Foarbyldfragen oer trigonometryske ferhâldingen
Trigonometry is in tûke fan wiskunde dy't him dwaande hâldt mei de relaasje tusken lingten en hoeken yn trijehoeken. Trigonometryske ferhâldingen spylje in wichtige rol yn ferskate fjilden lykas technyk, natuerkunde, astronomy, en sels it deistich libben. Dit artikel sil ferskate foarbyldproblemen en har oplossingen besjen om jo te helpen de basisbegripen fan trigonometryske ferhâldingen te begripen.
Trigonometryske ferhâldingen yn rjochthoekige trijehoeken
Litte wy begjinne mei it begripen fan 'e basisferhâldingen yn in rjochthoekige trijehoek. Dizze ferhâldingen binne bekend as sinus (sin), kosinus (cos) en tangens (tan). Yn in rjochthoekige trijehoek binne der trije wichtige kanten dy't wy identifisearje moatte:
1. Tsjinoerstelde kant: De kant dy't direkt tsjinoer de hoeke stiet dy't wy beskôgje.
2. Oangrinzgjende kant: De kant dy't neist de hoeke leit dy't wy beskôgje.
3. Hypotenusa: De langste kant yn in rjochthoekige trijehoek tsjinoer de rjochte hoeke.
Foarbyldfraach 1
Jûn in rjochthoekige trijehoek mei hoeke θ, dêr't de tsjinoerstelde kant fan hoeke θ in lingte fan 3 ienheden hat, de oanswettende kant in lingte fan 4 ienheden hat, en de hypotenusa in lingte fan 5 ienheden hat. Fyn de wearden fan sin, cos en tan fan hoeke θ.
Oplossing:
Om de sinus-, kosinus- en tangenswearden fan hoeke θ te finen, brûke wy de basis trigonometryske ferhâldingsformules:
– Sinus (sin) θ = Front Side / Hypotenuse
\[ \sin θ = \frac{3}{5} \]
– Kosinus (cos) θ = Sydydydy / Hypotenusa
\[ \cos θ = \frac{4}{5} \]
– Tangent (tan) θ = Foarkant / Side
\[ \tan θ = \frac{3}{4} \]
Trigonometryske relaasjes fan oare hoeken
Trigonometryske ferhâldingen kinne ek tapast wurde op oare hoeken yn ferskate soarten trijehoeken, ynklusyf lyksydige trijehoeken en regelmjittige trijehoeken. It is wichtich om basisregels te begripen lykas de Sinusregel en de Kosinusregel, dy't jilde foar trijehoeken dy't gjin rjochthoekige trijehoeken binne.
Foarbyldfraach 2
Jûn in trijehoek ABC mei siden a = 7 sm, b = 24 sm, en hoeke C = 90°. Fyn de lingte fan kant c en de wearden fan hoeken A en B.
Oplossing:
Omdat hoeke C in rjochte hoeke is, kinne wy de stelling fan Pythagoras brûke om de lingte fan kant c (de hypotenusa) te finen:
\[ c = \sqrt{a^2 + b^2} \]
\[c = \sqrt{7^2 + 24^2} \]
\[c = \sqrt{49 + 576} \]
\[ c = \sqrt{625} \]
\[ c = 25 \, \tekst{cm} \]
Folgjende, om de wearde fan hoeken A en B te bepalen, kinne wy basis trigonometryske ferhâldingen brûke.
Foar hoeke A brûke wy kosinus:
\[ \cos A = \frac{\text{oanswettende kant}}{\text{hypotenusa}} = \frac{24}{25} \]
\[ A = \cos^{-1} \lofts(\frac{24}{25}\rjochts) \]
Foar hoeke B brûke wy de sinus:
\[ \sin B = \frac{\text{foarkant}}{\text{hypotenusa}} = \frac{24}{25} \]
\[ B = \sin^{-1} \lofts(\frac{24}{25}\rjochts) \]
Omdat yn in rjochthoekige trijehoek de som fan 'e hoeken oars as de rjochte hoeke 90° wêze moat:
\[ A + B = 90° \]
\[ A = 90° – B \]
Sinusregel
De sinusregel wurdt as folget formulearre:
[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} \]
Foarbyldfraach 3
Jûn in trijehoek mei sydkant a = 8 sm, sydkant b = 15 sm, en hoeke C = 60°. Fyn hoeke A en de lingte fan sydkant c mei de Sinusregel.
Oplossing:
Brûk earst de Sinusregel om ien fan 'e oare hoeken te finen (bygelyks hoeke A):
[ \frac{a}{\sin A} = \frac{c}{\sin C} \]
\[ \frac{8}{\sin A} = \frac{c}{\sin 60°} \]
Wy moatte earst de wearde fan c berekkenje. Omdat hoeke C 60° is, kinne wy de kosinusregel brûke:
[c² = a² + b² – 2ab \cos(C) \]
[c² = 8² + 15² – 2 ⋅ 8 = 15 °C = cos(60°)]
\[c^2 = 64 + 225 – 240 ⋅ 0.5 \]
\[c^2 = 289 – 120 \]
\[c^2 = 169 \]
\[ c = 13 \, \tekst{cm} \]
No kinne wy hoeke A fine:
\[ \frac{8}{\sin A} = \frac{13}{\sin 60°} \]
Omdat (sin 60° = 3/2):
\[ \frac{8}{\sin A} = \frac{13}{\sqrt{3}/2} \]
\[ \frac{8}{\sin A} = \frac{26}{\sqrt{3}} \]
[8 ⋅ 3 = 26 sin A]
[sin A = \frac{8 \sqrt{3}}{26} \]
[sin A = \frac{4 \sqrt{3}}{13} \]
Ta beslút, mei de inverse sinus:
\[ A = \sin^{-1}\lofter(\frac{4 \sqrt{3}}{13}\rjochter) \]
Kosinusregel
De kosinusregel stelt:
[c^2 = a^2 + b^2 – 2ab \cos C]
Foarbyldfraach 4
Jûn in trijehoek mei sydkant a = 9 sm, sydkant b = 12 sm, en sydkant c = 15 sm. Fyn hoeke C.
Oplossing:
Om hoeke C te finen, brûke wy de kosinusregel:
[c^2 = a^2 + b^2 – 2ab \cos C]
[15^2 = 9^2 + 12^2 – 2 ⋅ 9 ⋅ 12 ⋅ cos C]
\[ 225 = 81 + 144 – 216 \cos C \]
\[225 = 225 – 216 \cos C \]
\[ 0 = -216 \cos C \]
\[ \cos C = 0 \]
Fan hjirút witte wy dat hoeke C 90° is, om't cos 90° = 0.
Dit binne wat foarbyldproblemen om jo te helpen trigonometryske ferhâldingen te begripen. Trochgeande oefening mei in ferskaat oan problemen sil jo begryp fan dizze konsepten sterk fersterkje. Wy hoopje dat dit artikel nuttich west hat by jo learen!
