Pyörimisliike – ongelmia ja ratkaisuja

Pyörimisliike – ongelmat ja ratkaisut

Vääntömomentti

1. Palkki, jonka pituus on 140 cm. Palkkiin vaikuttaa kolme voimaa, F1 ₌ 20 N, F2 ₌ 10 N ja F3 ₌ 40 N, joiden suunta ja sijainti on esitetty alla olevassa kuvassa. Mikä on se vääntömomentti, joka saa palkin pyörimään massakeskipisteen ympäri?

Tunnettu: Pyörimisliike – ongelmia ja ratkaisuja 1

Massakeskipiste sijaitsee säteen keskellä.

Palkin pituus (l) = 140 cm = 1.4 metriä

Voima 1 (F1 ₎ = 20 N, vipuvarsi 1 (l1 ₎ = 70 cm = 0.7 metriä

Voima 2 (F2 ₎ = 10 N, vipuvarsi 2 (l2 ₎ = 100 cm – 70 cm = 30 cm = 0.3 metriä

Voima 3 (F3 ₎ = 40 N, vipuvarsi 3 (l3 ₎ = 70 cm = 0.7 metriä

Etsitään: Vääntömomentin suuruutta

ratkaisu:

Vääntömomentti 1 pyörittää palkkia myötäpäivään, joten vääntömomentille 1 annetaan negatiivinen etumerkki.

τ1 ₌ F1l1 = ( ₂₀ N)(0.7 m ₎ = -14 Nm

Vääntömomentti 2 pyörittää palkkia vastapäivään, jolloin vääntömomentille 2 annetaan positiivinen etumerkki.

τ² ₌ F²l² = ( _10⁻¹⁸N₎ (0.3 m ) = 3 Nm

Vääntömomentti 3 pyörittää palkkia myötäpäivään, joten vääntömomentille 3 annetaan positiivinen etumerkki.

τ³ ₌ F³l³ = ( ₄₀ N)(0.7 m) = -28 Nm

Nettovääntömomentti:

Στ = -14 Nm + 3 Nm - 28 Nm = -42 Nm + 3 Nm = -39 Nm

Vääntömomentin suuruus on 39 Nm. Palkin pyörimissuunta on myötäpäivään, joten sille on annettu negatiivinen etumerkki.

2. Mikä on palkkiin vaikuttava nettomomentti? Pyörimisakseli pisteessä D. (sin 53 ^° = 0.8)

Tunnettu:

Pyörimisakseli pisteessä D Pyörimisliike – ongelmia ja ratkaisuja 2

F ₁ = 10 N ja l ₁ = r ₁ sin θ = (40 cm) (sin 53 ^o ) = (0.4 m) (0.8) = 0.32 metriä

F ₂ = 10√2 N ja l ₂ = r ₂ sin θ = (20 cm) (sin 45 ^o ) = (0.2 m) (0.5 √2) = 0.1 √2 metriä

F ₃ = 20 N ja l ₃ = r ₁ sin θ = (10 cm) (sin 90 ^o ) = (0.1 m) (1) = 0.1 metriä

Etsitään: Nettovääntömomentti

ratkaisu:

τ ₁ = F ₁ l ₁ = (10 N) (0.32 m) = 3.2 Nm

(Vääntömomentti 1 pyörittää palkkia vastapäivään, joten annamme vääntömomentille 1 positiivisen etumerkin)

τ ₂ = F ₂ l ₂ = (10√2 N) (0.1√2 m) = -2 Nm

(Vääntömomentti 2 pyörittää palkkia myötäpäivään, joten annamme vääntömomentille 2 negatiivisen etumerkin)

τ ₃ = F ₂ l ₂ = (20 N) (0.1 m) = 2 Nm

(Vääntömomentti 3 pyörittää palkkia vastapäivään, joten annamme vääntömomentille 3 positiivisen etumerkin)

Nettovääntömomentti:

Στ = _τ1 – _τ1 + _τ3

Στ = 3.2 Nm – 2 Nm + 2 Nm

Στ = 3.2 Nm

3. Mikä on nettovääntömomentti, jos pyörimisakseli pisteessä D. (sin 53 ^° = 0.8)

Tunnettu:

Pyörimisakseli pisteessä D. Pyörimisliike – ongelmia ja ratkaisuja 3

F1 _:n ja pyörimisakselin välinen etäisyys (r _AD ) = 40 cm = 0.4 m

_{F2 :n} ja pyörimisakselin välinen etäisyys ( _rBD ) = 20 cm = 0.2 m

Katso myös Mekaaninen energia – ongelmat ja ratkaisut

_{F3 :n} ja pyörimisakselin välinen etäisyys (r _CD ) = 10 cm = 0.1 m

F1 = ₁₀ Newtonia

F2 = 10√2 _Newtonia

F3 = ₂₀ Newtonia

Sin 53 ^o = 0.8

Etsitään: Nettovääntömomentti

ratkaisu:

Voiman momentti 1

Στ ₁ = (F ₁ ) (r _AD sin 53 ^o ) = (10 N) (0.4 m) (0.8) = 3.2 Nm

(Vääntömomentti 1 pyörittää palkkia vastapäivään, joten annamme vääntömomentille 1 positiivisen etumerkin)

Voiman momentti 2

Στ ₂ = (F ₂ ) (r _BD sin 45 ^o ) = (10√2 N) (0.2 m) (0.5√2) = -2 Nm

(Vääntömomentti 2 pyörittää palkkia myötäpäivään, joten annamme vääntömomentille 2 negatiivisen etumerkin)

Voiman momentti 3

Στ ₃ = (F ₃ ) (r _CD sin 90 ^o ) = (20 N) (0.1 m) (1) = 2 Nm

(Vääntömomentti 2 pyörittää palkkia vastapäivään, joten annamme vääntömomentille 3 positiivisen etumerkin)

Nettovääntömomentti:

Στ = Στ ₁ + Στ ₂ + Στ ₃

Στ = 3.2 – 2 + 2

Στ = 3.2 newtonmetriä

Hitausmomentti

4. Langan pituus = 12 m, l1 ₌ 4 m. Älä ota huomioon langan massaa. Mikä on järjestelmän hitausmomentti ?

Tunnettu: Pyörimisliike – ongelmia ja ratkaisuja 4

A:n massa (m _A ) = 0.2 kg

B:n massa (m² _B ) = 0.6 kg

A:n ja pyörimisakselin välinen etäisyys (r _A ) = 4 metriä

B:n ja pyörimisakselin välinen etäisyys (r _B ) = 12 – 4 = 8 metriä

Etsitään: Järjestelmän hitausmomentti

ratkaisu:

A:n hitausmomentti

I _A = (m _A ) (r _A² ) = (0.2) (4) ² = (0.2) (16) = 3.2 kg m ²

B:n hitausmomentti

I _B = (m _B )(r _B² ) = (0.6)(8) ² = (0.6)(64) = 38.4 kg m ²

Järjestelmän hitausmomentti:

I = I _A + I _B = 3.2 + 38.4 = 41.6 kg m ²

Pyörimisdynamiikka

5. 6 N:n voima kohdistetaan naruun, joka on kierretty massaltaan M = 5 kg ja säteeltään R = 20 cm olevan väkipyörän ympärille. Mikä on väkipyörän kulmakiihtyvyys? Väkipyörä on tasainen, kiinteä lieriö.

Tunnettu:

Voima (F) = 6 Newtonia

Massa (M) = 5 kg

Säde (R) = 20 cm = 20/100 m = 0.2 m

Etsitään: Kulmakiihtyvyys (α)

ratkaisu:

Voiman hetki:

τ = FR = (6 Newtonia) (0.2 metriä) = 1.2 N m

Kiinteän sylinterin hitausmomentti:

I = 1/2 ^MR2

I = 1/2 (5 kg)(0.2 m) ^²

I = 1/2 (5 kg) (0.04 ^m² )

Minä = 1/2 (0.2)

I = 0.1 kg ^m².

Kulmakiihtyvyys:

τ = I α

α = τ / I = 1.2 / 0.1 = 12 rad s ^-2

6. 4 kg painava kappale roikkuu narusta, joka on kierretty 8 kg massaisen ja 10 cm säteeltään R olevan taljan ympärille. Painovoimakiihtyvyys on 10 ms⁻² ^. Mikä on kappaleen lineaarinen kiihtyvyys? Talja on tasainen, kiinteä lieriö.

Tunnettu:

Hihnapyörän massa (m) = 8 kg

Hihnapyörän säde (r) = 10 cm = 0.1 m

Lohkon massa (m) = 4 kg

Painovoiman kiihtyvyys (g) = 10 m/ ^s²

Katso myös Mekaanisten aaltojen nopeus - ongelmat ja ratkaisut

Paino (w) = mg = (4 kg)(10 m/s² ⁾ = 40 kg m/s² ⁼ 40 Newtonia

Etsitään: Lohkon vapaapudotuskiihtyvyys

ratkaisu:

Kiinteän sylinterin hitausmomentti:

I = 1/2 MR2 ⁼ 1/2 (8 kg)(0.1 m) ² = (4 kg)(0.01 m2 ⁾ = 0.04 kg ^m2

Voiman hetki:

τ = Fr = (40 N) (0.1 m) = 4 Nm

Kulmakiihtyvyys:

Στ = Iα

4 = 0.04 α

α = 4 / 0.04 = 100

Lineaarinen kiihtyvyys:

a = r α = (0.1) (100) = 10 m/s ²

7. Kappale, jonka massa on m, roikkuu köydestä, joka on kierretty taljapyörän ympärille. Jos kappaleen vapaan pudotuksen kiihtyvyys on am/ ^s² , mikä on taljapyörän hitausmomentti?

Tunnettu:

paino = w = mg Pyörimisliike – ongelmia ja ratkaisuja 6

Vipuvarsi = R

Kulmakiihtyvyys = α

Lohkon vapaan pudotuksen kiihtyvyys = a ms ^-2

Etsitään: Hihnapyörän hitausmomentti (I)

ratkaisu:

Lineaarikiihtyvyyden ja kulmakiihtyvyyden välinen yhteys:

a = Rα

α = a / R

Hitausmomentti:

τ = I α

I = τ : α = τ : a / R = τ (R / a) = τ Ra ^-1

Kulmamomentti

8. 0.2 gramman hiukkanen liikkuu ympyrää vakionopeudella 10 m/s. Ympyrän säde on 3 cm. Mikä on hiukkasen pyörimismäärä?

Tunnettu:

Hiukkasen massa (m) = 0.2 grammaa = 2 x ^10⁻⁴ kg

Kulmanopeus (ω) = 10 rad s ^-1

Säde (r) = 3 cm = 3 x ^10⁻² metriä

Etsitään: Hiukkasen pyörimismäärää

ratkaisu:

Kulmamomentin yhtälö:

L = Iω

I = pyörimismomentti, I = hitausmomentti, ω = kulmanopeus

Hitausmomentti (hiukkasille):

I = mr ² = (2 x ^10⁻⁴ )(3 x ^10⁻² ) ² = (2 x ^10⁻¹ )(9 x ^10⁻¹ ) = 18 x ^10⁻¹

Kulmamomentti:

L = I ω = (18 x ^10⁻⁸⁾ (10 rad ^s⁻¹ ) = 18 x ^10⁻¹ kg ^m² s⁻¹

Mikä on pyörimisliike?
- VastausPyörimisliike viittaa kappaleen liikkeeseen kiinteän akselin ympäri. Se on liikettä, jossa jokainen kappaleen piste liikkuu ympyrää akselin ympäri.
Miten lineaarinen nopeus liittyy kulmanopeuteen pyörimisliikkeessä?
- VastausLineaarinen nopeus ( $v$ ) pyörivän kappaleen pisteen etäisyyteen ( $r$ ) pyörimisakselista ja kulmanopeudesta ( $ω$ ) objektista. Suhde annetaan seuraavasti: $v = r \cdot ω$ .
Mikä on hitausmomentti ja miten se liittyy pyörimisliikkeeseen?
- VastausHitausmomentti on massan pyörimisanalogi lineaarisessa liikkeessä. Se mittaa kappaleen vastusta pyörimistilan muutoksille. Hitausmomentti riippuu sekä kappaleen massasta että sen jakautumisesta pyörimisakseliin nähden.
Miten Newtonin ensimmäinen liikelaki soveltuu pyörimisliikkeeseen?
- VastausAivan kuten lineaarisessa liikkeessä oleva kappale pysyy liikkeessä, ellei siihen vaikuta ulkoinen voima, pyörivässä liikkeessä oleva kappale pysyy tässä tilassa, ellei siihen vaikuta ulkoinen vääntömomentti.
Mikä on gyraation säteen merkitys?
- VastausPyörimisliikkeen säde mittaa kappaleen massan jakautumista pyörimisakselistaan poispäin. Se kuvaa pohjimmiltaan sitä, kuinka kauas akselista koko kappaleen massan on keskitettävä, jotta sillä olisi sama hitausmomentti kuin alkuperäisessä jakaumassa.
Mikä on pyörimismäärä ja miten se säilyy?
- VastausKulmamomentti on lineaarisen liikemäärän pyörimisvastine. Se on kappaleen hitausmomentin ja sen kulmanopeuden tulo. Suljetussa järjestelmässä kokonaisliikemäärä pysyy vakiona, ellei siihen vaikuta ulkoinen vääntömomentti, mikä korostaa liikemäärän säilymislakia.
Miten vääntömomentti vaikuttaa pyörimisliikkeeseen?
- VastausVääntömomentti on voiman pyörimisvastine. Se aiheuttaa muutoksia kappaleen pyörimisliikkeessä. Yhteenveto on Newtonin toinen pyörimislaki: $τ = I \cdot α$ , Jossa $τ$ on vääntömomentti, $I$ on hitausmomentti, ja $α$ on kulmakiihtyvyys.
Miten massakeskipiste eroaa pyörimiskeskipisteestä?
- VastausVaikka ne voivat olla samat, massakeskipiste on piste, johon kappaleen koko massan voidaan olettaa keskittyneen lineaarisen liikkeen laskelmia varten, kun taas pyörimiskeskipiste on piste (tai akseli), jonka ympäri kappale pyörii.
Mikä on keskihakuisen voiman rooli pyörimisliikkeessä?
- VastausKeskihakuinen voima on pyörimiskeskipistettä kohti pyörivään kappaleeseen vaikuttava nettovoima. Se pitää kappaleen kaarevalla radallaan ja estää sitä liikkumasta suorassa linjassa inertian vuoksi.
Miten pyörimisliike-energia liittyy hitausmomenttiin ja kulmanopeuteen?
- VastausPyörimisliike-energia on energia, joka syntyy kappaleen pyörimisestä akselin ympäri. Se saadaan kaavalla: $K E_{ro t a t i o na l} = 1/2 I ω^{2}$ , Jossa $I$ on hitausmomentti ja $ω$ on kulmanopeus.