Sampla de cheist phlé ar dhóchúlacht imeachtaí cumaisc neamhspleácha coinníollach
Pendahuuan
Is brainse den mhatamaitic í an dóchúlacht a dhéanann staidéar ar an dóchúlacht go dtarlóidh teagmhas. Ceann de na coincheapa bunúsacha i dteoiric na dóchúlachta is ea imeachtaí cumaisc, ar féidir iad a chatagóiriú mar neamhspleách nó coinníollach. Scrúdóidh an t-alt seo na coincheapa seo go mion trí fhadhbanna samplacha agus plé.
Imeachtaí Cumaisc
Is teaglaim de dhá imeacht nó níos mó a tharlaíonn i spás samplach é imeacht cumaiscthe. Tá dhá chineál imeachtaí cumaiscthe ann: imeachtaí neamhspleácha agus imeachtaí coinníollacha.
1. Imeachtaí Neamhspleácha: Deirtear go bhfuil dhá imeacht neamhspleách mura mbíonn tionchar ag rath nó teip imeachta amháin ar an gceann eile. Mar shampla, toradh caite boinn agus rolladh dísle.
2. Imeachtaí Coinníollach: Tarlaíonn imeachtaí coinníollach nuair a mbíonn tionchar ag rath nó teip imeachta amháin ar an dóchúlacht go dtarlóidh imeacht eile. Mar shampla, an seans go bhforbróidh duine galar má tá claonadh géiniteach acu don ghalar sin.
Dóchúlacht Imeachtaí Neamhspleácha
Is é seo an fhoirmle chun dóchúlacht dhá imeacht neamhspleácha A agus B a ríomh:
[P(AB) = P(A) × P(B)]
Dimana:
– Is é \(P(A \cap B)\) an dóchúlacht go dtarlóidh imeachtaí A agus B ag an am céanna.
– Is é \(P(A)\) an dóchúlacht go dtarlóidh teagmhas A.
– Is é \(P(B)\) an dóchúlacht go dtarlóidh teagmhas B.
Ceisteanna agus Plé Samplacha: Imeachtaí Neamhspleácha go Frithpháirteach
Ceist 1: Caitear bonn agus rolltar dísle sé-thaobhach. Faigh amach an dóchúlacht go bhfaighidh tú ceann ar an mbonn agus 4 ar an dísle.
Plé:
– Dóchúlacht go bhfeicfear íomhá ar bhonn: \( P(G) = \frac{1}{2} \)
– Dóchúlacht go bhfaighfear an uimhir 4 ar an dísle: \( P(4) = \frac{1}{6} \)
Ós rud é gur dhá imeacht neamhspleácha iad an bonn agus an dísle, is é seo an dóchúlacht go dtarlóidh an dá cheann ag an am céanna:
[P(G ≤ 4) = P(G) × P(4) = 1/2 × 1/6 = 1/12]
Mar sin, is é an dóchúlacht go bhfaighfear pictiúr ar an mbonn agus 4 ar an dísle ná 12.
Dóchúlacht Choinníollach Imeachtaí
Is é an dóchúlacht choinníollach do dhá imeacht A agus B an dóchúlacht go dtarlóidh A i bhfianaise gur tharla B. Taispeántar an fhoirmle chun an dóchúlacht choinníollach a ríomh mar seo a leanas:
[P(A|B) = \frac{P(A | B)}{P(B)}]
Dimana:
– Is é \(P(A|B) \) an dóchúlacht go dtarlóidh teagmhas A ar choinníoll go bhfuil teagmhas B tarlaithe cheana féin.
– Is é \( P(A \cap B) \) an dóchúlacht go dtarlóidh imeachtaí A agus B ag an am céanna.
– Is é \(P(B) \) an dóchúlacht go dtarlóidh teagmhas B.
Ceisteanna agus Plé Samplacha: Imeachtaí Coinníollach
Ceist 2: As bosca ina bhfuil 3 liathróid dhearg agus 2 liathróid ghorm, tarraingítear dhá liathróid go randamach ceann ar cheann gan iad a chur ar ais. Faigh an dóchúlacht go mbeidh an dara liathróid a tharraingítear dearg ag glacadh leis go mbeidh an chéad liathróid dearg freisin.
Plé:
Mar shampla:
– Is é A an teagmhas ina mbíonn an chéad liathróid dearg.
– Is é B an teagmhas ina mbíonn an dara liathróid dearg.
Táimid ag lorg \(P(B|A) \). Ar dtús, ríomhaimid \(P(A)\) agus \(P(A \cap B)\):
Líon iomlán na liathróidí = 5 (3 dearg agus 2 gorm).
An chéad seans le liathróid dhearg:
\[
P(A) = \frac{3}{5}
\]
Tar éis an chéad liathróid dhearg a tharraingt, is é 2 líon na liathróidí dearga atá fágtha agus is é 4 líon iomlán na liathróidí.
Dóchúlacht go mbeidh an dara liathróid dearg tar éis an chéad liathróid dhearg a tharraingt:
\[
P(B|A) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}
\]
Mar sin, is é an dóchúlacht go mbeidh an dara liathróid dearg má tá an chéad liathróid dearg freisin ná _( \frac{1}{2} \).
Ceisteanna Samplacha Teaglaim
Chun ár dtuiscint a dhoimhniú, is féidir linn imeachtaí cumaisc neamhspleácha agus coinníollacha a chomhcheangal i gceist amháin.
Ceist 3: Tá 5 liathróid dhearg agus 3 liathróid ghorm i mála. Tarraingítear dhá liathróid go randamach gan iad a athsholáthar. Faigh an dóchúlacht go bhfuil an chéad liathróid dearg agus an dara liathróid gorm.
Plé:
Úsáidimid an nótaíocht chéanna agus a úsáidimid roimhe:
– Is é A an teagmhas ina mbíonn an chéad liathróid dearg.
– Is é B an teagmhas ina mbíonn an dara liathróid gorm.
Ar dtús, ríomhaimid dóchúlacht gach teagmhais as a chéile.
Dóchúlacht go mbeidh an chéad liathróid dearg:
\[
P(A) = \frac{5}{8}
\]
Más dearg an chéad liathróid, is ionann líon na liathróidí dearga atá fágtha agus 4, agus is ionann líon iomlán na liathróidí atá fágtha agus 7.
Dóchúlacht go mbeidh an dara liathróid gorm i ndiaidh don chéad liathróid a bheith dearg:
\[
P(B|A) = \frac{3}{7}
\]
Mar sin, is é an dóchúlacht go bhfuil an chéad liathróid dearg agus an dara liathróid gorm toradh an dá dhóchúlacht choinníollacha seo:
\[
P(A ≤ B) = P(A) × P(B|A) = 5/8 × 3/7 = 15/56
\]
Mar sin, is é an dóchúlacht go mbeidh an chéad liathróid dearg agus an dara liathróid gorm ná 15(56).
Conclúid
I dteoiric na dóchúlachta, tá sé ríthábhachtach an difríocht idir imeachtaí neamhspleácha agus coinníollacha a thuiscint chun fadhbanna a bhaineann le himeachtaí cumaisc a réiteach. Trí fhadhbanna samplacha, foghlaimímid conas dóchúlachtaí cásanna éagsúla a ríomh a bhaineann leis an dá choincheap seo. Is féidir le tuiscint mhaith ar na coincheapa seo cabhrú le cinnteoireacht i gcásanna fíorshaoil amhail bainistíocht riosca, cearrbhachas agus taighde eolaíoch.
Léiríonn cur i bhfeidhm na matamaitice sa saol laethúil cé chomh ríthábhachtach is atá an tuiscint seo do ghnéithe éagsúla de shaol an duine, ón gceann is simplí go dtí an ceann is casta. Trí na coincheapa bunúsacha seo a chleachtadh agus a mháistir i gcónaí, géaróidh ár scileanna san anailís dóchúlachta.
