Exemples de questions portant sur la position de deux cercles
Pendahuluan
Le cercle est une figure géométrique de base que l'on rencontre fréquemment dans divers problèmes mathématiques. L'étude de la position de deux cercles est un sujet important en raison de ses nombreuses applications dans la vie quotidienne. En mathématiques, la position de deux cercles peut être analysée en examinant leurs positions relatives à partir de la distance entre leurs centres et de leurs rayons respectifs.
Le concept de la position de deux cercles
Pour déterminer la position de deux cercles, nous utilisons plusieurs paramètres principaux :
1. Rayon du premier cercle (r1)
2. Le rayon du deuxième cercle (r2)
3. Distance entre les centres des deux cercles (d)
En fonction de ces valeurs, il existe plusieurs positions possibles pour les deux cercles :
1. Le cercle est tangent à l'extérieur
– Se produit si d = r1 + r2.
2. Les cercles s'intersectent de l'intérieur
– Se produit si d = |r1 – r2|.
3. Cercles sécants
– Se produit si |r1 – r2| < d < r1 + r2. 4. Les cercles sont disjoints - Se produit si d > r1 + r2.
5. Un cercle à l'intérieur d'un autre cercle sans se toucher.
– Terjadi jika d < |r1 - r2|.
6. Lingkaran bersinggungan tepat satu di dalam yang lain
- Terjadi jika d = 0 dan r1 = r2 (keduanya adalah lingkaran yang sama).
Contoh Soal dan Pembahasan
Mari kita tinjau beberapa contoh soal untuk lebih memahami kedudukan dua lingkaran.
Contoh Soal 1: Lingkaran Bersinggungan Luar
Soal:
Diketahui dua lingkaran dengan pusat di titik A dan B, dan jarak AB adalah 10 cm. Jari-jari lingkaran pertama 6 cm, sedangkan jari-jari lingkaran kedua 4 cm. Tentukan kedudukan kedua lingkaran tersebut.
Pembahasan:
- Diketahui:
- Jari-jari lingkaran pertama, r1 = 6 cm
- Jari-jari lingkaran kedua, r2 = 4 cm
- Jarak antara pusat lingkaran, d = 10 cm
Untuk kondisi bersinggungan luar:
\[ d = r1 + r2 \]
Masukkan nilai:
\[ d = 6 + 4 \]
\[ d = 10 \]
Karena d = 10 cm, yang sama dengan jumlah r1 dan r2, maka kedua lingkaran tersebut bersinggungan dari luar.
Contoh Soal 2: Lingkaran Bersinggungan Dalam
Soal:
Dua lingkaran dengan jari-jari masing-masing 8 cm dan 3 cm memiliki jarak antar pusat 5 cm. Tentukan kedudukan kedua lingkaran tersebut.
Pembahasan:
- Diketahui:
- Jari-jari lingkaran pertama, r1 = 8 cm
- Jari-jari lingkaran kedua, r2 = 3 cm
- Jarak antara pusat lingkaran, d = 5 cm
Untuk kondisi bersinggungan dalam:
\[ d = |r1 - r2| \]
Hitung:
\[ d = |8 - 3| \]
\[ d = 5 \]
Karena d = 5 cm, yang sama dengan perbedaan r1 dan r2, maka kedua lingkaran tersebut bersinggungan dari dalam.
Contoh Soal 3: Lingkaran Berpotongan
Soal:
Dua lingkaran memiliki jari-jari berturut-turut 7 cm dan 5 cm dengan jarak antar pusat-pusatnya adalah 9 cm. Tentukan kedudukan kedua lingkaran tersebut.
Pembahasan:
- Diketahui:
- Jari-jari lingkaran pertama, r1 = 7 cm
- Jari-jari lingkaran kedua, r2 = 5 cm
- Jarak antara pusat lingkaran, d = 9 cm
Untuk kondisi berpotongan:
\[ |r1 - r2| < d < r1 + r2 \]
Hitung:
\[ |7 - 5| < 9 < 7 + 5 \]
\[ 2 < 9 < 12 \]
Karena nilai d jatuh di antara |r1 - r2| dan r1 + r2, maka kedua lingkaran tersebut berpotongan.
Contoh Soal 4: Lingkaran Saling Terpisah
Soal:
Lingkaran dengan jari-jari 2 cm dan 3 cm memiliki jarak antar pusat 7 cm. Tentukan kedudukan kedua lingkaran tersebut.
Pembahasan:
- Diketahui:
- Jari-jari lingkaran pertama, r1 = 2 cm
- Jari-jari lingkaran kedua, r2 = 3 cm
- Jarak antara pusat lingkaran, d = 7 cm
Untuk kondisi saling terpisah:
\[ d > r1 + r2 \]
Hitung :
[ 7 > 2 + 3 ]
[ 7 > 5 ]
Puisque d est supérieur à la somme de r1 et r2, les deux cercles sont séparés l'un de l'autre.
Exemple de question 5 : Un cercle à l’intérieur de l’autre sans se toucher
Question:
Deux cercles de rayons respectifs de 8 cm et 2 cm sont distants de leurs centres de 5 cm. Déterminez la position des deux cercles.
Discussion:
- C'est connu:
– Le rayon du premier cercle, r1 = 8 cm
– Le rayon du deuxième cercle, r2 = 2 cm
– Distance entre les centres des cercles, d = 5 cm
Pour la condition d'une chose à l'intérieur de l'autre sans contact :
\[ d < |r1 - r2| \] Calculer : \[ d < |8 - 2| \] \[ 5 < 6 \] Puisque d est inférieur à la différence entre r1 et r2, un cercle est inclus dans l'autre sans le toucher. Conclusion : Comprendre la position de deux cercles peut nous aider dans de nombreuses applications de la géométrie et dans la vie courante. En reconnaissant la relation entre le rayon d'un cercle et la distance entre ses centres, nous pouvons déterminer si les deux cercles sont tangents extérieurement ou intérieurement, sécants ou disjoints. Grâce aux exemples ci-dessus, nous espérons que les lecteurs pourront mieux comprendre ce concept et l'appliquer dans diverses situations mathématiques. Continuez à vous entraîner sur des problèmes variés pour perfectionner vos compétences analytiques et votre compréhension de la position de deux cercles. Plus vous vous entraînerez, plus il vous sera facile de résoudre divers problèmes de géométrie impliquant des cercles.
