Ceisteanna Samplacha agus Plé ar Fheidhmeanna Insteallta, Suirbhéacha, agus Béighníomhacha
Is minic a bhíonn sainmhíniú feidhme agus a húsáideacht sa mhatamaitic ina ábhar plé suimiúil. Sa chomhthéacs seo, is minic a thagann muid trasna ar théarmaí ar nós feidhmeanna insteallta, feidhmeanna surjectacha agus feidhmeanna bijectacha. Tá sé ríthábhachtach na trí chineál feidhme seo a thuiscint le haghaidh anailíse matamaiticiúla agus a bhfeidhmeanna praiticiúla i réimsí éagsúla ar nós na heolaíochta ríomhaireachta, na heacnamaíochta agus na fisice.
Feidhmeanna Insteallta, Suirbhéacha agus Bijectacha a Thuiscint
Sula ndéantar plé ar cheisteanna samplacha agus ar a bplé, cuimhnímis ar dtús ar shainmhínithe na dtrí fheidhm.
1. Feidhm Insteallta (Feidhm Aon-le-hAon): Tugtar feidhm insteallta ar fheidhm f : A → B má tá, i gcás gach a1 agus a2 sa réimse A, f(a1) = f(a2), ansin caithfidh a1 a bheith cothrom le a2. I bhfocail eile, cinntíonn feidhm insteallta go ndéantar eilimintí ar leith sa réimse A a mhapáil chuig eilimintí ar leith sa chomh-fhearann B.
2. Feidhm Shuirbhíoch (Ar Fheidhm): Tugtar suirbhíoch ar fheidhm f : A → B má tá eilimint amháin ar a laghad i bhfearann A mapáilte ag gach eilimint sa chódfhearann B. Sa chás seo, níl aon eilimintí “folamha” ná aon chomhghleacaithe ón bhfearann A sa chódfhearann B.
3. Feidhm Dhioscach (Comhfhreagras Aon-le-Ceann): Tugtar dioscach ar fheidhm f : A → B má tá sí instealltach agus surioscach araon. Ciallaíonn sé seo go bhfuil comhfhreagra uathúil ag gach eilimint i bhfearann A i gcomhfhearann B, agus go bhfuil comhfhreagra uathúil ag gach eilimint i gcomhfhearann B i bhfearann A freisin.
Ceisteanna agus Plé Samplacha
Ceist 1: Feidhm Insteallta
Ceist:
Tugtar feidhm f : ℝ → ℝ atá sainmhínithe mar f(x) = 2x + 3. Cruthaigh gur feidhm insteallta í an fheidhm seo.
Plé:
Chun a chruthú gur feidhm insteallta í an fheidhm seo, ní mór dúinn a thaispeáint má tá f(a) = f(b) ansin go bhfuil a = b.
Abair go bhfuil f(a) = f(b), deirimid go:
\[ 2a + 3 = 2b + 3 \]
Bain 3 ón dá thaobh:
\[2a = 2b \]
Roinn ar 2 ar an dá thaobh:
\[ a = b \]
Ós rud é gur léirigh muid gur cúis le a = b é f(a) = f(b), is feidhm insteallta í an fheidhm f(x) = 2x + 3.
Ceist 2: Feidhm Suirbhéach
Ceist:
I gcás feidhm g : ℝ → ℝ atá sainmhínithe mar g(x) = x^3, cruthaigh gur feidhm shuirbhéach í an fheidhm seo.
Plé:
Chun a chruthú gur feidhm shuriecteach í an fheidhm seo, ní mór dúinn a thaispeáint, i gcás gach eilimint y sa chódfhearann ℝ, go bhfuil eilimint amháin ar a laghad x sa fhearann ℝ sa chaoi is go bhfuil g(x) = y.
Lig y ∈ ℝ. Ba mhaith linn x a aimsiú sa chaoi is go:
\[ x^3 = y \]
Glac (x = √[3]{y}):
[g(\sqrt[3]{y}) = (\sqrt[3]{y})^3 = y \]
Ós rud é, i gcás gach y sa chódfhearann ℝ, gur féidir linn x a fháil atá ionann agus \( x = \sqrt[3]{y} \), ansin is feidhm shuirbhéach í an fheidhm g(x) = x^3.
Ceist 3: Feidhmeanna Béicteacha
Ceist:
I gcás feidhm h : ℝ → ℝ atá sainmhínithe mar h(x) = x – 1. Cruthaigh gur feidhm dhébheachtúil í an fheidhm seo.
Plé:
Instealladh:
Chun a chruthú go bhfuil h(x) insteallta, ní mór dúinn a thaispeáint má tá h(a) = h(b) ansin go bhfuil a = b.
Lig h(a) = h(b):
[a – 1 = b – 1]
Cuir 1 leis ar an dá thaobh:
\[ a = b \]
Ós rud é go mbíonn a = b mar thoradh ar h(a) = h(b), is feidhm insteallta í an fheidhm h(x) = x – 1.
Suibiachtúil:
Chun a chruthú go bhfuil h(x) surjective, ní mór dúinn a thaispeáint, i gcás gach eilimint y sa chódfhearann ℝ, go bhfuil eilimint amháin ar a laghad x sa fhearann ℝ sa chaoi is go bhfuil h(x) = y.
Lig y ∈ ℝ. Ba mhaith linn x a aimsiú sa chaoi is go:
\[x – 1 = y \]
Cuir 1 leis ar an dá thaobh:
\[x = y + 1 \]
Ós rud é gur féidir linn x a aimsiú i gcás gach y sa chódfhearann ℝ a bhfuil x = y + 1 ann, ansin is feidhm shuirbhéach í an fheidhm h(x) = x – 1.
Ós rud é go bhfuil h(x) insteallta agus surjectach, is feidhm dhé-insteallta í h(x).
Ceist 4: Cineál na Feidhme a Chinneadh
Ceist:
I gcás feidhm f : ℕ → ℕ atá sainmhínithe mar f(x) = 2x, faigh amach an feidhm insteallta, forshuíoch nó dhéshuíoch í f.
Plé:
Instealladh:
Chun a chruthú gur feidhm insteallta í an fheidhm seo, ní mór dúinn a thaispeáint má tá f(a) = f(b) ansin go bhfuil a = b.
Abair go bhfuil f(a) = f(b):
\[2a = 2b \]
Roinn ar 2 ar an dá thaobh:
\[ a = b \]
Dá bhrí sin, is feidhm insteallta í f(x) = 2x.
Suibiachtúil:
Chun a chruthú gur feidhm shurjectach í an fheidhm seo, ní mór dúinn a thaispeáint, i gcás gach eilimint y sa chódfhearann ℕ, go bhfuil eilimint amháin ar a laghad x sa fhearann ℕ sa chaoi is go bhfuil f(x) = y.
Ach tabhair faoi deara gurb é ℕ an códfhearann (na huimhreacha nádúrtha), agus nach dtugann f(x) = 2x ach uimhreacha cothroma. Abair gur uimhir chorr í y, níl aon x i ℕ sa chaoi is go bhfuil 2x = y.
Dá bhrí sin, ní feidhm shuirbhéach í f(x) = 2x.
Ós rud é nach bhfuil f(x) surjective, níl f(x) bijective ach an oiread.
Bunaithe ar na samplaí éagsúla thuas, is féidir linn a fheiceáil conas na cineálacha feidhmeanna (insteallta, surjectach, bijectach) a chruthú agus a aithint ó shainmhínithe feidhme éagsúla. Tá tuiscint ar na feidhmeanna seo ríthábhachtach i go leor gnéithe den mhatamaitic agus a feidhmeanna sa saol réadúil.
