Article sur le principe de Bernoulli et l'équation de Bernoulli
Quand on fait de la moto, nos vêtements se retrouvent gonflés à l'arrière. Parfois, par grand vent, la porte se ferme toute seule, même si le vent souffle à l'extérieur alors que la porte est à l'intérieur.
Ceci s'explique par le principe de Bernoulli. Daniel Bernoulli (1700-1782) a découvert un principe permettant d'expliquer ce phénomène.
Le principe de Bernoulli
Le principe de Bernoulli stipule que là où la vitesse d'un fluide est élevée, sa pression est faible. Inversement, si la vitesse d'un fluide est faible, sa pression est élevée. Lorsqu'une moto roule vite, la vitesse de l'air à l'avant et sur les côtés du corps est élevée. La pression atmosphérique y est donc faible. À l'arrière, le flux d'air étant limité par l'avant du corps, la vitesse de l'air y est plus faible. Par conséquent, la pression atmosphérique y est plus élevée. Cette différence de pression, plus importante à l'arrière, repousse le vêtement vers l'arrière, donnant ainsi l'impression que les vêtements sont gonflés dans le dos.
Que se passe-t-il lorsqu'une porte se ferme d'elle-même sous l'effet du vent ? L'air extérieur se déplace plus vite que l'air intérieur. Par conséquent, la pression atmosphérique extérieure est inférieure à la pression intérieure. Cette différence de pression, la porte étant plus forte à l'intérieur, se ferme d'elle-même. Autrement dit, le vantail de la porte se déplace d'une zone de forte pression vers une zone de faible pression.
L'équation de Bernoulli
Nous avons déjà étudié le principe de Bernoulli. Bernoulli l'a également développé quantitativement. Pour établir l'équation de Bernoulli, nous supposons que l'écoulement du fluide est stationnaire et laminaire, non comprimé, et que sa viscosité est minimale et donc négligeable.
Lors de l'étude de l'équation de continuité, nous avons vu que le débit d'un fluide peut varier en fonction de la section de passage du tube. D'après le principe de Bernoulli décrit précédemment, la pression du fluide varie également en fonction de son débit et de la hauteur d'écoulement. La relation entre la pression, le débit et la hauteur d'écoulement est exprimée par l'équation de Bernoulli.
L'équation de Bernoulli est fondamentale car elle permet d'analyser les vols d'aéronefs, les centrales hydroélectriques, les réseaux de canalisations, etc. Pour établir l'équation de Bernoulli de manière générale, on suppose que le fluide s'écoule dans un tube dont la section et la hauteur sont variables. La démonstration de l'équation de Bernoulli repose sur l'application du théorème du travail et de l'énergie au fluide contenu dans le tube.
La couleur opaque dans le tube d'écoulement de la figure ci-dessous indique un écoulement de fluide, tandis que la couleur blanche indique l'absence de fluide.
Le fluide présent dans la section transversale 1 (côté gauche) s'écoule jusqu'à L.1 et force le fluide de la section 2 (côté droit) à se déplacer jusqu'à L2Comme la section transversale 2 à droite est plus petite, la vitesse d'écoulement du fluide à droite du tube est plus élevée (voir l'équation de continuité). Ceci engendre une différence de pression entre la section 2 (à droite du tube) et la section 1 (à gauche du tube) – voir le principe de Bernoulli. Le fluide situé à gauche de la section 1 exerce une pression (P).1) sur le fluide à droite et effectue un travail :
Puis le W1 L'équation peut s'écrire :
W1 =p1 A1 L1
Dans la section 2 (côté droit du tube d'écoulement), le travail effectué sur le fluide est :
W2 = − p2 A2 L2
Un signe négatif indique que la force appliquée est opposée au sens du mouvement. Ainsi, le fluide effectue un travail vers la droite de la section 2. De plus, la force gravitationnelle effectue un travail sur le fluide. Dans le cas présenté, une certaine masse de fluide est transférée de la section 1 jusqu'à L.1 à la section 2 jusqu'à L2, où représente le volume de fluide dans la section 1 (A1 L1) = volume de fluide dans la section 2 (A2 L2Le travail effectué par la gravité est :
W3 = − mg (h2 - h1)
W3 = − mgh2 + mgh1)
W3 = mgh1 - mgh2
Le signe négatif est dû au fait que le fluide s'écoule vers le haut, contrairement à la direction de la gravité. Ainsi, le travail net effectué sur le fluide est :
W = W1 + W2 + W3
W = P1 A1 L1 - P2 A2 L2 + mgh1 - mgh2
Le théorème de l'énergie cinétique stipule que le travail net effectué sur un système est égal à la variation de son énergie cinétique. On peut donc remplacer le travail (W) par la variation d'énergie cinétique (Ec).2 – EK1).
L'équation ci-dessus peut être réécrite :
W = P1 A1 L1 - P2 A2 L2 + mgh1 - mgh2
EK2 — EK1 = P1 A1 L1 - P2 A2 L2 + mgh1 - mgh2
1/2 mV22 – 1/2 mV12 = P1 A1 L1 - P2 A2 L2 + mgh1 - mgh2
La masse de fluide qui s'écoule jusqu'à L1 dans la section transversale A1 = la masse de fluide qui s'écoule jusqu'à L2 (section transversale A)2La masse du fluide, notée m, a un volume de A.1 L1 et A2 L2 où un1 L1 = A2 L2 (L2 est plus long que L1).
Maintenant, nous substituons m dans l'équation ci-dessus par m = ρ AL :
Il s'agit de l'équation de Bernoulli. Cette équation est dérivée du principe de conservation de l'énergie cinétique et constitue donc une forme d'équation de conservation de l'énergie.
P = pression, ρ = densité, v = vitesse du fluide, g = accélération de la gravité, h = hauteur du tuyau au-dessus du sol.
Les segments gauche et droit de l'équation de Bernoulli ci-dessus peuvent faire référence à deux points quelconques le long du tube d'écoulement, de sorte que nous pouvons réécrire l'équation ci-dessus comme suit :
Passons maintenant en revue l'équation de Bernoulli pour quelques cas.
L'équation de Bernoulli dans les fluides statiques
Le cas particulier de l'équation de Bernoulli concerne le fluide statique, c'est-à-dire le fluide sans vitesse. Ainsi, v1 = v2 = 0. Dans le cas d'un fluide statique, l'équation de Bernoulli peut s'écrire :
Si h2 - h1 = h, cette équation peut s'écrire :
p1 - p2 = ρ g (h2 - h1)
p1 - p2 = ρ gh
Équation de Bernoulli sur un tuyau de même hauteur
Si la hauteur du tuyau est la même, l'équation de Bernoulli devient :
