Ceisteanna Samplacha a Phléann Úsáid Cóimheasa Triantánacha
Is brainse den mhatamaitic í an triantánacht a dhéanann staidéar ar na caidrimh idir taobhanna agus uillinneacha triantán. Tá sé ríthábhachtach tuiscint a fháil ar an triantánacht mar go n-úsáidtear go minic í i réimsí éagsúla, lena n-áirítear ailtireacht, innealtóireacht, réalteolaíocht, agus fiú cripteagrafaíocht. Pléifear roinnt fadhbanna samplacha san alt seo agus pléifear iad i gcomhthéacs úsáid cóimheasa triantánachta.
Coincheapa Bunúsacha na Triantánachta
Sula dtéimid isteach sna fadhbanna samplacha, déanaimis athbhreithniú ar roinnt coincheapa bunúsacha i dtriantánacht. I dtriantán ceart, tá trí phríomhfheidhm thriantánachta a úsáidtear go minic: sine, cosine, agus tadhlaí.
– Is é sine (sin) uillinne an cóimheas idir fad an taobh atá os coinne na huillinne agus fad an hipotenúis.
\[
sin \theta = \frac{\text{taobh aghaidh}}{\text{hipitéinéis}}
\]
– Is é cóshíneas (cos) uillinne an cóimheas idir fad an taobh atá cóngarach don uillinn agus fad an hipotenúis.
\[
\cos \theta = \frac{\text{taobh cóngarach}}{\text{hipitéinise}}
\]
– Is é tadhlaí (tan) uillinne an cóimheas idir fad an taoibh atá os coinne na huillinne agus fad an taoibh atá cóngarach don uillinn.
\[
\tan \theta = \frac{\text{taobh tosaigh}}{\text{taobh}}
\]
Ceist Shamplach 1: Airde an Túir a Ríomh
Ceist: Seasann breathnóir 50 méadar ó thúr agus tomhaiseann sé uillinn airde bharr an túir mar 30 céim. Faigh airde an túir.
Réiteach: Chun an fhadhb seo a réiteach, is féidir linn an fheidhm tadhlaí a úsáid i dtrigonometry. Ós rud é go bhfuil a fhios againn uillinn an airde agus an fad cothrománach ón mbreathnóir go dtí an túr, is féidir linn a scríobh:
\[
\tan 30^\circ = \frac{\text{airde túir}}{\text{fad cothrománach}}
\]
Cuir na luachanna aitheanta ina n-ionad:
\[
\tan 30^\circ = \frac{h}{50}
\]
Is eol go bhfuil \(tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}\), ionas go mbeidh:
\[
\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h}{50}
\]
Ansin is féidir airde an túir, \(h\), a fháil trí dhá thaobh na cothromóide a iolrú faoi 50:
\[
h = 50 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{50}{\sqrt{3}} \approx 28.87 \, \text{méadar}
\]
Tá airde an túir thart ar 28.87 méadar.
Ceist Shamplach 2: Fad a Chinneadh ag Úsáid Cósín
Ceist: Téann long 10 km soir, ansin athraíonn sí cúrsa 60 céim ó thuaidh agus seolann sí 15 km. Faigh amach an fad ón bpointe tosaigh go dtí an long.
Plé: Chun an fhadhb seo a réiteach, is féidir linn riail an chosínis a úsáid i dtriantánacht. Má dhéanaimid plota ar thuras na loinge i gcóras comhordanáidí, aimsímid triantán le taobhanna 10 km agus 15 km, agus uillinn 60 céim. Is féidir linn riail an chosínis a úsáid chun an fad idir pointe tosaigh na loinge agus a suíomh deiridh a fháil.
\[
c^2 = a^2 + b^2 – 2ab \cos C
\]
Dimana:
– \(a = 10 \)
– \(b = 15 \)
– \( C = 60^\circ \)
Cuir na luachanna aitheanta ina n-ionad:
\[
c^2 = 10^2 + 15^2 – 2 ⋅ 10 ⋅ 15 ⋅ cos 60^cifre
\]
Tá a fhios againn go bhfuil (cos 60) = 0.5, ansin:
\[
c^2 = 100 + 225 – 2 ⋅ 10 ⋅ 15 ⋅ 0.5
\]
\[
c^2 = 100 + 225 – 150
\]
\[
c^2 = 175
\]
\[
c = 175 céadiméadar (thart ar 13.23 km)
\]
Mar sin, tá an fad ón bpointe tosaigh go dtí an long thart ar 13.23 km.
Ceist Shamplach 3: Sín a Úsáid chun Taobhanna Triantáin a Chinneadh
Ceist: I dtriantán, tá dhá thaobh 7 cm agus 10 cm ar fhad, agus uillinn 45 céim eatarthu. Ríomh fad an tríú taobh den triantán.
Plé: Is féidir linn dlí na sine a úsáid chun an fhadhb seo a réiteach. I ndlí na sine, i gcás triantáin le taobhanna _(a), _(b), agus _(c) agus uillinn _(C) idir na taobhanna _(a) agus _(b):
\[
\frac{c}{\sin C} = \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}
\]
Mar sin féin, sa chás seo, is féidir linn dlí na gcosíní a úsáid go díreach chun rudaí a dhéanamh níos éasca. Deir dlí na gcosíní:
\[
c^2 = a^2 + b^2 – 2ab \cos C
\]
Dimana:
– \(a = 7 \)
– \(b = 10 \)
– \( C = 45^\circ \)
(cos 45^circ = \frac{\sqrt{2}}{2}), ionas go mbeidh:
\[
c^2 = 7^2 + 10^2 – 2 ⋅ 7 ⋅ 10 ⋅ \frac{\sqrt{2}}{2}
\]
\[
c^2 = 49 + 100 – 70\sqrt{2}
\]
\[
c^2 = 149 – 70\sqrt{2}
\]
Ag ríomh luach \(c \):
\[
c thart ar 149 – 70 sqrt2 thart ar 5.97, cm
\]
Mar sin, is é fad an tríú taobh den triantán ná thart ar 5.97 cm.
Conclúid
Is uirlis an-úsáideach í an triantánacht chun fadhbanna éagsúla a bhaineann le triantáin agus uillinneacha a réiteach. Le tuiscint mhaith ar shíneas, cosíneas, tadhlaí, agus dlíthe na triantánachta, is féidir linn go leor fadhbanna praiticiúla a réiteach. Pléann an t-alt seo roinnt samplaí d’úsáid cóimheasa triantánachta, agus tá súil againn go gcuideoidh sé le léitheoirí a dtuiscint a fheabhsú.
