Ferwachte wearde fan binomiale ferdieling
De binomiale ferdieling is ien fan 'e meast foarkommende diskrete kânsferdielingen yn statistyk en kânsferdieling. Dizze ferdieling beskriuwt it oantal súksessen yn in searje ûnôfhinklike binêre proeven (proeven mei mar twa útkomsten: súkses of mislearring). Om de binomiale ferdieling better te begripen, is it wichtich om it konsept fan ferwachte wearde te begripen, dat de gemiddelde wearde fan in proef beskriuwt dy't oer de lange termyn werhelle wurdt. Dit artikel sil it konsept fan ferwachte wearde besjen yn 'e kontekst fan' e binomiale ferdieling.
Definysje fan binomiale ferdieling
De binomiale ferdieling ûntstiet yn konteksten wêr't wy in oantal identike en ûnôfhinklike proeven útfiere, en elke proef hat twa ûnderling útslutende útkomsten, meastentiids oantsjutten as "súkses" en "mislearring". Bygelyks, it opgooien fan in munt (kop of sturt), it beantwurdzjen fan in eksamenfraach (wier of falsk), of in medyske proef (genêzen of net genêzen).
De binomiale ferdieling wurdt definiearre troch twa parameters:
– n, oantal proeven.
– p, de kâns op sukses by elke poging.
Rûchwei sprutsen, as X in willekeurige fariabele is dy't it oantal súksessen yn n proeven fertsjintwurdiget, dan folget X in binomiale ferdieling mei parameters n en p, oantsjutten as X ~ Binomial(n, p).
Kânsfunksje
De kânsfunksje fan 'e binomiale ferdieling is as folget:
\[ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{nk} \]
Wêr:
– \( \binom{n}{k} \) is de binomiale koëffisjint, dy't berekkene wurdt as \( \frac{n!}{k!(nk)!} \).
– \(k \) is it winske oantal súksessen.
– \(n \) is it oantal proeven.
– \(p \) is de kâns op sukses by elke poging.
– \( (1-p) \) is de kâns op mislearjen yn elke poging.
Ferwachte wearde
De ferwachte wearde of it gemiddelde fan in kânsferdieling is ien fan 'e wichtichste mjittingen fan sintrale lokaasje. Foar de binomiale ferdieling is de ferwachte wearde fan in willekeurige fariabele X dy't folget op Binomial(n, p):
\[ E(X) = np \]
Bewiis fan ferwachte wearde
Om te begripen wêrom't de ferwachte wearde fan 'e binomiale ferdieling np is, kinne wy de lineariteitseigenskip fan 'e ferwachte wearde brûke en sjen hoe't de binêre fariabelen optelle ta harren bydrage.
Lit ús \(X \) definiearje as it oantal suksessen yn n binêre proeven. Mear spesifyk, lit \(X_i \) in willekeurige fariabele wêze dy't de útkomst fan 'e i-de proef oanjout, mei \(X_i = 1 \) as de i-de proef in súkses is, en \(X_i = 0 \) as it in mislearring is. Dan kinne wy \(X \) skriuwe as:
[X = X_1 + X_2 + \ldots + X_n \]
Omdat elke \(X_i \) in binêre fariabele is mei kâns op sukses p, is de ferwachte wearde fan \(X_i \):
[E(X_i) = 1 p + 0 (1-p) = p]
Wy kinne de lineariteitseigenskip fan ferwachte wearde brûke foar de ferwachte wearde fan X:
[E(X) = E(X_1 + X_2 + \ldots + X_n) \]
[E(X) = E(X_1) + E(X_2) + ∫ + E(X_n)]
[E(X) = p + p + ∫ + p]
\[ E(X) = np \]
Dit lit sjen dat de ferwachte wearde fan 'e binomiale ferdieling np is.
Yllustratyf foarbyld
Beskôgje it gefal wêr't wy 10 kear in earlike munt opsmite. Litte wy freegje wat de ferwachte wearde wêze soe fan it oantal opsmiten dat resulteart yn kop.
Yn dit gefal:
– n = 10 (oantal muntworpen)
– p = 0.5 (kâns op kop, om't de munt earlik is)
Dus, de ferwachte wearde is:
\[ E(X) = np = 10 \times 0.5 = 5 \]
Dit betsjut dat as wy in munt 10 kear werhelle opgooien oer de lange termyn, wy gemiddeld 5 kear kop krije.
Fariânsje en standertôfwiking
Neist de ferwachte wearde is it ek wichtich om de fariânsje en standertôfwiking fan 'e binomiale ferdieling te begripen.
Foar de binomiale ferdieling binne de fariânsje \( \sigma^2 \) en standertôfwiking \( \sigma \) as folget:
\[ \sigma^2 = np(1-p) \]
\[ \sigma = \sqrt{np(1-p)} \]
Fariânsje mjit hoe fier de gegevens ferspraat binne fan 'e ferwachte wearde. De standertôfwiking is de fjouwerkante woartel fan 'e fariânsje en mjit ek de fersprieding fan 'e gegevens, mar yn deselde ienheden as de orizjinele gegevens.
Konklúzje
De binomiale ferdieling is in fûneminteel konsept yn statistyk en kânsberekkening, dat faak tsjinkomt yn ferskate praktyske tapassingen, fan bedriuwskunde oant sosjale wittenskippen en biology. De ferwachte wearde fan 'e binomiale ferdieling, berekkene as np, jout wichtich ynsjoch yn it gemiddelde oantal suksessen yn in searje binêre proeven. Troch de konsepten fan ferwachte wearde, fariânsje en standertôfwiking te begripen, kinne wy in dúdliker begryp krije fan 'e skaaimerken fan' e binomiale ferdieling en hoe't it bepaalde ferskynsels yn it deistich libben beskriuwt.
Dizze kennis is tige nuttich, net allinich by gegevensanalyse en statistyk, mar ek by beslútfoarming dy't it evaluearjen fan kâns en ûnwissichheid fereasket. It begripen fan ferwachte wearde en de binomiale ferdieling kin ús helpe om krekter foarsizzingen te meitsjen en better ynformearre besluten te nimmen.
