Exemples de questions sur les lois de Kirchhoff
Les lois de Kirchhoff constituent un fondement essentiel de l'analyse des circuits électriques, notamment lorsque le circuit ne peut être résolu à l'aide de la seule loi d'Ohm. En pratique, les circuits électriques comportent souvent de nombreuses branches, plusieurs sources de tension et de nombreuses résistances interconnectées. C'est là que les lois de Kirchhoff nous aident à calculer systématiquement le courant, la tension et le sens du courant dans chaque branche du circuit. Cet article présente un résumé des concepts des lois de Kirchhoff et plusieurs exemples courants, avec des étapes de résolution détaillées pour une meilleure compréhension.
Comprendre la loi de Kirchhoff
En général, on utilise le plus souvent deux lois de Kirchhoff :
1. Loi de Kirchhoff I (LCK – Loi des courants de Kirchhoff)
En termes simples : la somme des courants entrant dans un nœud est égale à la somme des courants sortant de ce nœud.
Mathématiquement:
\[
\sum I_{in} = \sum I_{out}
\]
ou cela peut aussi s'écrire :
\[
∑ I = 0
\]
avec un signe positif pour le courant entrant et un signe négatif pour le courant sortant (selon la convention utilisée).
2. Loi de Kirchhoff II (KVL – Loi des tensions de Kirchhoff)
En termes simples : la somme algébrique des tensions dans une boucle fermée est égale à zéro.
Mathématiquement:
\[
∑ V = 0
\]
Cela signifie que le gain de tension total (par exemple, celui provenant de la batterie) est égal à la chute de tension totale (aux bornes de la résistance ou d'un autre composant) dans la boucle.
Ces deux lois sont souvent utilisées ensemble : la loi de Kirchhoff des courants (KCL) pour analyser les nœuds et la loi de Kirchhoff des tensions (KVL) pour analyser les boucles (mailles).
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Exemple de question 1 (KCL) : Courant à un nœud
Question:
À un nœud, trois courants entrent : I₁ = 2 A, I₂ = 3 A et I₃ = 1 A. Deux courants sortent de ce nœud : I₄ et I₅ = 4 A. Déterminez la valeur de I₄.
Solution:
Utilisez la première loi de Kirchhoff :
\[
I_{entrée} = I_{sortie}
\]
Afflux:
\[
I₁ + I₂ + I₃ = 2 + 3 + 1 = 6 A
\]
Sortie:
\[
I_4 + I_5 = I_4 + 4
\]
Donc:
\[
6 = I_4 + 4
→ I_4 = 2A
\]
Réponse : (I_4 = 2A)
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Exemple de question 2 (LVK) : Boucle simple avec résistances en série
Question:
Un circuit à une seule boucle est constitué d'une pile de 12 V et de deux résistances en série (R₁ = 2 Ω et R₂ = 4 Ω). Déterminez le courant traversant le circuit et la chute de tension aux bornes de chaque résistance.
Solution:
Grâce à la boucle unique et aux résistances en série, le courant est le même dans tous les composants.
Résistance totale :
\[
R_{total} = R_1 + R_2 = 2 + 4 = 6\Omega
\]
Courant du circuit :
\[
I = \frac{V}{R} = \frac{12}{6} = 2A
\]
Chute de tension aux bornes de \(R_1\):
\[
V₂ = I × R₂ = 1 × 2 = 4 V
\]
Chute de tension aux bornes de \(R_2\):
\[
V₂ = I × R₂ = 2 × 4 = 8 V
\]
Vérifier KVL :
\[
12 – 4 – 8 = 0
\]
Conformément.
Réponse : \(I = 2A\), \(V_1 = 4V\), \(V_2 = 8V\)
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Exemple 3 (KVL) : Deux boucles (méthode des mailles)
Question:
Un circuit comporte deux boucles. La boucle de gauche est alimentée par une source de tension V₁ = 10 V et comporte une résistance R₁ = 2 Ω. La boucle de droite est alimentée par une source de tension V₂ = 5 V et comporte une résistance R₂ = 3 Ω. Les deux boucles partagent une résistance centrale R₃ = 4 Ω. Déterminez les courants de maille Iₐ (boucle de gauche) et Iₚb (boucle de droite).
Solution:
Supposons que les courants de maille \(I_a\) et \(I_b\) circulent dans le sens horaire. Le courant dans la résistance commune \(R_3\) est \(I_a – I_b\) (selon le sens de l'hypothèse).
Équation KVL de la boucle gauche :
\[
10 – (2I_a) – 4(I_a – I_b) = 0
\]
\[
10 – 2I_a – 4I_a + 4I_b = 0
→ 10 – 6I_a + 4I_b = 0
→ 6I_a – 4I_b = 10
\]
Équation KVL de la boucle droite :
\[
5 – (3I_b) – 4(I_b – I_a) = 0
\]
\[
5 – 3I_b – 4I_b + 4I_a = 0
→ 5 + 4I_a – 7I_b = 0
→ 4I_a – 7I_b = -5
\]
Complétez le système :
1) \(6I_a – 4I_b = 10\)
2) \(4I_a – 7I_b = -5\)
Multipliez l'équation (1) par 2 :
\[
12I_a – 8I_b = 20
\]
Multipliez l'équation (2) par 3 :
\[
12I_a – 21I_b = -15
\]
Soustraire:
\[
(12I_a – 8I_b) – (12I_a – 21I_b) = 20 – (-15)
→ 13I_b = 35
⇒ I_b = 35/13 ≈ 2.69A
\]
Substituer dans l'équation (1) :
\[
6I_a – 4(2.69) = 10
→ 6I_a – 10.76 = 10
→ 6I_a = 20.76
\Rightarrow I_a \approx 3.46A
\]
Réponse : (I_a ≈ 3.46 A), (I_b ≈ 2.69 A)
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Exemple de question 4 (KCL + KVL) : Circuit de branchement parallèle
Question:
Une source de 12 V est connectée à deux branches parallèles. La branche 1 contient une résistance R₁ = 6 Ω, la branche 2 contient une résistance R₂ = 3 Ω. Déterminez l'intensité du courant dans chaque branche et l'intensité totale du courant.
Solution:
Comme il s'agit d'un circuit parallèle, la tension sur chaque branche est la même, à savoir 12 V.
Courant de branche 1 :
\[
I_1 = \frac{12}{6} = 2A
\]
Courant de branche 2 :
\[
I_2 = \frac{12}{3} = 4A
\]
Avec KCL aux nœuds :
\[
I_{total} = I_1 + I_2 = 2 + 4 = 6A
\]
Réponse : \(I_1 = 2A\), \(I_2 = 4A\), \(I_{total} = 6A\)
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Conseils pour résoudre les problèmes liés à la loi de Kirchhoff
1. Déterminez d'abord le sens du courant. Si le résultat est négatif, cela signifie que le sens réel est opposé à celui supposé.
2. Soyez cohérent avec les signes (+) et (-) lorsque vous écrivez la loi des mailles. Une augmentation de tension provenant d'une source est généralement considérée comme positive, tandis qu'une chute de tension aux bornes d'une résistance est négative (selon le sens de la boucle).
3. Simplifiez le circuit si possible, par exemple en combinant les résistances en série ou en parallèle avant d'utiliser la loi de Kirchhoff.
4. Utiliser des méthodes systématiques : analyse nodale pour KCL ou analyse de maillage pour KVL.
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Clôture
Les lois de Kirchhoff permettent de résoudre les circuits électriques complexes de manière structurée. La maîtrise des lois de Kirchhoff (LKC et LKV) permet de déterminer le courant dans chaque branche, la chute de tension aux bornes des composants et de comprendre le comportement global du circuit. Les exemples précédents montrent que la clé réside dans la formulation correcte des équations et leur résolution rigoureuse. Avec une pratique régulière, les schémas deviendront plus faciles à identifier, même pour des circuits plus complexes.
Si vous le souhaitez, je peux créer 10 questions d'entraînement supplémentaires (sans discussion ou avec une discussion complète), ou rédiger une version avec des schémas de circuits et une description plus détaillée.
