Hiukkasten hitausmomentti – ongelmia ja ratkaisuja

1. Kaksi palloa yhdistettynä tangolla, kuten alla olevassa kuvassa näkyy. Älä ota tangon osia huomioon. massaPallon P massa on 600 grammaa ja pallon Q massa on 400 grammaa. Mikä on hitausmomentti järjestelmän AB:stä?

Tunnettu:

Pyörimisakseli on AB. Hiukkasten hitausmomentti – ongelmia ja ratkaisuja 1

m_p = 600 grammaa = 0.6 kg, m_q = 400 grammaa = 0.4 kg

r_p = 20 cm = 0.2 m, r_q = 50 cm = 0.5 m

Etsitään: Järjestelmän hitausmomentti

ratkaisu:

Minä = m_p r_p² +m_q r_q²

I = (0.6 kg)(0.2 m)² + (0.4 kg)(0.5 m)²

I = (0.6 kg)(0.04 m²²) + (0.4 kg)(0.25 m²)

I = 0.024 kg m² + 0.1 kg m²²

I = 0.124 kg m²

2. Pisteen A ympäri pyöritettyä 2 kg:n massaista AB-tankoa hitausmomentti on 8 kg m.²Jos sauvaa kierretään pisteen O ympäri (AO = OB), mikä on sen hitausmomentti?

Tunnettu: Hiukkasten hitausmomentti – ongelmia ja ratkaisuja 2

Tangon AB massa (m) = 2 kg

Jos sitä kierretään pisteen A ympäri siten, että pyörimissäde (r) = AB:n pituus = r, niin hitausmomentti (I) = 8 kg m²

Halusi: Jos sauvaa kierretään pisteen O ympäri siten, että pyörimissäde (r) = AO:n pituus = OB:n pituus = 1/2 r, niin mikä on sauvan hitausmomentti?

ratkaisu:

Minä = herra²

8 kg m²² = (2 kg) r²

8 m² = (2) r²

r²= 8 XNUMX XNUMX m² / 2

r²= 4 XNUMX XNUMX m²

r = 2 metriä

Jos kappaletta kierretään pisteen O ympäri, jolloin ½ r = 1 metri, niin hitausmomentti:

Minä = herra²= (2 kg)(1 m²)² = (2 kg)(1 m²²) = 2 kg m²

3. Kaksi palloa, jotka on yhdistetty tangolla alla olevan kuvan mukaisesti. Älä ota huomioon tangon massaa. Mikä on järjestelmän hitausmomentti?

Tunnettu:

Pallon A massa (m_A) = 200 grammaa = 0.2 kg Hiukkasten hitausmomentti – ongelmia ja ratkaisuja 3

Pallon B massa (m_B) = 400 grammaa = 0.4 kg

Pallon A ja pyörimisakselin välinen etäisyys (r_A) = 0

Katso myös Määritä ammuksen liikkeen aikaväli

Pallon B ja pyörimisakselin välinen etäisyys (r_B) = 25 cm = 0.25 m

Etsitään: Järjestelmän hitausmomentti

ratkaisu:

Pallon A hitausmomentti:

I_A = (m_A)(r_A²) = (0.2)(0)² = 0

Pallon B hitausmomentti:

I_B = (m_B)(r_B²) = (0.4)(0.25)² = (0.4)(0.0625) = 0.025 kg m²

Järjestelmän hitausmomentti:

I = minä_A+ I_B = 0 + 0.025 = 0.025 kg m²² = 25 x 10^-3 kg m²

4. Neljä eri massaista hiukkasta, kuten alla olevassa kuvassa näkyy. Määritä järjestelmän hitausmomentti vaakasuoran viivan P suhteen.

Ratkaisu

Pyörimisakseli on vaakasuora viiva P.

Tunnettu: Hiukkasten hitausmomentti – ongelmia ja ratkaisuja 4

Hiukkasen A massa (m_A) = m

Hiukkasen B massa (m_B) = 2 m

Hiukkasen C massa (m_C) = 3 m

Hiukkasen D läpäisy (m_D) = 4 m

Hiukkasen A ja pyörimisakselin välinen etäisyys (r_A) = b

Hiukkasen B ja pyörimisakselin välinen etäisyys (r_B) = b

Hiukkasen C ja pyörimisakselin välinen etäisyys (r_C) = 2b

Hiukkasen D ja pyörimisakselin välinen etäisyys (r_D) = 2b

Etsitään: Järjestelmän hitausmomentti vaakasuoran viivan P suhteen

ratkaisu:

Minä = m_A r_A² +m_B r_B²+m_C r_C²+m_Dr_D²

I = (m)(b)²+ (2 m)(b)² + (3m)(2b)²+ (4m)(2b)²

I = mb²+ 2 megatavua² + (3 m)(4 m)²) + (4m)(4b)²)

I = mb²+ 2 megatavua² + 12 megatavua²+ 16 megatavua²

I = 31 mb²

5. Neljä hiukkasta, jotka ovat yhteydessä toisiinsa tangon avulla. Älä ota huomioon tangon massaa. Määritä hitausmomentti pyörimisakselin ympäri hiukkasen m läpi.₁ ja m₂, kuten alla olevassa kuvassa näkyy.

Tunnettu

Hiukkasen 1 massa (m₁) = 1/4 kg Hiukkasten hitausmomentti – ongelmia ja ratkaisuja 5

Hiukkasen 2 massa (m₂) = 1/2 kg

Hiukkasen 3 massa (m₃) = 1/4 kg

Hiukkasen 4 massa (m₄) = 1/4 kg

Hiukkasen 1 ja pyörimisakselin välinen etäisyys (r₁) = 0

Hiukkasen 2 ja pyörimisakselin välinen etäisyys (r₂) = 0

Hiukkasen 3 ja pyörimisakselin välinen etäisyys (r₃) = 10 cm = 10/100 m = 1/10 m

Hiukkasen 4 ja pyörimisakselin välinen etäisyys (r₄) = 10 cm = 10/100 m = 1/10 m

Katso myös Magneettisen induktion suunta - ongelmat ja ratkaisut

Etsitään: Hitausmomentti

ratkaisu:

Minä = m₁ r₁² +m₂ r₂²+m₃ r₃²+m₄r₄²

Minä = (1/4)(0)²+ (1/2)(0)² + (1/4)(1/10)²+ (1/4)(1/10)²

Minä = 0 + 0 + (1/4)(1/100) + (1/4)(1/100)

Minä = 1/400 + 1/400

Minä = 2/400

I = 1/200 kg·m²

Mikä on hiukkasen hitausmomentti?
- VastausYhdelle massahiukkaselle $m$ matkan päästä $r$ pyörimisakselista, sen hitausmomentti $I$ on antanut $I = m \times r^{2}$ .
Miksi hitausmomenttia kutsutaan usein massan "pyörimisanalogiksi"?
- VastausAivan kuten massa mittaa kappaleen vastustuskykyä sen etenemisliikkeen muutoksille (Newtonin toisen lain vuoksi), hitausmomentti mittaa kappaleen vastustuskykyä pyörimisliikkeen muutoksille.
Miten hiukkasen etäisyyden muuttaminen pyörimisakselistaan vaikuttaa sen hitausmomenttiin?
- VastausHitausmomentti on verrannollinen pyörimisakselista mitatun etäisyyden neliöön. Jos etäisyys kaksinkertaistetaan, hitausmomentti kasvaa nelinkertaiseksi.
Miksi etäisyyden neliö (r²) käytetään hitausmomentin kaavassa pelkän etäisyyden sijaan?
- VastausEtäisyyden neliötä käytetään pyörimisen kineettisen energian toimintatavan vuoksi. Pyörimisliikkeessä jokainen kappaleen hiukkanen osallistuu pyörimisen kineettiseen energiaan sekä massansa että akselin neliöstä mitattuna etäisyyden perusteella.
Miten hiukkasen hitausmomentti muuttuu, jos sen massa kolminkertaistuu ja etäisyys akselista pysyy vakiona?
- VastausJos massa kolminkertaistetaan ja etäisyys pidetään vakiona, myös hitausmomentti kolminkertaistuu, koska se on suoraan verrannollinen massaan.
Voiko hiukkasen hitausmomentti olla nolla? Jos voi, niin millä ehdoilla?
- VastausKyllä, hiukkasen hitausmomentti on nolla, jos se sijaitsee suoraan pyörimisakselilla, jolloin sen etäisyys $r$ akselilta, joka on yhtä suuri kuin nolla.
Miksi saman massan ja koon omaavilla eri kappaleilla on erilaiset hitausmomentit pyöriessään eri akseleiden ympäri?
- VastausMassan jakautuminen pyörimisakselin ympäri määrää hitausmomentin. Vaikka kahdella kappaleella olisi sama massa ja koko, niiden massajakaumat pyörimisakseliin nähden voivat erota toisistaan, mikä johtaa erilaisiin hitausmomentteihin.
Onko hitausmomentti skalaari- vai vektorisuure?
- VastausHitausmomentti on skalaarisuure. Jäykillä kappaleilla, joilla on monimutkainen muoto ja useita pyörimisakseleita, sitä edustaa tensori.
Jos kaksi hiukkasta, joiden kummankin massa on $m$ , sijaitsevat etäisyyksillä $r_{1}$ ja $r_{2}$ Mikä on yhdistetty hitausmomentti pyörimisakselista katsottuna?
- VastausHitausmomentti on yksittäisten hiukkasten additiivinen. Näin ollen yhdistetty hitausmomentti $I = m \times r_{12} + m \times r_{22}$ .
Miten hitausmomentti liittyy pyörimismäärän säilymislakiin?
- VastausKulmaliikemäärä $L$ on hitausmomentin tulo $I$ ja kulmanopeus $ω$ , jota edustaa yhtälö $L = I \times ω$ Jos järjestelmään ei vaikuta ulkoisia vääntömomentteja, pyörimismomentti pysyy vakiona. Tämä tarkoittaa, että jos hitausmomentti muuttuu (kuten taitoluistelijan vetämällä käsivarsiaan), kulmanopeuden on muututtava, jotta tulo pysyisi vakiona.