Exemples de questions et discussion sur l'application des intégrales au calcul de l'aire d'un plan.
En mathématiques, les intégrales sont fréquemment rencontrées en calcul différentiel et intégral. L'une de leurs applications les plus connues est le calcul de l'aire sous une courbe ou un plan. Cet article présente plusieurs exemples et explique comment appliquer les intégrales au calcul de l'aire d'un plan.
Introduction à la théorie
Avant de passer à l'exemple, rappelons la notion de base du calcul de l'aire sous une courbe à l'aide d'intégrales. Si l'on considère une fonction f(x) continue sur l'intervalle [a, b], alors l'aire sous la courbe y = f(x) de x = a à x = b est :
\[ L = \int_{a}^{b} f(x) \, dx \]
Géométriquement, cela signifie que nous additionnons l'aire d'un rectangle très mince de x = a à x = b.
Exemple de question 1
Question
Calculez l'aire sous la courbe y = x² dans l'intervalle [1, 3].
Discussion
Pour calculer l'aire, on utilise l'intégrale :
\[ L = \int_{1}^{3} x^2 \, dx \]
On commence par trouver la primitive de \( x^2 \). La primitive de \( x^2 \) est \( \frac{x^3}{3} \). L'intégrale devient alors :
\[ L = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{1}^{3} \]
N'oubliez pas que nous devons évaluer la primitive sur les limites de l'intégrale :
\[ L = \left( \frac{3^3}{3} \right) – \left( \frac{1^3}{3} \right) \]
\[ L = \left( \frac{27}{3} \right) – \left( \frac{1}{3} \right) \]
\[ L = 9 – \frac{1}{3} \]
\[ L = \frac{27}{3} – \frac{1}{3} \]
\[ L = \frac{26}{3} \]
L'aire sous la courbe y = x² de x = 1 à x = 3 est donc :
\[ \frac{26}{3} \, \text{unité de surface} \]
Exemple de question 2
Question
Déterminez l'aire de la région délimitée par la courbe y = x³ et les droites x = 1 et x = 2.
Discussion
Pour calculer l'aire, on utilise l'intégrale :
\[ L = \int_{1}^{2} x^3 \, dx \]
Comme d'habitude, on commence par trouver la primitive de \( x^3 \). La primitive de \( x^3 \) est \( \frac{x^4}{4} \). L'intégrale devient :
\[ L = \left[ \frac{x^4}{4} \right]_{1}^{2} \]
Évaluer les limites de l'intégrale :
\[ L = \left( \frac{2^4}{4} \right) – \left( \frac{1^4}{4} \right) \]
\[ L = \left( \frac{16}{4} \right) – \left( \frac{1}{4} \right) \]
\[ L = 4 – \frac{1}{4} \]
\[ L = \frac{16}{4} – \frac{1}{4} \]
\[ L = \frac{15}{4} \]
L'aire sous la courbe y = x³ de x = 1 à x = 2 est donc :
\[ \frac{15}{4} \, \text{unité de surface} \]
Exemple de question 3
Question
Déterminez l'aire de la région délimitée par les courbes y = x² + 1 et y = 2x + 2 dans l'intervalle x = 0 à x = 1.
Discussion
Il faut d'abord trouver les points d'intersection pour déterminer les bornes de l'intégration. La solution de \( x^2 + 1 = 2x + 2 \) :
\[ x^2 + 1 = 2x + 2 \]
\[ x^2 – 2x – 1 = 0 \]
En utilisant la formule quadratique :
\[ x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2} \]
\[ x = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2} \]
\[ x = \frac{2 \pm 2\sqrt{2}}{2} \]
\[ x = 1 \pm \sqrt{2} \]
Cependant, pour les bornes supérieure et inférieure comprises entre 0 et 1, il n'est pas nécessaire d'utiliser la solution quadratique, mais simplement la limite intégrale ordinaire de 0 à 1. Ensuite, calculez l'aire de la courbe y supérieure moins l'aire de la courbe y inférieure en fonction de ces bornes :
\[ L = \int_{0}^{1} [(2x + 2) – (x^2 + 1)] \, dx \]
Simplification des fonctions :
\[ L = \int_{0}^{1} (2x + 2 – x^2 – 1) \, dx \]
\[ L = \int_{0}^{1} (-x^2 + 2x + 1) \, dx \]
Ensuite, nous trouvons la primitive :
La primitive de \( (-x^2) \) est \( -\frac{x^3}{3} \),
La primitive de \( (2x) \) est \( x^2 \),
La primitive de \( (1) \) est \( x \).
Pour que,
\[ L = \left. \left(-\frac{x^3}{3} + x^2 + x \right) \right|_0^1 \]
Prochaine évaluation :
\[ L = \left[ -\frac{1^3}{3} + 1^2 + 1 \right] – \left[ -\frac{0^3}{3} + 0^2 + 0 \right] \]
\[ L = \left[ -\frac{1}{3} + 1 + 1 \right] – \left[ 0 \right] \]
\[ L = -\frac{1}{3} + 2 \]
\[ L = \frac{6}{3} – \frac{1}{3} \]
\[ L = \frac{5}{3} \]
L'aire de la région délimitée par les courbes y = x² + 1 et y = 2x + 2 sur l'intervalle [0, 1] est donc :
\[ \frac{5}{3} \, \text{unité de surface} \]
-
Les exemples précédents illustrent comment les intégrales permettent de calculer l'aire sous une courbe ou entre deux courbes. Une bonne compréhension des concepts fondamentaux des intégrales et des techniques de primitive rend le calcul de ces aires très systématique et efficace. Cet article a, nous l'espérons, enrichi notre compréhension des applications concrètes des intégrales, notamment dans le domaine du calcul d'aires planes.
