Foarbyldfragen en diskusje oer fektorsubtraksje
Pendahuluan
Yn wiskunde en natuerkunde binne fektoren in fûneminteel konsept dat brûkt wurdt om in protte natuerlike en yngenieursferskynsels te ferklearjen. In fektor is in kwantiteit dy't sawol grutte as rjochting hat. Guon wichtige foarbylden fan fektoren binne ferpleatsing, snelheid, fersnelling en krêft. Yn dit artikel sille wy fektorsubtraksje beprate, hoewol dit ûnderwerp faak beklamme wurdt yn 'e kontekst fan fektorkombinaasje.
Fektorsubtraksje is in fûnemintele operaasje dy't krúsjaal is yn fektoranalyse. Om djipper yn dit konsept te dûken, litte wy wat foarbyldproblemen en diskusjes besjen dy't relatearre binne oan fektorsubtraksje.
Fektor-subtraksje
De fektorsubtraksje {\displaystyle \mathbf{A} – \mathbf{B}} wurdt definiearre as de operaasje fan it optellen fan 'e fektor {\displaystyle \mathbf{A}} mei de fektor {\displaystyle -\mathbf{B}}, wêrby't {\displaystyle -\mathbf{B}} in fektor is mei deselde grutte as {\displaystyle \mathbf{B}} mar mei de tsjinoerstelde rjochting. Wiskundich kin dit skreaun wurde as:
{\displaystyle \mathbf{A} – \mathbf{B} = \mathbf{A} + (-\mathbf{B})}
Foarbyldfragen en diskusje
Fraach 1: Twadiminsjonale fektoren ôflûke
Stel dat der twa fektoren binne yn Cartesyske koördinaten:
{\displaystyle \mathbf{A} = (4, 3)} en {\displaystyle \mathbf{B} = (1, 2)}. Bereken {\displaystyle \mathbf{A} – \mathbf{B}}.
Diskusje:
De earste stap is om de negative fektor fan B te finen, nammentlik:
{\displaystyle -\mathbf{B} = (-1, -2)}
Folgjende, tel de fektor {\displaystyle \mathbf{A}} op mei {\displaystyle -\mathbf{B}}:
{\displaystyle \mathbf{A} – \mathbf{B} = (4, 3) + (-1, -2)}
Fier fektoroptelling út troch elke x- en y-komponint op te tellen:
{\displaystyle \mathbf{A} – \mathbf{B} = (4 + (-1), 3 + (-2))}
{\displaystyle \mathbf{A} – \mathbf{B} = (3, 1)}
Dat betsjut dat it resultaat fan it subtrahearjen fan de fektoren A – B de fektor (3, 1) is.
Fraach 2: Trijediminsjonale fektoren ôflûke
Jûn twa fektoren yn trijediminsjonale koördinaten:
∫P = (2, -4, 6) en ∫Q = (-3, 5, 7). Bereken ∫P – ∫Q.
Diskusje:
De earste stap is om de negative fektor fan {\displaystyle \mathbf{Q}} te finen:
{\displaystyle -\mathbf{Q} = (3, -5, -7)}
Folgjende, tel de fektor {\displaystyle \mathbf{P}} op mei {\displaystyle -\mathbf{Q}}:
{\displaystyle \mathbf{P} – \mathbf{Q} = (2, -4, 6) + (3, -5, -7)}
Fier fektoroptelling út troch elke x-, y- en z-komponint op te tellen:
{\displaystyle \mathbf{P} – \mathbf{Q} = (2 + 3, -4 + (-5), 6 + (-7))}
{\displaystyle \mathbf{P} – \mathbf{Q} = (5, -9, -1)}
Dat betsjut dat it resultaat fan it subtrahearjen fan de fektoren P – Q de fektor (5, -9, -1) is.
Fraach 3: Fektorsubtraksje yn it komplekse flak
Stel dat der twa fektoren binne dy't fertsjintwurdige wurde troch komplekse getallen:
{\displaystyle \mathbf{M} = 3 + 4i} en {\displaystyle \mathbf{N} = 1 + 2i}. Bereken {\displaystyle \mathbf{M} – \mathbf{N}}.
Diskusje:
De earste stap is om de negative fektor fan {\displaystyle \mathbf{N}} te finen:
{\displaystyle -\mathbf{N} = -1 – 2i}
Folgjende, tel de fektor {\displaystyle \mathbf{M}} op mei {\displaystyle -\mathbf{N}}:
{\displaystyle \mathbf{M} – \mathbf{N} = (3 + 4i) + (-1 – 2i)}
Fier fektoroptelling út troch elke echte en imaginêre komponint op te tellen:
{\displaystyle \mathbf{M} – \mathbf{N} = (3 + (-1)) + (4i + (-2i))}
{\displaystyle \mathbf{M} – \mathbf{N} = 2 + 2i}
Dat betsjut dat it resultaat fan it subtrahearjen fan de fektoren {\displaystyle \mathbf{M} – \mathbf{N}} it komplekse getal 2 + 2i is.
Fraach 4: Fektorsubtraksje yn it poalkoördinatensysteem
Stel dat der twa fektoren yn poalkoördinaten binne:
{\displaystyle \mathbf{U}} hat in magnitude fan 5 en in hoeke fan 30°,
en V hat in magnitude fan 3 en in hoeke fan 150°.
Berekenje U – V.
Diskusje:
De earste stap is om de fektoren {\displaystyle \mathbf{U}} en {\displaystyle \mathbf{V}} om te setten nei Cartesyske koördinaten.
Foar {\displaystyle \mathbf{U}}:
U_x = 5 \cos(30^\circ) = 5 \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 5 \cdot 0.866 = 4.33}
U_y = 5 sin(30^circ) = 5 lofts(frac{1}{2} rjochts) = 5 0.5 = 2.5
Dus yn Cartesysk is {\displaystyle \mathbf{U}} (4.33, 2.5).
Foar {\displaystyle \mathbf{V}}:
V_x = 3 \cos(150^\circ) = 3 \left(\frac{-\sqrt{3}}{2}\right) = 3 \cdot (-0.866) = -2.598}
V_y = 3 sin(150^circ) = 3 linker(frac{1}{2}) = 3 0.5 = 1.5
Dus V yn Cartesysk is (-2.598, 1.5).
Folgjende stap, berekkenje de fektorsubtraksje yn Cartesysk:
\mathbf{U} – \mathbf{V} = (4.33, 2.5) – (-2.598, 1.5)}
Dat betsjut troch it negative fan 'e fektor ta te foegjen:
\mathbf{U} – \mathbf{V} = (4.33 + 2.598, 2.5 – 1.5)}
U – V = (6.928, 1)
Dat betsjut dat it resultaat fan it subtrahearjen fan de fektor U – V yn Cartesyske koördinaten (6.928, 1) is.
Konklúzje
Fektorsubtraksje is in essensjele wiskundige operaasje yn in protte fjilden dy't fektoranalyse brûke. Oft it no yn twadiminsjonale, trijediminsjonale, komplekse of poalkoördinatesystemen is, it basisprinsipe bliuwt itselde: ien fektor tafoegje oan it negative fan in oare. De boppesteande foarbylden yllustrearje ferskate manieren om dizze operaasje yn ferskate konteksten ta te passen, wêrtroch't wy it konsept djipper en praktysker begripe kinne.
