Ceisteanna Samplacha ag Plé an Gaol idir Fad an Stóca agus Achar na hEarnála
I gceachtanna geoiméadrachta, go háirithe i staidéar na gciorcal, is minic a thagann muid trasna ar choincheapa fad an stua agus achar na hearnála. Tá an dá choincheap seo ríthábhachtach chun feiniméin gheoiméadracha éagsúla a bhaineann le ciorcail a thuiscint. Déanaimis na coincheapa seo a mhíniú ar dtús sula dtabharfaimid fadhbanna samplacha agus a réitigh.
Fad an Stóca
Is é fad an stua an fad feadh an stua idir dhá phointe ar chiorcal. Chun fad stua ciorcail a ríomh, is gnách go mbíonn ga an chiorcail (r) agus an uillinn lárnach (θ) trína dtagann an stua i radaíní ag teastáil uainn. Is féidir an fhoirmle chun fad an stua (s) a ríomh a scríobh mar seo a leanas:
\[s = r \times \heta \]
Más i gcéimeanna a thugtar an uillinn lárnach, ní mór dúinn í a thiontú go raidiain ar dtús trí:
\[ \theta_{raidiáin} = \theta_{céimeanna} \times \frac{\pi}{180} \]
Limistéar na hEarnála
Is cuid de chiorcal é earnáil atá teoranta ag dhá gha agus an stua eatarthu. Chun achar earnála a ríomh, úsáidimid ga an chiorcail (r) agus an uillinn lárnach (θ). Seo an fhoirmle chun achar earnála (A) a ríomh:
[A = \frac{1}{2} r^2 \times \heta \]
Mar atá i gcás fad an stua, má thomhaistear an uillinn lárnach i gcéimeanna, ní mór dúinn í a thiontú go raidiain ar dtús.
Ceisteanna Samplacha agus Plé
Chun coincheap fhad an stua agus achar na hearnála a shoiléiriú, déanaimis athbhreithniú ar na ceisteanna samplacha seo a leanas agus a bplé.
Ceist 1:
Agus ciorcal le ga 10 cm agus uillinn lárnach 60 céim tugtha, ríomh fad an áirse agus achar na hearnála a chruthaíonn an uillinn.
Plé:
1. Fad an Arc a Ríomh:
– Ar dtús, déanaimid an uillinn a thiontú ó chéimeanna go raidiáin:
[Theta = 60 × \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{3}, radian]
– Ag baint úsáide as foirmle fad an stua:
\[s = r \times \heta \]
[s = 10 uair \frac{\pi}{3}]
[s = \frac{10π}{3} \, \text{cm} \]
2. Achar Earnála a Ríomh:
– Ag baint úsáide as an bhfoirmle le haghaidh achar earnála:
[A = \frac{1}{2} r^2 \times \heta \]
[A = \frac{1}{2} \× 10^2 \× \frac{\pi}{3} \]
[A = \frac{1}{2} \times 100 \times \frac{\pi}{3} \]
[A = \frac{100\pi}{6} \]
[A = \frac{50\pi}{3} \, \text{cm}^2 \]
Mar sin, is é 10 cm fad an stua, agus is é 50 cm² achar na hearnála.
Ceist 2:
Tá ga 7 cm ag ciorcal agus uillinn lárnach atá faoi chlúdach stua 2 raidian. Faigh fad an stua agus achar earnáil an chiorcail.
Plé:
1. Fad an Arc a Ríomh:
– Tá an uillinn lárnach i raidiáin cheana féin, mar sin is féidir linn foirmle fad an stua a úsáid go díreach:
\[s = r \times \heta \]
[s = 7 uair 2]
[s = 14, cm]
2. Achar Earnála a Ríomh:
– Ag baint úsáide as an bhfoirmle le haghaidh achar earnála:
[A = \frac{1}{2} r^2 \times \heta \]
[A = \frac{1}{2} \times 7^2 \times 2 \]
[A = \frac{1}{2} \times 49 \times 2 \]
[A = 49, cm²]
Mar sin, is é 14 cm fad an stua, agus is é 49 cm² achar na hearnála.
Ceist 3:
Tá earnáil ag ciorcal le ga 12 cm a bhfuil fad áirse 15 π cm aige. Faigh amach an uillinn lárnach i gcéimeanna agus achar na hearnála.
Plé:
1. An Uillinn Láir a Chinneadh:
– Ag baint úsáide as foirmle fhad an stua chun an uillinn lárnach a fháil:
\[s = r \times \heta \]
[15π = 12 uair an chloig de theta]
[\heta = \frac{15π}{12} \]
[\theta = \frac{5\pi}{4} \, \text{raidian} \]
– Tiontaigh uillinn lárnach go céimeanna:
[\heta = \frac{5π}{4} \times \frac{180π}{π}]
[\heta = \frac{5 \times 180}{4} \]
\[ \theta = 225 \, \text{céimeanna} \]
2. Achar Earnála a Ríomh:
– Ag baint úsáide as an bhfoirmle le haghaidh achar earnála:
[A = \frac{1}{2} r^2 \times \heta \]
[A = \frac{1}{2} \× 12^2 \× \frac{5π}{4} \]
[A = \frac{1}{2} \times 144 \times \frac{5π}{4} \]
[A = 72 uair \frac{5π}{4} \]
[A = 90π, cm²]
Mar sin, is é 225 céim uillinn lárnach na hearnála, agus is é 90\(\pi\) cm² achar na hearnála.
Conclúid
Éilíonn tuiscint iomlán ar phrionsabail bhunúsacha na gciorcal agus ar úsáid cheart foirmlí chun an gaol idir fad an stua agus achar na hearnála a thuiscint. Trí na fadhbanna cleachtaidh thuas, is féidir linn a fheiceáil cé chomh tábhachtach is atá sé tiontuithe uillinne a mháistir agus foirmlí a chur i bhfeidhm go díreach i gcomhthéacs na geoiméadrachta ciorclaí. Cuidíonn gach céim sa phlé fadhbanna linn tuiscint a fháil ar an gcaoi a n-oibríonn na foirmlí agus conas iad a chur i bhfeidhm go héifeachtach.
Trí leanúint ar aghaidh ag cleachtadh agus ag tuiscint na mbunghnéithe atá mínithe, beimid níos inniúla i réiteach fadhbanna a bhaineann le fad stua agus achar earnála, agus beidh sé seo an-úsáideach i bhfeidhmeanna matamaiticiúla agus eolaíochta éagsúla eile.
