Vapaa pudotusliike

Artikkeli vapaapudotusliikkeestä

Arkielämässä näemme usein esineitä, jotka kokevat vapaata pudotusliikettä, esimerkiksi puusta putoavien hedelmien liikettä, tietyltä korkeudelta putoavien tai pudotettujen esineiden liikettä. Miksi esineet kokevat vapaata pudotusliikettä? Yhdellä silmäyksellä tarkasteltuna esine kokee vapaata pudotusta ikään kuin sillä olisi kiinteä nopeus, eli toisin sanoen esine ei kiihdy. Tosiasia on, että jokainen vapaasti putoava esine kokee vakiokiihtyvyyden. Tämä syy aiheuttaa vapaata pudotusliikettä, mukaan lukien esimerkki epätasaisesta lineaarisesta liikkeestä. Kuinka todistaa, että vapaata pudotusta kokevat esineet kokevat jatkuva kiihtyvyys vai kasvaako sen nopeus?

Lyö kaksi naulaa maahan ja pudota kivi eri korkeudelta kunkin naulan päälle. Huomaat, että ylempänä olevat kivet painautuvat syvemmälle kuin muut naulat. Mitä korkeammalla kivi on maanpinnasta, sitä nopeammin kivi osuu maahan, jolloin se painaa naulaa syvemmälle.

Ennen vanhaan maahan putoavien esineiden liike oli hyvin mielenkiintoinen aihe luonnontieteessä. Filosofi Aristoteles sanoi kerran, että suurempimassainen esine putoaa nopeammin kuin kevyempi esine. Aristoteleen mielipide vaikutti ennen Galileota eläneiden ihmisten näkemyksiin, jotka katsoivat, että suurempimassaiset esineet putoavat nopeammin kuin kevyemmät esineet ja että putoavien esineiden nopeus on verrannollinen esineen massaan. Ehkä sinäkin ajattelet niin ennen tämän aiheen oppimista. Esimerkiksi pudotamme paperinpalan ja kiven samalta korkeudelta. Havaitut tulokset osoittivat, että kivi kosketti ensin maata tai lattiapintaa kuin paperi. Nyt pudotetaan kaksi kiveä samalta korkeudelta, joista toinen on suurempi kuin toinen. Kaksi kiveä koskettivat maanpintaa samaan aikaan verrattuna aiemmin pudotettuun kiveen ja paperiin. Voimme myös kokeilla pudottamalla kiviä ja paperia kokkareina.

Mikä vaikuttaa putoavien kivien tai paperin liikkeeseen? Ilman kitkavoima! Ilmanvastus eli kitka vaikuttaa suuresti vapaaseen pudotusliikkeeseen. Galileo oletti, että kaikki kappaleet putoavat samalla kiihtyvyydellä, jos ilmaa tai muita esteitä ei ole. Galileo väitti, että kaikki kappaleet, raskaat tai kevyet, putoavat samalla kiihtyvyydellä, ainakin jos ilmaa ei ole. Galileo uskoi, että ilma toimii esteenä erittäin kevyille, laaja-alaisille kappaleille. Mutta monissa tilanteissa tämä ilmanvastus voidaan jättää huomiotta. Huoneessa, josta ilma on imetty (tyhjiö), kevyet kappaleet, kuten vaakasuorassa pidetty paperiarkki, putoavat samalla kiihtyvyydellä kuin muutkin kappaleet. Galileon panos putoavien kappaleiden liikkeen ymmärtämiseen voidaan tiivistää seuraavasti:

Tietyssä paikassa maapallolla, jossa ei ole ilmanvastusta, kaikki kappaleet putoavat samalla vakiokiihtyvyydellä. Kutsumme tätä painovoiman aiheuttamaa kiihtyvyyttä ja annamme sille merkin g. G:n suuruus on noin 9.8 m/s.²Englantilaisen avaruusjärjestelmän yksiköissä g:n suuruus on noin 32 ft/s.²Painovoiman kiihtyvyyden suunta on kohti maan keskipistettä.

Vapaan pudotuksen liikkeen määritelmä

Kappaleen sanotaan pudottavan vapaasti, jos se liikkuu kohtisuorassa maan keskipisteeseen nähden ja liikkeen aikana se kokee jatkuvan painovoiman kiihtyvyyden. Jos vapaa pudotus tapahtuu lähellä maan pintaa, se kokee jatkuvan 9.8 m/s painovoiman kiihtyvyyden.²

ja painovoiman kiihtyvyyden suunta kohti maan keskipistettä (kohtisuorassa maan pintaan nähden). Laskelmien yksinkertaistamiseksi g on 10 m/s².

On olemassa kolme erilaista tilannetta:

1. Kappaleet liikkuvat pystysuunnassa alaspäin ilman alkunopeutta (ei v_o). Esimerkiksi hedelmä putoaa puusta sen jälkeen, kun se on irronnut varresta. Liikesuunta on aina alaspäin ja kappale kiihtyy, joten g on aina positiivinen. Joissakin fysiikan kirjoissa sitä kutsutaan vapaapudotusliikkeeksi.

2. Kappale liikkuu pystysuunnassa alaspäin alkuperäisellä nopeudella (v_o). Esimerkiksi pystysuunnassa alaspäin heitetty kivi. Liikesuunta on aina alaspäin ja kappale kiihtyy, joten g on aina positiivinen. Joissakin fysiikan kirjoissa sitä kutsutaan pystysuoraksi alaspäin suuntautuvaksi liikkeeksi.

3. Kappale liikkuu pystysuunnassa ylöspäin alkunopeudella, ja saavutettuaan maksimikorkeuden se liikkuu takaisin alaspäin. Oletetaan, että heität pystysuoria marmoreita ylös ja nappaat ne uudelleen, kun marmorit liikkuvat alas. Ylöspäin liikkuessaan kappale hidastuu (negatiivinen g), ja pystysuunnassa alaspäin liikkuessaan kappale kiihtyy (positiivinen g). Joissakin fysiikan kirjoissa tätä kutsutaan pystysuoraksi ylöspäin suuntautuvaksi liikkeeksi. On huomattava, että jos kappaleeseen kohdistuu yksi yllä olevista kolmesta ehdosta, sen sanotaan suorittavan vapaapudotusliikkeen.

Vapaan pudotuksen liikkeen yhtälö

Vapaa pudotusliike on esimerkki epätasaisesta lineaarisesta liikkeestä, joten vapaan pudotuksen yhtälö on pohjimmiltaan sama kuin epätasaisen lineaarisen liikkeen yhtälö ja sovitettu vapaan pudotuksen olosuhteisiin.

h = korkeus (metriä), v_o = alkunopeus (metriä/sekunti), v_t = loppunopeus (metriä/sekunti), t = aika (sekunti), g = painovoiman kiihtyvyys (metriä/sekunti) = 9.8 m/s² tai 10 m/s².

Painovoiman kiihtyvyys on vakio 10 m/s² (g positiivinen, kappale liikkuu alaspäin) tarkoittaa, että kappaleen nopeus kasvaa 10 m/s joka sekunti. 2 sekuntia myöhemmin kappaleen nopeus kasvaa 20 m/s. 3 sekuntia myöhemmin kappaleen nopeus kasvaa 30 m/s. Painovoiman vakiohidastuvuus on 10 m/s.² (g negatiivinen, kappale liikkuu ylöspäin) tarkoittaa, että kappaleen nopeus hidastuu 10 m/s joka sekunti. 2 sekuntia myöhemmin kappaleen nopeus hidastuu 20 m/s. 3 sekuntia myöhemmin kappaleen nopeus hidastuu 30 m/s. Jatkuvaa kiihtyvyyttä tai hidastuvuutta esiintyy vain lähellä maan pintaa.

Esimerkkitehtävä 1:

Mango vapautuu ja putoaa maahan. Jos lähtöasema on 10 metriä maanpinnasta ja mangon massa on 5 grammaa, määritä:

(a) mangon nopeus sen saapuessa maahan

(b) aika, jonka mango tarvitsee maanpinnan saavuttamiseen.

g = 9.8 m/s²

Ratkaisu:

Tunnettu: korkeus = 10 m, kiihtyvyys = 9.8 m/s²

a) Mangan nopeus sen saapuessa maahan

Massa lasketaan vapaan pudotuksen yhtälössä

b) Aikaväli ilmassa

Esimerkkitehtävä 2:

Esine pudotetaan tietyltä korkeudelta. Määritä:

(a) kappaleen kiihtyvyyden suuruus

(b) kappaleen kahden ensimmäisen sekunnin aikana kulkema matka

(c) kappaleen nopeus 50 metrin pudotuksen jälkeen

(d) kuinka kauan kappaleen nopeuden 20 m/s saavuttamiseen kuluu,

(e) kuinka kauan kestää, että esine putoaa 100 metrin korkeuteen

Ratkaisu:

Tunnettu: g = 9.8 m/s²

a) Kappaleen kiihtyvyyden suuruus

Kappaleen kiihtyvyys = painovoiman kiihtyvyys = g = 9.8 m/s²

b) Kappaleen kulkema matka kahden ensimmäisen sekunnin aikana

Tunnettu: g = 9.8 m/s² , t = 2 sekuntia

Halusi: h

h = 1⁄2 gt² = 1⁄2 (9.8)(2)² = (4.9)(4) = 19.6 metriä

c) Kappaleen nopeus pudottuaan 50 metrin korkeuteen

Tunnettu: korkeus = 50 m, kiihtyvyys = 9,8 m/s²

Halusi: v_t

d) Kuinka kauan kappaleiden nopeus kestää 20 m/s?

Tunnettu: v_t = 20 m/s, kiihtyvyys = 9,8 m/s²

Halusi: t

e) Aika, joka tarvitaan esineiden putoamiseen jopa 100 metrin päähän

Halusi: korkeus = 100 m, kiihtyvyys = 9,8 m/s²

Ratkaisu: t

Esimerkkitehtävä 3:

Kivi heitetään kaivoon alkunopeudella 5 m/s. Jos kivi putoaa veteen 4 sekunnin kuluttua, määritä:

(a) kiven nopeus, kun se joutuu veteen

(b) kaivon syvyys

Ratkaisu:

a) Kiven nopeus, kun se joutuu veteen

Tunnettu:

v_o = 5 m/s, t = 4 s, g = 9.8 m/s²

Halusi: v_t

v_t = v_o + gt

v_t = 5 m/s + (9.8 m/s²)(4 s) = 5 m/s + 39.2 m/s

v_t = 44.2 m/s

b) Kaivon syvyys

Tunnettu:

v_o = 5 m/s, t = 4 s, g = 9.8 m/s²

Halusi: h

h = v_o t + ½ gt²

h = (5)(4) + ½ (9.8)(4)²

h = 20 + (4.9)(16)

h = 20 + 78.4

k = 98.4 metriä

Esimerkkitehtävä 4:

Rakennuksen huipulta jopa 50 metrin korkeudesta sinkoutuu paketti pystysuoraan alaspäin nopeudella 10 m/s. Määritä:

(a) Ilmassa vietetty aika

(b) Paketin nopeus maahan osuessaan

Ratkaisu:

a) Aika ilmassa

Tunnettu:

korkeus = 50 m, kiihtyvyys = 9.8 m/s²sisään_o = 10 m/s

Halusi: t

h = v_o t + ½ gt²

50 = 10 tonnia + ½ (9.8) tonnia²

50 = 10 tonnia + 4.9 tonnia²

4.9 t² + 10 t – 50 = 0

Käytä toisen asteen kaavaa:

Aika ilmassa = 2.3 sekuntia

b) Paketin nopeus maahan osuessaan

Tunnettu:

korkeus = 50 m, kiihtyvyys = 9.8 m/s²sisään_o = 10 m/s

Halusi: v_t

Esimerkkitehtävä 5:

Pallo heitetään pystysuoraan ylöspäin alkunopeudella 20 m/s. Määritä pallon suurin mahdollinen korkeus.

Ratkaisu:

Ylöspäin suuntautuvan vektorin suureet ovat positiivisia ja alaspäin suuntautuvan vektorin suureet negatiivisia. Pallon alkuasema valitaan vertailupisteeksi.

Tunnettu:

v_o = 20 m/s (alkuperäisen nopeuden suunta on ylöspäin, pallo heitetään ylöspäin, joten v_o on positiivinen)

v_t = 0 m/s (pallon nopeus maksimikorkeudella on 0 m/s)

g = – 9.8 m/s² (painovoiman kiihtyvyyden suunta on alaspäin, joten g on negatiivinen)

Halusi: h

Esimerkkitehtävä 6:

Marmori heitetään pystysuoraan ylöspäin rakennuksen katolta 100 metrin korkeudelta maanpinnasta alkunopeudella 20 m/s. Määritä:

(a) Aika ilmassa

(b) marmorin nopeus sen osuessa maahan

Ratkaisu:

Marmorin heittopaikka toimii vertailupisteenä; rakennuksen huippu on vertailupiste. Ylöspäin suuntautuvan vektorin suuruus on positiivinen ja alaspäin suuntautuvan vektorin suuruus on negatiivinen.

a) Aika ilmassa

Tunnettu:

h = – 100 m (h on negatiivinen, koska maanpinta on lähtöpisteen tai vertailupisteen alapuolella)

v_o = 20 m/s (alkuperäisen nopeuden suunta on ylöspäin, joten v_o on positiivinen)

g = – 9.8 m/s² (painovoiman kiihtyvyyden suunta on alaspäin, joten g on negatiivinen)

Halusi: t

Käytä toisen asteen kaavaa:

Maahan pääsemiseen tarvittava aika siitä lähtien

pallon heittäminen = 7 sekuntia.

b) Marmorin nopeus, kun se osuu maanpintaan

Tunnettu:

h = -100 m (negatiivinen, koska maanpinta on vertailupisteen tai alkupisteen alapuolella)

v_o = 20 m/s (alkuperäisen nopeuden suunta on ylöspäin, joten v_o on positiivinen)

g = -9.8 m/s² (painovoiman kiihtyvyyden suunta on alaspäin, joten g on negatiivinen).

Halusi: v_t

Käsitteellisiä kysymyksiä ja vastauksia vapaapudotusliikkeestä

1. Mitä on vapaa pudotusliike?

   Vapaa pudotusliike on kappaleen liikettä pelkästään painovoiman vaikutuksesta ilman muita voimia, kuten ilmanvastusta.
2. Mikä on painovoiman aiheuttama kiihtyvyys?

   Painovoimakiihtyvyys on kiihtyvyys, jonka kappale kokee pudotessaan vapaasti lähelle maan pintaa. Se merkitään tyypillisesti g:nä ja sen arvo on noin 9.8 m/s².

3. Mikä on vapaassa pudotusliikkeessä syntyvän siirtymän kaava, kun annetaan alkunopeus ja aika?

   Kaava on h = ut + ½gt², jossa h on siirtymä (korkeus), u on alkunopeus, g on painovoimakiihtyvyys ja t on aika.
4. Miten kappaleen nopeus muuttuu vapaan pudotuksen aikana?

   Vapaassa pudotuksessa kappaleen nopeus kasvaa lineaarisesti ajan kuluessa painovoiman jatkuvan kiihtyvyyden vuoksi.

5. Mikä on vapaassa pudotuksessa loppunopeuden kaava, kun annetaan alkunopeus ja aika?

   Kaava on v = u + gt, jossa v on loppunopeus, u on alkunopeus ja g on painovoiman kiihtyvyys.
6. Mitä tapahtuu kappaleen nopeudelle sen lentoradan huipulla vapaassa pudotuksessa?

   Lentoradan huipulla kappaleen nopeus on hetkellisesti nolla.

7. Mitä negatiivinen merkki edustaa vapaan pudotuksen yhteydessä?

   Negatiivinen merkki tarkoittaa yleensä vastakkaista suuntaa valitulle positiiviselle suunnalle. Asiayhteydestä riippuen se voi tarkoittaa putoamista alas (jos ylös on positiivinen) tai heittämistä alas (jos ylös on negatiivinen).
8. Mitä tapahtuu vapaassa pudotuksessa olevan kappaleen kiihtyvyydelle, kun se saavuttaa maksimikorkeutensa?

   Vapaassa pudotuksessa kappaleen kiihtyvyys maksimikorkeudellaan pysyy yhtä suurena kuin g (noin -9.8 m/s² lähellä maan pintaa) alaspäin osoittaen.

9. Miten ilmanvastus vaikuttaa vapaaseen pudotusliikkeeseen?

   Todellisuudessa ilmanvastus voi hidastaa kappaleen laskeutumista merkittävästi, jolloin liike ei enää ole vapaata pudotusta. Monissa fysiikan ongelmissa ilmanvastus kuitenkin jätetään huomiotta yksinkertaisuuden vuoksi.
10. Mikä on lentoaika vapaassa pudotusliikkeessä?

Lentoaika on kokonaisaika, jonka kappale viettää ilmassa. Samalle korkeudelle laukaistun ja laskeutuvan kappaleen lentoaika voidaan laskea kaavalla t = 2u/g.

Vapaapudotusliikkeeseen liittyviä ongelmia ja ratkaisuja

1. Ongelma: Kivi pudotetaan 78.4 metrin korkeudelta. Kuinka kauan kiven saavuttaminen maahan kestää? Ratkaisu: Käytämme yhtälöä h = ½gt². Ajan ratkaisemiseksi t = √(2h/g) = √(2×78.4/9.8) = 4 s.
2. Ongelma: Pallo heitetään ylöspäin alkunopeudella 19.6 m/s. Kuinka korkealle pallo nousee? Ratkaisu: Käyttämällä yhtälöä h = v₀t – ½gt² maksimikorkeudella (jossa loppunopeus on 0), korkeus h = v₀² / (2g) = (19.6)² / (2×9.8) = 20 m.
3. Ongelma: Kivi heitetään ylöspäin alkunopeudella 10 m/s. Mikä on sen nopeus 2 sekunnin kuluttua? Ratkaisu: Yhtälö v = v₀ – gt antaa nopeudeksi v = 10 – 9.8 × 2 = -9.6 m/s.
4. Ongelma: Kolikko pudotetaan kaivoon ja se osuu veteen kolmen sekunnin kuluttua. Kuinka syvä kaivo on? Ratkaisu: Käyttämällä kaavaa h = ½gt², syvyydeksi h saadaan ½x9.8×3² = 44.1 m.
5. Ongelma: Kirja putoaa pöydältä ja osuu maahan 0.5 sekunnin kuluttua. Kuinka korkea pöytä oli? Ratkaisu: Käyttämällä yhtälöä h = ½gt², korkeus h = ½x9.8x(0.5)² = 1.225 m.
6. Ongelma: Pallo heitetään ylöspäin alkunopeudella 20 m/s. Milloin se saavuttaa maksimikorkeutensa? Ratkaisu: Suurimmalla korkeudella v = 0. Ratkaisemalla t = (v – v₀) / -g, aika t = (0 – 20) / -9.8 = 2.04 s.
7. Ongelma: Kappale putoaa 6 sekuntia. Mikä on sen loppunopeus? Ratkaisu: Käyttämällä yhtälöä v = v₀ + gt ja alkunopeutta v₀ = 0, loppunopeus v = 0 + 9.8 × 6 = 58.8 m/s.
8. Ongelma: Omena putoaa puusta ja osuu maahan 1.5 sekunnissa. Mikä oli puun korkeus? Ratkaisu: Käyttämällä yhtälöä h = ½gt², korkeus h = ½x9.8x(1.5)² = 11 m.
9. Ongelma: Jalkapalloa potkaistaan ​​pystysuoraan ylöspäin alkunopeudella 25 m/s. Kuinka kauan kestää, ennen kuin se osuu maahan? Ratkaisu: Aika maksimikorkeuteen t = v₀ / g = 25 / 9.8 = 2.55 s. Kokonaisaika maahan osumiseen on kaksinkertainen tähän, joten t = 2 × 2.55 = 5.1 s.
10. Ongelma: Kivi pudotetaan sillalta ja se osuu veteen neljän sekunnin kuluttua. Kuinka korkea silta on? Ratkaisu: Käyttämällä yhtälöä h = ½gt², korkeus h = ½x9.8×4² = 78.4 m.
11. Ongelma: Raketti laukaistaan ​​suoraan ylöspäin nopeudella 50 m/s. Kuinka korkealle se nousee? Ratkaisu: Käyttämällä yhtälöä h = v₀² / (2g), korkeus h = (50)² / (2 × 9.8) = 127.55 m.
12. Ongelma: Pallo heitetään alaspäin alkunopeudella 10 m/s. Mikä on sen nopeus 2 sekunnin kuluttua? Ratkaisu: Käyttämällä yhtälöä v = v₀ + gt, nopeus v = 10 + 9.8 × 2 = 29.6 m/s.
13. Ongelma: Pallo heitetään pystysuoraan ylöspäin ja se palaa maahan 6 sekunnissa. Mikä oli sen alkunopeus? Ratkaisu: Käyttämällä yhtälöä v₀ = gt / 2 (koska kokonaisaika on kaksinkertainen maksimikorkeuden saavuttamiseen kuluvaan aikaan verrattuna), alkunopeus v₀ = 9.8 × 6 / 2 = 29.4 m/s.
14. Ongelma: Esine putoaa 10 sekuntia. Kuinka korkealle se putoaa? Ratkaisu: Käyttämällä yhtälöä h = ½gt², etäisyys h = ½x9.8×10² = 490 m.
15. Ongelma: Kuula pudotetaan tornista ja sen osuminen maahan kestää 5 sekuntia. Kuinka korkea torni on? Ratkaisu: Käyttämällä yhtälöä h = ½gt², korkeus h = ½x9.8×5² = 122.5 m.
16. Ongelma: Baseball-pallo heitetään pystysuoraan ylöspäin alkunopeudella 15 m/s. Milloin se saavuttaa maksimikorkeutensa? Ratkaisu: Suurimmalla korkeudella v = 0. Ratkaisemalla t = (v – v₀) / -g, aika t = (0 – 15) / -9.8 = 1.53 s.
17. Ongelma: Esine pudotetaan ja putoaa 7 sekuntia. Mikä on sen loppunopeus? Ratkaisu: Käyttämällä yhtälöä v = v₀ + gt ja alkunopeutta v₀ = 0, loppunopeus v = 0 + 9.8 × 7 = 68.6 m/s.
18. Ongelma: Kivi heitetään ylöspäin alkunopeudella 30 m/s. Mikä on sen nopeus 3 sekunnin kuluttua? Ratkaisu: Käyttämällä yhtälöä v = v₀ – gt, nopeus v = 30 – 9.8 × 3 = 0.6 m/s.
19. Ongelma: Kivi pudotetaan kalliolta ja se osuu maahan kahdeksan sekunnin kuluttua. Kuinka korkea kallio on? Ratkaisu: Käyttämällä yhtälöä h = ½gt², korkeus h = ½x9.8×8² = 313.6 m.

20. Ongelma: Nuoli ammutaan suoraan ylöspäin nopeudella 60 m/s. Kuinka kauan kestää, ennen kuin se osuu maahan? Ratkaisu: Aika maksimikorkeuteen t = v₀ / g = 60 / 9.8 = 6.12 s. Kokonaisaika maahan osumiseen on kaksinkertainen tähän, joten t = 2 × 6.12 = 12.24 s.