frac{336}{6} = 56 \]
Mar sin, tá 56 bealach ann chun 3 chineál bláthanna a roghnú as 8 gcineál bláthanna.
Ceist Shamplach 5: Comhcheangal i dTógáil Foirne
Ceist:
Tá 12 leabhar éagsúla agat ar sheilf leabhar. Cé mhéad bealach is féidir leat 5 leabhar a roghnú as an 12?
Plé:
Ag baint úsáide as an bhfoirmle teaglaim:
[ \binom{12}{5} = \frac{12!}{5! \cdot (12-5)!} = \frac{12!}{5! \cdot 7!} \]
Ag ríomh fachtóir:
– \( 12! = 12 \uaire 11 \uaire 10 \uaire 9 \uaire 8 \uaire 7! \)
– \( 5! = 5 \uaire 4 \uaire 3 \uaire 2 \uaire 1 = 120 \)
– Tá \(7! \) ag an mbarr cheana féin, mar sin is féidir leis an 7! i \(12!\) a chealú.
Mar sin:
\[ \binom{12}{5} = \frac{12 × 11 × 10 × 9 × 8}{5 × 4 × 3 × 2 × 1} = \frac{95040}{120} = 792 \]
Mar sin, tá 792 bealach ann chun 5 leabhar a roghnú as 12 leabhar.
Conclúid
Is coincheap an-úsáideach iad teaglamaí i réimsí éagsúla, go háirithe nuair is gá dúinn a bheith ar an eolas faoi líon na mbealaí chun rudaí a roghnú gan aird ar ord. Agus an fhoirmle bhunúsach teaglama \(\binom{n}{r}\) á húsáid againn, is féidir linn iad a ríomh go tapa agus go héasca, fad is a thuigimid conas a oibríonn fachtóirí. Trí na samplaí thuas, tá súil againn tuiscint níos iomláine agus níos soiléire a bheith againn ar theaglamaí. Lean ort ag cleachtadh le réimse fadhbanna chun do thuiscint a neartú tuilleadh.
