Foarbyldfragen oer systemen fan lineêre fergelikingen en ûngelikens
Systemen fan lineêre fergelikingen en ûngelikingen binne in wichtich ûnderwerp yn 'e wiskunde mei wiidfersprate tapassing yn ferskate fjilden, lykas ekonomy, wittenskip en technyk. Yn dit artikel sille wy foarbyldproblemen beprate dy't systemen fan lineêre fergelikingen en ûngelikingen omfetsje en hoe't se yn detail oplost wurde kinne.
Definysje fan in systeem fan lineêre fergelikingen
In systeem fan lineêre fergelikingen bestiet út twa of mear lineêre fergelikingen dy't mei-inoar relatearre binne. Foarbylden binne:
\[
\begin{gefallen}
2x + 3y = 5 \\
4x - y = 1
\ein{gefallen}
\]
It doel fan it oplossen fan dit systeem is om de wearden fan \(x\) en \(y\) te finen dy't tagelyk oan beide fergelikingen foldogge.
Metoaden foar it oplossen fan systemen fan lineêre fergelikingen
Der binne ferskate metoaden foar it oplossen fan systemen fan lineêre fergelikingen, ynklusyf:
1. Ferfangingsmetoade
2. Eliminaasjemetoade
3. Matriksmetoade (Inverse of Gauss-Jordan)
Foarbyldfraach 1: Substitúsjemetoade
Lit ús it folgjende systeem oplosse mei de substituasjemetoade:
\[
\begin{gefallen}
x + 2y = 10 \\
3x - y = 5
\ein{gefallen}
\]
Langkah-langkah:
1. Isolearje ien fan 'e fariabelen yn ien fan 'e fergelikingen.
Fan 'e earste fergeliking isolearje wy \(x\):
\[
x = 10 – 2y
\]
2. Ferfang de fûne útdrukking yn 'e oare fergeliking.
Ferfange \(x = 10 – 2y\) yn 'e twadde fergeliking:
\[
3(10 – 2y) – y = 5
\]
Oplosse foar \(y\):
\[
30 – 6j – j = 5
\]
\[
30 – 7j = 5
\]
\[
-7j = -25
\]
\[
y = \frac{25}{7}
\]
3. Brûk de fûne wearden om oare fariabelen te finen.
Ferfange \(y = \frac{25}{7}\) werom yn 'e útdrukking foar \(x\):
\[
x = 10 – 2\lofts(\frac{25}{7}\rjochts)
\]
\[
x = 10 – \frac{50}{7}
\]
\[
x = \frac{70}{7} – \frac{50}{7}
\]
\[
x = \frac{20}{7}
\]
Dat betsjut dat de oplossingen foar it systeem \(x = \frac{20}{7} \) en \(y = \frac{25}{7} \).
Foarbyldfraach 2: Eliminaasjemetoade
Folgjende, lit ús de eliminaasjemetoade brûke om it folgjende systeem op te lossen:
\[
\begin{gefallen}
2x + 3y = 12 \\
4x + 6y = 24
\ein{gefallen}
\]
Yn dit gefal sjogge wy dat de twadde fergeliking in mearfâld is fan 'e earste fergeliking. Om it systeem te ferminderjen, kinne wy de earste fergeliking fermannichfâldigje mei 2 en it dan fan 'e twadde fergeliking ôflûke:
1. Fermannichfâldigje de earste fergeliking mei 2:
\[
2(2x + 3y) = 2 ≥ 12
\]
\[
4x + 6y = 24
\]
2. Trek de fermannichfâldige earste fergeliking ôf fan 'e twadde fergeliking:
\[
(4x + 6y) – (4x + 6y) = 24 – 24
\]
\[
0 = 0
\]
Dit jout \(0 = 0\), wat oanjout dat it systeem ûneinige oplossingen hat en dizze fergelikingen ôfhinklik binne.
Foarbyldfraach 3: Lineêre ûngelikens
Lineêre ûngelikens folgje ferlykbere prinsipes as lineêre fergelikingen, mar omfetsje ûngelikenstekens lykas \(<, \leq, >, \geq\). Litte wy nei in ienfâldich foarbyld sjen:
\[
\begin{gefallen}
3x – y < 7 \\ 2x + y \geq 4 \end{cases} \] Stappen: 1. Wy brûke de grafyske metoade om it oplossingsgebiet fan dit systeem te bepalen. Stel elke ûngelikens yn 'e grafyk. 2. Konvertearje de ûngelikens nei in fergeliking om de grinsline te bepalen: Foar \(3x - y < 7\) is de grinsline \(3x - y = 7\)
