Exemples de questions et discussion sur la distribution de probabilité
La distribution de probabilité est un concept fondamental en statistiques et en probabilités. Elle permet de comprendre la probabilité d'occurrence des différentes valeurs d'un nombre aléatoire. Les distributions de probabilité peuvent prendre de nombreuses formes selon la nature des données analysées. Les deux types les plus courants sont les distributions discrètes et continues. Dans cet article, nous examinerons plusieurs exemples et discuterons des distributions de probabilité afin de mieux appréhender ce sujet.
Distribution discrète
Une distribution discrète est une distribution qui calcule la probabilité d'une variable aléatoire discrète, c'est-à-dire une variable qui ne peut prendre que certaines valeurs. La distribution binomiale et la distribution de Poisson sont des exemples bien connus de distributions discrètes.
Exemple 1 : Distribution binomiale
La loi binomiale décrit le nombre de succès dans une série d'épreuves de Bernoulli. Chaque épreuve de Bernoulli a deux issues possibles : succès ou échec. La probabilité de succès reste constante tout au long de l'épreuve.
Question:
Une entreprise pharmaceutique teste un nouveau médicament sur 10 patients. La probabilité que le médicament soit efficace chez un patient donné est de 0.7. Calculez la probabilité que le médicament soit efficace chez exactement 7 patients sur 10.
Discussion:
La variable aléatoire \(X\) suit une loi binomiale de paramètres \(n = 10\) et \(p = 0.7\). Sa fonction de probabilité est :
\[ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1 – p)^{n – k} \]
Pour \(k = 7\):
\[ P(X = 7) = \binom{10}{7} (0.7)^7 (0.3)^3 \]
Calcul du coefficient binomial \(\binom{10}{7}\):
\[ \binom{10}{7} = \frac{10!}{7!(10-7)!} = \frac{10!}{7!3!} = 120 \]
Calcul des valeurs de probabilité :
\[ P(X = 7) = 120 \times (0.7)^7 \times (0.3)^3 \]
\[ P(X = 7) \approx 120 \times 0.0823543 \times 0.027 \]
\[ P(X = 7) \approx 0.231 \]
La probabilité que le médicament fonctionne chez exactement 7 patients sur 10 est donc d'environ 0.231 ou 23.1 %.
Exemple 2 : Distribution de Poisson
La distribution de Poisson est utilisée pour modéliser le nombre d'occurrences d'un événement rare dans un intervalle de temps ou d'espace donné.
Question:
Un magasin reçoit en moyenne 4 clients par heure. Quelle est la probabilité que ce magasin reçoive exactement 5 clients en une heure ?
Discussion:
La variable aléatoire \(X\) suit une loi de Poisson de paramètre \(\lambda = 4\). La fonction de masse de probabilité de Poisson est :
\[ P(X = k) = \frac{\lambda^ke^{-\lambda}}{k!} \]
Pour \(k = 5\):
\[ P(X = 5) = \frac{4^5 e^{-4}}{5!} \]
Compter:
\[ P(X = 5) = \frac{1024 \cdot e^{-4}}{120} \]
\[ P(X = 5) \approx \frac{1024 \cdot 0.0183}{120} \]
\[ P(X = 5) \approx 0.156 \]
La probabilité que le magasin reçoive exactement 5 clients en une heure est donc d'environ 0.156, soit 15.6 %.
Distribution continue
On utilise les distributions continues lorsque la variable aléatoire mesurée peut prendre n'importe quelle valeur dans un certain intervalle. La distribution normale et la distribution exponentielle sont des exemples bien connus de distributions continues.
Exemple 3 : Distribution normale
La distribution normale, souvent appelée distribution gaussienne, est une distribution couramment utilisée dans divers domaines, notamment les sciences, l'ingénierie et l'économie.
Question:
La taille des hommes adultes d'une ville suit une loi normale de moyenne 170 cm et d'écart type 10 cm. Quelle est la probabilité qu'un homme choisi au hasard mesure entre 160 cm et 180 cm ?
Discussion:
Nous devons calculer le score z pour 160 cm et 180 cm. Le score z est défini comme suit :
\[ Z = \frac{X – \mu}{\sigma} \]
Pour \(X = 160\):
\[ Z_{160} = \frac{160 – 170}{10} = -1 \]
Pour \(X = 180\):
\[ Z_{180} = \frac{180 – 170}{10} = 1 \]
Il nous faut maintenant examiner les valeurs de probabilité de -1 à 1 dans la table z. La valeur de z = -1 à z = 1 est approximativement égale à 0.6826.
Ainsi, la probabilité qu'un homme choisi au hasard mesure entre 160 cm et 180 cm est d'environ 0.6826 ou 68.26 %.
Exemple 4 : Distribution exponentielle
La distribution exponentielle est utilisée pour modéliser le temps entre les événements dans un processus de Poisson.
Question:
Le temps moyen entre l'arrivée de deux clients dans un magasin est de 15 minutes. Quelle est la probabilité que ce temps soit inférieur à 10 minutes ?
Discussion:
La distribution exponentielle possède un paramètre λ qui est l'inverse de la moyenne (μ). Avec une moyenne de 15 minutes :
\[ \lambda = \frac{1}{\mu} = \frac{1}{15} = 0.0667 \]
La fonction de répartition cumulative exponentielle est :
\[ P(X \leq x) = 1 – e^{-\lambda x} \]
Pour \(x = 10\):
\[ P(X \leq 10) = 1 – e^{-0.0667 \times 10} \]
\[ P(X \leq 10) = 1 – e^{-0.667} \]
\[ P(X \leq 10) \approx 1 – 0.5134 \]
\[ P(X \leq 10) \approx 0.4866 \]
Ainsi, la probabilité que le temps entre deux arrivées de clients soit inférieur à 10 minutes est d'environ 0.4866 ou 48.66 %.
conclusion
Les distributions de probabilité, discrètes et continues, sont des concepts très utiles pour modéliser et comprendre le comportement des variables aléatoires. Les distributions binomiale et de Poisson sont souvent utilisées pour les variables discrètes, tandis que les distributions normale et exponentielle sont des exemples de distributions continues.
Nous espérons que les exemples précédents vous ont permis de mieux comprendre comment calculer et interpréter les probabilités dans les distributions de probabilité. Avec une pratique régulière, votre capacité à comprendre les distributions de probabilité s'améliorera et pourra être appliquée dans diverses disciplines.
