Article sur l'équation de continuité
Ouvrez lentement le robinet en observant le débit d'eau. Comparez ensuite le débit lorsque le robinet est ouvert et lorsqu'il est fermé. Pourquoi ? Pour comprendre cela, veuillez étudier l'équation de continuité.
Rationaliser
Dans un écoulement permanent, la vitesse de chaque particule de fluide en un point donné, par exemple le point A, est toujours la même. Au passage du point B, la vitesse des particules de fluide peut varier. Cependant, lorsqu'elles arrivent au point B, les particules de fluide qui les suivent ont la même vitesse que celles qui les précèdent. Il en va de même lorsqu'elles arrivent au point C, et ainsi de suite. La ligne d'écoulement est une courbe reliant les points A, B et C.
tube à flux
On peut décrire chaque ligne de courant en chaque point de l'écoulement. Dans un écoulement stationnaire, certaines lignes de courant formant un angle particulier sur la surface imaginaire constituent un tube d'écoulement. Les particules de fluide ne s'intersectent pas ; elles sont toujours parallèles et le tube d'écoulement ressemble à un tuyau dont la forme reste inchangée. Le fluide entrant par une extrémité en sort par l'autre.
Débit
Le débit désigne le volume de fluide traversant une section donnée pendant un intervalle de temps déterminé. Mathématiquement, cela s'exprime ainsi :
Débit = Volume de fluide / intervalle de temps
Q=V/t
Pour mieux comprendre, prenons un exemple. Un fluide s'écoule dans un tuyau. Les tuyaux sont généralement cylindriques et ont une certaine section transversale. Le tuyau a également une longueur.
Lorsque le fluide s'écoule dans le tuyau sur une distance L, son volume est V = AL (V = volume de fluide, A = aire de la section transversale et L = longueur du tuyau). Comme le fluide met un certain temps à s'écouler dans le tuyau sur une distance L, on peut dire que la quantité de fluide est :
Puisque v = s / t = L / t —> L = vt, l'équation ci-dessus devient :
Ainsi, lorsque le fluide s'écoule dans un tuyau ayant une certaine section transversale et une certaine longueur, pendant une certaine période, la quantité de fluide débité (Q) est égale à la section transversale (A) multipliée par la vitesse d'écoulement du fluide (v).
L'équation de continuité
Analysez l'écoulement du fluide dans un tuyau de diamètre différent, comme illustré dans la figure ci-dessous.
Cette image illustre l'écoulement d'un fluide de gauche à droite (le fluide s'écoule d'un tuyau de grand diamètre vers un tuyau de petit diamètre). La ligne pointillée représente le profil du fluide.
A1 = aire de la section transversale du tuyau de grand diamètre, A2 = aire de la section transversale de petit diamètre, v1 = vitesse d'écoulement du fluide dans un tuyau de grand diamètre, v2 = vitesse d'écoulement du fluide dans un tuyau de petit diamètre, L = distance parcourue par le fluide.
Dans un écoulement permanent, la vitesse d'écoulement des particules de fluide en un point est égale à la vitesse d'écoulement des autres particules de fluide passant par ce point. Les lignes d'écoulement sont parallèles et ne se croisent pas. Par conséquent, la masse de fluide entrant dans un tuyau est égale à la masse de fluide sortant à l'autre extrémité. Si le fluide a une certaine masse à l'entrée d'un tuyau de grand diamètre, il en sortira avec la même masse dans un tuyau de petit diamètre.
Considérons maintenant le schéma du tuyau ci-dessus. Comparons le tuyau de grand diamètre et le tuyau de petit diamètre.
Pendant un certain intervalle de temps, certains fluides s'écoulent dans la section du tuyau de grand diamètre (A).1) dans la mesure où L1 (L1 = v1 t). Le volume de fluide qui s'écoule est V1 = A1 L1 = A1 v1 t. Pendant le même intervalle de temps, d'autres fluides circulent dans la section de tuyau de petit diamètre (A2) dans la mesure où L2 (L2 = v2 t). Le volume de fluide qui s'écoule est V2 = A2 L2 = A2 v2 t.
L'équation de continuité pour les fluides incompressibles
Dans les fluides incompressibles, la masse volumique est constante en tout point. Le débit massique du fluide s'écoulant dans une conduite de section A1 (grand diamètre) pendant un intervalle de temps donné est :
De même, la masse de fluide s'écoulant dans un tuyau dont la section transversale est de A2 (petit diamètre de tuyau) pendant un certain intervalle de temps est :
Dans un flux permanent, la masse du fluide entrant est la même que la masse du fluide sortant, donc :
m1 = m2
ρA1 v1 t = ρ A2 v2 t
A1 v1 = A2 v2
Donc, l'équation de continuité dans fluides incompressibles :
A1 v1 = A2 v2 — Équation 1
A1 = aire de la section transversale 1, A2 = aire de la section transversale 2, v1 = vitesse d'écoulement du fluide dans la section 1, v2 = vitesse d'écoulement du fluide dans la section 2, A v = débit volumique (V / t) = débit.
L'équation 1 montre que le débit est constant en tout point du tuyau. Lorsque la section du tuyau diminue, le débit augmente, et inversement, lorsqu'elle augmente, le débit diminue.
Lorsque le robinet est partiellement fermé, le débit d'eau est plus important que lorsqu'il est ouvert. Cela s'explique par la réduction de la section du robinet, ce qui augmente le débit. Cependant, il est essentiel de noter que le débit d'eau reste constant en tout point du circuit, que le robinet soit partiellement fermé ou non. Alors, qu'est-ce qui modifie le débit ?
Qu’en est-il alors du débit de l’eau dans la rivière ? La partie profonde de la rivière a une section transversale plus grande que la partie peu profonde ; par conséquent, le débit de l’eau dans la partie profonde est inférieur à celui de la partie peu profonde.
L'équation de continuité pour les fluides compressibles
Pour un fluide comprimé, la densité n'est pas constante. Autrement dit, la densité du fluide varie sous l'effet de la compression. Si le fluide n'est pas comprimé, sa densité est négligée dans l'équation ; dans ce cas, elle est donc prise en compte. En nous appuyant sur l'équation précédemment établie, établissons celle du fluide comprimé.
La masse de fluide qui entre est égale à la masse du fluide qui sort, donc :
m1 = m2
ρA1 v1 t = ρ A2 v2 t
L'intervalle d'écoulement du fluide étant identique, il peut être éliminé. Les équations deviennent :
ρA1 v1 = ρ A2 v2 → Équation 2
Voici l'équation du fluide comprimé. La différence réside dans la masse volumique du fluide. Si le fluide est comprimé, sa masse volumique change. En revanche, si le fluide n'est pas comprimé, sa masse volumique reste constante et peut donc être négligée dans l'équation.
Exemple de problème 1 :
L'eau s'écoule dans un tuyau de 10 cm de diamètre à une vitesse de 2 m/s. Quel est le débit d'eau ?
Connu :
Diamètre du tuyau = 10 cm
Rayon du tuyau (r) = 5 cm = 0.05 m
Vitesse de l'eau (v) = 2 m/s
Recherché : Débit
Solution:
Q = A v
Q = ( π r2) (2 m/s)
Q = (3.14)(0.05 m)2 (2 m / s)
Q = (3.14)(0.0025 m2)(2 m/s)
Q = 0.0157m3/s
Exemple de problème 2 :
Un tuyau de 20 cm de diamètre est raccordé à un autre tuyau de 10 cm de diamètre. Si la vitesse de l'eau dans le tuyau de 20 cm de diamètre est de 4 m/s, quelle est la vitesse de l'eau dans le tuyau de 10 cm de diamètre ?
Connu :
Diamètre 1 = 20 cm (r1 = 10 cm = 0.1 m)
v1 = 4 m/s
Diamètre 2 = 10 cm (r2 = 5 cm = 0.05 m)
Recherché : v1
Répondre :
Q1 = Q2
A1 v1 = A2 v2
(π r12) (4 m/s) = (π r22) (v2)
(0.1 m)2 (4 m/s) = (0.05 m)2 (v2)
(0.01 m2)(4 m/s) = (0.0025 m2)(v2)
(0.04 m3 /s) = (0.0025 m2)(v2)
v2 = 16 m/s
