Ceisteanna Samplacha ag Plé Cineálacha Maitrísí
Is coincheap bunúsach san ailgéabar líneach iad maitrísí agus tá siad ríthábhachtach i mbrainsí éagsúla den eolaíocht, amhail fisic, eacnamaíocht, staitisticí agus innealtóireacht. Is éard atá i maitrísí ná eilimintí dronuilleogacha atá eagraithe i sraitheanna agus i gcolúin. San alt seo, pléifimid cineálacha éagsúla maitrísí, mar aon le samplaí agus réitigh do gach cineál.
1. Maitrís Céannachta
Is maitrís chearnógach í maitrís aitheantais a bhfuil 1 eilimint ar a príomh-thrasnán (ón mbarr ar chlé go dtí an bun ar dheis) agus 0 eilimint lasmuigh den phríomh-thrasnán. De ghnáth, tugtar \(I\) ar an maitrís aitheantais.
Sampla:
\[ I_3 = \begin{pmaitrís}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix} \]
Ceist:
Más rud é go bhfuil A = \begin{pmatrix}
5 & 2 \\
1 & 4
\end{pmatrix} \), faigh toradh iolrú \(A \) faoin maitrís aitheantais \(I \).
Plé:
Maidir leis an maitrís 2 (2 × 2), is é an maitrís aitheantais:
\[ I = \begin{pmaitrís}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{pmatrix} \]
Mar sin, is é an iolrú:
\[ AI = \begin{pmatrix}
5 & 2 \\
1 & 4
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
5 & 2 \\
1 & 4
\end{pmatrix} \]
Is é an toradh fós an maitrís \(A\) féin.
2. Maitrís Nialasach
Is maitrís í maitrís nialasach a bhfuil a heilimintí uile cothrom le 0. De ghnáth, tugtar \(0\) ar mhaitrís nialasach.
Sampla:
\[ 0_2 = \begin{pmaitrís}
0 & 0 \\
0 & 0
\end{pmatrix} \]
Ceist:
Más rud é go bhfuil B = pmatrix
3 & 7 \\
5 & 9
\end{pmatrix}\), faigh an toradh \(B + 0\).
Plé:
Tugann iolrú faoin maitrís nialasach an toradh céanna leis an maitrís bhunaidh:
\[ B + 0 = \begin{pmaitrís}
3 & 7 \\
5 & 9
\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}
0 & 0 \\
0 & 0
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
3 & 7 \\
5 & 9
\end{pmatrix} \]
3. Maitrís Trasnánach
Is maitrís chearnógach í maitrís trasnánach ina bhfuil gach eilimint lasmuigh den phríomh-thrasnán cothrom le 0. Is féidir leis na heilimintí ar an bpríomh-thrasnán a bheith difriúil, ach ní mór do na heilimintí lasmuigh den phríomh-thrasnán go léir a bheith cothrom le 0.
Sampla:
\[ D = \begin{pmaitrís}
6 & 0 & 0 \\
0 & 3 & 0 \\
0 & 0 & 8
\end{pmatrix} \]
Ceist:
An maitrís trasnánach an maitrís seo a leanas?
\[ C = \begin{pmaitrís}
5 & 0 \\
0 & 6
\end{pmatrix} \]
Plé:
Is maitrís chearnógach é C agus na heilimintí lasmuigh den phríomh-thrasnán uile cothrom le 0. Dá bhrí sin, is maitrís trasnánach é \(C \) i ndáiríre.
4. Maitrís Scálair
Is foirm speisialta de mhaitrís trasnánach í maitrís scálach ina bhfuil gach eilimint den phríomh-thrasnán cothrom. Is féidir smaoineamh ar mhaitrís scálach mar iolraitheoir scálach ar mhaitrís aitheantais.
Sampla:
\[ S = \begin{pmaitrís}
4 & 0 \\
0 & 4
\end{pmatrix} \]
Ceist:
Cruthaigh gur maitrís scalár í an maitrís \(T\) thíos:
\[ T = \begin{pmaitrís}
7 & 0 & 0 \\
0 & 7 & 0 \\
0 & 0 & 7
\end{pmatrix} \]
Plé:
Is maitrís trasnánach í an mhaitrís \(T\) ina bhfuil gach eilimint den phríomh-thrasnán 7. Dá bhrí sin, is maitrís scálach í \(T\).
5. Maitrís Siméadrach
Is maitrís chearnógach í maitrís shiméadrach atá cothrom lena trasnú. Ciallaíonn sé seo go bhfuil na heilimintí atá siméadrach faoin bpríomh-thrasnán cothrom, is é sin, \(A_{ij} = A_{ji}\) do gach \(i\) agus \(j\).
Sampla:
\[ A = \begin{pmaitrís}
2 & 1 & 3 \\
1 & 4 & 5 \\
3 & 5 & 6
\end{pmatrix} \]
Ceist:
Seiceáil an maitrís siméadrach í an maitrís seo a leanas:
\[ B = \begin{pmaitrís}
1 & 2 \\
2 & 3
\end{pmatrix} \]
Plé:
Is é traschur \(B\) ná:
\[ B^T = \begin{pmaitrís}
1 & 2 \\
2 & 3
\end{pmatrix} \]
Ós rud é go bhfuil B = B^T, is maitrís shiméadrach í B.
6. Maitrís Thriantánach
Tagann maitrísí triantánacha i dhá chineál: maitrísí triantánacha uachtaracha agus maitrísí triantánacha íochtaracha. I maitrís triantánacha uachtaracha, bíonn na heilimintí go léir faoi bhun an phríomh-thrasnáin cothrom le 0, agus i maitrís triantánacha íochtaracha, bíonn na heilimintí go léir os cionn an phríomh-thrasnáin cothrom le 0.
Sampla den Triantán Uachtarach:
\[ U = \begin{pmaitrís}
2 & 3 & 4 \\
0 & 5 & 6 \\
0 & 0 & 7
\end{pmatrix} \]
Sampla den Triantán Íochtarach:
\[ L = \begin{pmaitrís}
8 & 0 & 0 \\
5 & 6 & 0 \\
3 & 4 & 2
\end{pmatrix} \]
Ceist:
Cinntigh na cineálacha maitrís seo a leanas:
\[ C = \begin{pmaitrís}
1 & 2 \\
0 & 3
\end{pmatrix} \]
Plé:
Ós rud é go bhfuil gach eilimint faoi bhun an phríomh-thrasnáin cothrom le 0, ansin is maitrís thriantánach uachtarach é \(C \).
7. Maitrís Ortagónach
Is maitrís chearnógach í maitrís ortagónach a chomhlíonann an chothromóid A^TA = AA^T = I), áit a seasann A^T do thrasuíomh A agus seasann I don mhaitrís aitheantais.
Sampla:
\[ Q = \begin{pmaitrís}
1/2 & \sqrt{3}/2 \\
\sqrt{3}/2 & -1/2
\end{pmatrix} \]
Ceist:
Fíoraigh an bhfuil na maitrísí thíos ortagónach:
\[ P = \begin{pmaitrís}
0 & 1 \\
1 & 0
\end{pmatrix} \]
Plé:
Ar dtús ríomhaimid traschur \(P\):
\[ P^T = \begin{pmaitrís}
0 & 1 \\
1 & 0
\end{pmatrix} \]
Ansin ríomhaimid \( P^TP \):
\[ P^TP = \begin{pmaitrís}
0 & 1 \\
1 & 0
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
0 & 1 \\
1 & 0
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{pmatrix} = I \]
Ós rud é \(P^TP = I \), ansin is maitrís ortagónach é \(P\).
Trí thuiscint a fháil ar na cineálacha éagsúla maitrísí agus a dtréithe, is féidir linn réitigh a chinneadh níos éasca ar fhadhbanna matamaiticiúla éagsúla a bhaineann le maitrísí. Tá airíonna uathúla ag gach cineál maitrís ar féidir iad a úsáid in iarratais eolaíocha agus teicniúla éagsúla.
