Foarbyldfragen en diskusje oer sirkelsektoren
Sektoaren fan in sirkel binne in wichtich ûnderwerp yn 'e wiskunde dat faak foarkomt yn eksamens en oefenfragen. In sektor is it diel fan in sirkel dat begrinzge wurdt troch twa radii en de bôge dy't se ferbynt. Yn dit artikel sille wy ferskate foarbyldproblemen oer sektoren fan in sirkel beprate, tegearre mei detaillearre útlis, om ús begryp te ferdjipjen.
Definysje fan in sirkelsektor
In sektor fan in sirkel is in sektor fan in sirkel begrinzge troch twa radii en ien bôge. It oerflak fan in sektor wurdt berekkene op basis fan in fraksje fan it totale oerflak fan 'e sirkel. De wichtichste formule dy't brûkt wurdt om in sektor te berekkenjen is as folget:
– Juring-gebiet: \[L_juring = \frac{\theta}{360^\circ} \times \pi \times r^2\]
– Bôgelingte: \[P_b = \frac{\theta}{360^\circ} \times 2\pi r\]
Wêr:
– \( \theta \) is de grutte fan 'e sektorhoeke yn graden,
– \(r \) is de straal fan 'e sirkel,
– \( \pi \) is in konstante (sawat 3.14159).
Foarbyldfragen en diskusje
Fraach 1:
Jûn in sirkel mei in straal fan 10 sm en in sektor mei in sintrale hoeke fan 90°. Bereken it oerflak fan 'e sektor.
Diskusje:
It is bekend:
– \(r = 10 \) sm
– \( \theta = 90^\circ \)
Wy brûke de formule foar it gebiet fan in sektor:
\[L_juring = \frac{\theta}{360^\circ} \times \pi \times r^2\]
\[L_juring = \frac{90^\circ}{360^\circ} \times \pi \times (10\text{ cm})^2\]
\[L_juring = \frac{1}{4} \times \pi \times 100\text{ cm}^2\]
\[L_juring = 25\pi\text{ cm}^2\]
As \( \pi \) nommen wurdt as 3.14, dan:
\[L_juring = 25 \times 3.14\text{ cm}^2 = 78.5\text{ cm}^2\]
Dat betsjut dat it gebiet fan 'e sektor 78.5 sm² is.
Fraach 2:
In sektor fan in sirkel hat in straal fan 7 sm en in bôgelingte fan 11 sm. Bepale de sintrale hoeke fan 'e sektor yn radialen.
Diskusje:
It is bekend:
– \(r = 7 \) sm
– Bôgelingte \( P_b = 11 \text{ sm} \)
Wy brûke de formule foar bôgelingte om de hoeke \( \theta \) te finen:
\[P_b = \frac{\theta}{360^\circ} \times 2\pi r\]
Omdat wy frege wurde om de hoeke yn radialen te finen, ferfange wy 360° mei \(2\pi\) radialen:
\[P_b = \theta \times r\]
\[11 = \theta \times 7\]
\[\theta = \frac{11}{7}\]
\[\theta \approx 1.57 \text{ rad}\]
Dat betsjut dat de sintrale hoeke fan 'e sektor 1.57 radialen is.
Fraach 3:
In sirkel mei in straal fan 16 sm hat in sektor mei in oerflak fan 200 sm². Bereken de sintrale hoeke fan 'e sektor.
Diskusje:
It is bekend:
– \(r = 16 \) sm
– \( L_juring = 200 \tekst{ cm}^2 \)
Wy brûke de formule foar it oerflak fan in sektor om _( _theta _) te finen:
\[L_juring = \frac{\theta}{360^\circ} \times \pi \times r^2\]
\[200 = \frac{\theta}{360^\circ} \times \pi \times (16)^2\]
\[200 = \frac{\theta}{360^\circ} \times π \times 256\]
\[200 = \frac{\theta \times 256 \times π}{360^\circ}\]
\[200 \times 360^\circ = \theta \times 256 \times 3.14\]
\[72000 = \heta \times 256 \times 3.14\]
\[72000 = \theta \times 804.64\]
\[\theta = \frac{72000}{804.64}\]
\[\theta \approx 89.45^\circ\]
Dat betsjut dat de sintrale hoeke fan 'e sektor sawat 89.45° is.
Fraach 4:
Bereken de totale omtrek fan in sektor mei in straal fan 12 sm en in sintrale hoeke fan 120°.
Diskusje:
It is bekend:
– \(r = 12 \) sm
– \( \theta = 120^\circ \)
Earst fine wy de lingte fan 'e bôge:
\[P_b = \frac{\theta}{360^\circ} \times 2\pi r\]
\[P_b = \frac{120^\circ}{360^\circ} \times 2\pi \times 12\]
\[P_b = \frac{1}{3} \times 2\pi \times 12\]
\[P_b = 8\pi\tekst{ cm}\]
Dan berekkenje wy de omtrek fan 'e sektor (bôgelingte + twa radiussen):
\[K = 2r + P_b\]
[K = 2 kear 12 sm + 8 pi sm]
[K = 24 sm + 8 pi sm]
As \( \pi \) nommen wurdt as 3.14, dan:
[K = 24 sm + 8 kear 3.14 sm]
\[K = 24\tekst{sm} + 25.12\tekst{sm}\]
\[K = 49.12\tekst{ sm}\]
Dat betsjut dat de totale omtrek fan 'e sektor 49.12 sm is.
Fraach 5:
As in sirkel mei in straal fan 18 sm in sektor hat dy't in hoeke fan 45° makket, bepale dan de lingte fan 'e bôge en it oerflak fan 'e sektor.
Diskusje:
It is bekend:
– \(r = 18 \) sm
– \( \theta = 45^\circ \)
1. Bôgelingte:
\[P_b = \frac{\theta}{360^\circ} \times 2\pi r\]
\[P_b = \frac{45^\circ}{360^\circ} \times 2\pi \times 18\text{ cm}\]
\[P_b = \frac{1}{8} \times 36\pi\text{ cm}\]
\[P_b = 4.5\pi\tekst{ cm}\]
As \( \pi \) nommen wurdt as 3.14, dan:
\[P_b = 4.5 kear 3.14 sm \sawat 14.13 sm]
Dat betsjut dat de lingte fan 'e bôge sawat 14.13 sm is.
2. Sektorgebiet:
\[L_juring = \frac{\theta}{360^\circ} \times \pi \times r^2\]
\[L_juring = \frac{45^\circ}{360^\circ} \times \pi \times (18\text{ cm})^2\]
\[L_juring = \frac{1}{8} \times \pi \times 324\text{ cm}^2\]
\[L_juring = 40.5\pi\text{ cm}^2\]
As \( \pi \) nommen wurdt as 3.14, dan:
\[L_juring = 40.5 \times 3.14\text{ cm}^2 \approx 127.17\text{ cm}^2\]
Dat betsjut dat it gebiet fan 'e sektor sawat 127.17 sm² is.
Konklúzje
Yn dit artikel hawwe wy ferskate foarbyldproblemen besprutsen oangeande sektoren fan in sirkel en harren oplossingen. De essinsje fan it begripen fan sektoren fan in sirkel leit yn it behearskjen fan 'e basisformules foar it berekkenjen fan it oerflak fan in sektor en de lingte fan in bôge. Faak oefenjen en begripen fan hoe't jo dizze formules kinne tapasse op ferskate soarten problemen sil hopelik helpe om jo fermogen om ferlykbere problemen op te lossen te ferbetterjen.
