Mouvement d'un projectile

Article sur le mouvement des projectiles et exemples de problèmes avec solutions

Vitesse initiale (v_o) et la composante de la vitesse initiale (v_ox et v_oy)

Un objet dont le mouvement parabolique possède toujours une vitesse initiale. Puisque le mouvement parabolique combine des mouvements horizontaux et verticaux, la vitesse initiale comporte également des composantes horizontales et verticales.

Si l'objet se déplace de manière parabolique comme dans les figures 1 et 3, alors la vitesse initiale dans la direction horizontale (v _ox ) et la vitesse initiale dans la direction verticale (v _oy ) sont calculées à l'aide de l'équation :

v _ox = v _o cos θ

v _oy = v _o sin θ

Si l'objet se déplace de manière parabolique comme sur la figure 2, alors v _o = v _ox (v _oy = 0)

Vitesse (v_x et v_y) et Position (x et y)

La vitesse dans les directions horizontale et verticale à un certain intervalle de temps est calculée à l'aide de l'équation :

v _x = v _ox = constante ( mouvement linéaire uniforme )

v _y = v _oy + gt ou v _y ² = v _oy ² + 2 gh (mouvement de chute libre)

La position des objets dans les directions horizontale (x) et verticale (y) à un certain intervalle de temps est calculée à l'aide de l'équation :

x = v _ox t

y = v _oy t + 1/2 gt ^​​2

Résultante de la vitesse (v) et de la position (h)

La vitesse résultante à un intervalle de temps spécifié est calculée à l'aide de l'équation :

La direction des objets à un certain intervalle de temps est calculée à l'aide de l'équation :

Remarques :

1. La composante horizontale du mouvement parabolique est considérée comme un mouvement linéaire uniforme, donc vox = vx est toujours constant.

2. La composante verticale d'un mouvement parabolique est assimilée à la chute libre. Ainsi, si l'objet décrit une trajectoire parabolique, comme illustré sur les figures 1 et 3, la composante verticale de sa vitesse à sa hauteur maximale est nulle (v _y = 0). Si l'on lance une bille verticalement vers le haut à sa hauteur maximale, elle reste immobile un instant (v _{_y} = 0) avant de retomber. Par conséquent, la vitesse de l'objet décrivant une parabole à sa hauteur maximale est égale à v_{_x} = v_{_ox .}

3. Si l'objet se déplace de façon parabolique comme illustré à la figure 2, la composante verticale de ce mouvement est considérée comme une chute libre. Si l'objet se déplace de façon parabolique comme illustré aux figures 1 et 3, la composante verticale de ce mouvement est considérée comme un mouvement vertical ascendant.

Exemples de problèmes :

1. Une balle est tirée horizontalement à une vitesse initiale de 20 m/s. Si le canon se trouve à 5 mètres du sol, déterminez :

(a) temps passé dans l'air

b) la hauteur maximale

(c) la distance horizontale

d) la vitesse de la balle lorsqu'elle touche le sol

Solution:

Le mouvement horizontal est analysé comme un mouvement linéaire uniforme, tandis que le mouvement vertical est analysé comme un mouvement de chute libre.

Connu:

v _{_ox} = 20 m/s, v _{_oy} = 0 m/s, h = 5 m, g = 9.8 m/ ^s²

a) Temps passé dans l'air

La solution consiste à déterminer l'intervalle de temps (t) dans le mouvement de chute libre.

Données : v _{_oy} = 0 m/s, h = 5 m, g = 9.8 m/ ^s²

Recherché : t

b) La hauteur maximale

Hauteur maximale = h = 5 mètres.

c) Distance horizontale (d)

La solution consiste à déterminer la distance parcourue sur un mouvement linéaire uniforme.

Données : v _{_ox} = 20 m/s, t = 1 seconde

Recherché : d

d = vt

d = (20 m/s)(1 s) = 20 m

d) Vitesse lorsque la balle touche le sol

v _tx = v _ox = 20 m/s

v _ty = ?

On calcule d'abord la vitesse finale verticale (vty). La solution revient à déterminer la vitesse finale du mouvement de chute libre.

Données : v _{_oy} = 0, g = 9.8 m/s² ^, t = 1 s

Recherché : v _ty

v _t = v _o + gt → vo = 0

v _t = gt

v _t = (9.8 m/s² ⁾ (1 s)

v _t = 9.8 m/s

La vitesse d'une balle lorsqu'elle touche le sol :

Direction du projectile :

Parce que v _tx est dans la direction de l'axe x positif (vers la droite) et v _ty est dans la direction de l'axe y négatif (vers le bas),

la direction de la balle lorsqu'elle touche le sol est de -26.1 ^o par rapport à l'axe x positif (voir figure ci-dessous).

2. Le canon a tiré un projectile à un angle de 30 ^° par rapport à l'horizontale à une vitesse de 60 m/s. Déterminez :

a) la hauteur maximale

b) la vitesse de la balle à sa hauteur maximale

(c) temps passé dans l'air

d) la distance horizontale

e) La vitesse de la balle lorsqu'elle touche le sol. Supposons que le sol soit plat. 🙂

Solution:

Le mouvement horizontal est analysé comme un mouvement linéaire uniforme, le mouvement vertical comme un mouvement vertical ascendant.

Données connues : v _o = 60 m/s, theta = 30 ^o.

Sur la base des données connues, nous calculons d'abord les composantes verticale (v _oy ) et horizontale (v _ox ) de la vitesse initiale (v _o ).

a) La hauteur maximale (h)

La solution consiste à déterminer la hauteur maximale du mouvement vertical ascendant.

Connu:

v _ox = v _o cos θ = (60)(cos 30) = (60)(0.87) = 52 m/s

v _oy = v _o sin θ = (60)(sin 30) = (60)(0.5) = 30 m/s

a) Hauteur maximale (h)

La solution consiste à déterminer la hauteur maximale du mouvement vertical ascendant.

Connu:

v _oy = 30 m/s (il s'agit de la vitesse initiale de la balle)

v _{_ty} = 0 m/s (À la hauteur maximale, la vitesse verticale de la balle = 0 m/s. Il s'agit de sa vitesse finale.)

g = – 9.8 m/ ^s²

Recherché : h

v _t ² = v _o ² + 2 gh

0 ² = 30 ² + 2 (-9.8) h

0 = 900 – 19.6 h

900 = 19.6 h

h = 900 / 19.6

h = 45.9 mètres

La hauteur maximale atteinte par la balle = 45.9 mètres.

b) La vitesse à la hauteur maximale

À l'altitude maximale, la vitesse verticale est nulle (0 m/s). À cette altitude, la seule vitesse horizontale est présente. Cette vitesse horizontale est égale à la vitesse initiale horizontale, soit 52.2 m/s. La direction de la vitesse horizontale est constante, c'est-à-dire orientée selon l'axe des x positifs (dans le cas du schéma ci-dessus).

c) Temps passé dans l'air

La solution consiste à déterminer l'intervalle de temps (t) dans la discussion du mouvement vertical ascendant.

Connu:

v _oy = 30 m/s (il s'agit de la vitesse initiale de la balle dans la direction verticale)

g = – 9.8 m/ ^s²

h = 0 m (lorsque la balle retourne au sol, le déplacement de la balle dans la direction verticale = 0 m)

Recherché : t

h = v _o t + ½ gt ²

0 = (30) t + ½ (-9.8 m/ ^s² ) ^t²

0 = (30) t – 4.9 t ²

(30) t = 4.9 t ²

30 = 4.9 t

t = 30 / 4.9

t = 6.12 secondes

Temps de vol = 6.12 secondes

d) Distance horizontale (d)

La solution consiste à déterminer la distance (d) sur le mouvement linéaire uniforme.

Connu:

v _ox = 52.2 m/s

t = 6.12 secondes

Recherché : d

d = vt = (52.2 m/s)(6.12 secondes) = 319.5 m

e) Vitesse lorsque la balle touche le sol

v _tx = v _ox = 52.2 m/s

v _ty = ?

Tout d'abord, nous calculons la vitesse finale dans la direction verticale (v _{_ty} ). La solution consiste à déterminer la vitesse finale du mouvement vertical ascendant.

Données recherchées : v _{_oy} = 30 m/s, g = -9.8 m/s² ^, t = 6.12 secondes

Recherché : v _ty

v _ty = v _oy + gt

v _ty = (30) + (-9.8)(6.12)

v _ty = (30) – (60)

v _ty = -30 m/s

Un signe négatif indique que la vitesse finale est dirigée vers le bas. Notez que la vitesse initiale verticale est égale à la vitesse finale verticale.

La vitesse de la balle lorsqu'elle touche le sol :

La direction de la balle :

Puisque v _tx est dans la direction de l'axe x positif (vers la droite) et vty est dans la direction de l'axe y négatif (vers le bas),

la direction de la vitesse de la balle lorsqu'elle touche le sol est de -30 ^° autour de l'axe x positif (voir figure ci-dessous).

3. Une balle est lancée du haut d'un immeuble de 50 mètres avec une vitesse initiale de 10 m/s. Si la balle est lancée à un angle de 30° par rapport à l'horizontale, déterminez :

(a) l'intervalle de temps pendant lequel la balle atteint le sol

b) la vitesse de la balle lorsqu'elle touche le sol

(c) La distance horizontale que peut atteindre la balle est mesurée à partir du bord du bâtiment

d) la hauteur maximale atteinte par la balle

Solution:

Tout d’abord, nous calculons la composante verticale (v _oy ) et la composante horizontale (v _ox ) de la vitesse initiale (v _o ).

v _{_ox} = v _{_o} cos 30 ^° = (10 m/s)(0.87) = 8.7 m/s

v _{_oy} = v _{_o} sin 30 ^° = (10 m/s)(0.5) = 5 m/s

a) Intervalle de temps pendant lequel la balle atteint le sol

La solution consiste à déterminer l'intervalle de temps (t) d'un mouvement vertical ascendant. La norme du vecteur ascendant est positive, celle du vecteur descendant est négative. Le point de départ de la balle sert de référence. h est négatif car le sol se situe en dessous de ce point, et g est négatif car l'accélération de la pesanteur est dirigée vers le bas.

Connu:

v _{_oy} = 5 m/s, h = – 5 m, g = – 9.8 m/ ^s²

Recherché : t

h = v _o t + ½ gt ²

-5 = 5t + ½ (-9.8) ^t²

^{-5 =} 5t – 4.9t²

-4.9 t² ⁺ 5 t + 5 = 0

Utilisez la formule quadratique :

Temps en l'air = intervalle de temps entre le moment où la balle a été lancée et celui où elle a atteint le sol = 1.64 seconde.

b) Vitesse de la balle lorsqu'elle touche la surface du sol

v _{_tx} = v_{_ox} = v_{_x} = 8.7 m/s

v _ty = ?

Nous calculons d'abord la vitesse finale dans la direction verticale (v _{_ty} ). La solution revient à déterminer la vitesse finale du mouvement vertical ascendant.

Données : v _{_oy} = 5 m/s, g = -9.8 m/s² ^, t = 1.64 secondes

Recherché : v _ty

v _ty = v _oy + gt

v _ty = 5 + (-9.8)(1.64)

v _ty = 5 – 16

v _ty = -11 m/s

Le signe négatif indique que la direction de la vitesse finale est descendante.

La vitesse de la balle lorsqu'elle touche le sol :

La direction de la vitesse de la balle = la direction du mouvement de la balle lorsqu'elle touche le sol :

La vitesse de la balle lorsqu'elle touche le sol :

Parce que vtx est dans la direction de l'axe x positif (vers la droite) et vty est dans la direction de l'axe y négatif (vers le bas),

la direction de la balle lorsqu'elle touche le sol est de -52° autour de l'axe x positif (voir figure ci-dessous).

c) La distance horizontale que peut atteindre la balle est mesurée à partir du bord du bâtiment.

La solution consiste à déterminer la distance parcourue (d) lors du mouvement linéaire uniforme.

Données : t = 1.64 secondes, v_{_x} = 8.7 m/s

Recherché : d

d = vt = (8.7 m/s)(1.64 s) = 14.3 m

d) La hauteur maximale atteinte par la balle

Données connues : v _oy = 5 m/s, v _ty = 0 m/s ( composante verticale de la vitesse à la hauteur maximale = 0 m/s), g = -9.8 m/ ^s².

Recherché : h

v _ty ² = v _oy ² + 2 gh

0 m/s = (5 m/s) ^² + 2(-9.8 m/s² ⁾ (h)

0 m/s = 25 (m/s) ^² + (-19.6 m/s² ⁾ (h)

25 (m/s) ^² = -19.6 m/s² (h)

h = 25 (m/s) ^² : -19.6 m/s² ⁼ 1.3 mètre

La hauteur maximale atteinte par la balle = 1.3 mètre au-dessus du sommet du bâtiment = 1.3 m + 50 m = 51.3 mètres au-dessus de la surface du sol.