Artikkeli Bernoullisin periaatteesta ja Bernoullisin yhtälöstä
Kun ajamme moottoripyörällä, vaatteemme turpoavat taaksepäin. Joskus, jos tuuli puhaltaa kovaa, ovi voi sulkeutua itsestään. Vaikka tuuli puhaltaa talon ulkopuolella, ovi on sisällä talossa.
Tämä voidaan selittää Bernoullin periaatteella. Daniel Bernoulli (1700-1782) löysi periaatteen, jota voitiin käyttää selittämään edellä mainittu ilmiö.
Bernoullin periaate
Bernoullin periaatteen mukaan nesteen virtausnopeuden ollessa suuri nesteen paine on pieni. Käänteisesti, jos nesteen virtausnopeus on pieni, nesteen paine on suuri. Kun moottoripyörä liikkuu nopeasti, ilman nopeus etu- ja sivuosissa on suuri. Näin ollen ilmanpaine laskee. Takaosa on takaosan tiellä, joten ilman nopeus takaosassa ei nouse suureksi. Tämän seurauksena takaosan ilmanpaine nousee. Koska ilmanpaineissa on ero takaosassa, jossa ilmanpaine on korkeampi kuin ilma, paitasi työntyy taaksepäin, jolloin vaatteesi näyttävät turvonneilta taaksepäin.
Entä talon ovi, joka sulkeutuu itsestään tuulen puhaltaessa ulos? Talon ulkopuolella oleva ilma liikkuu nopeammin kuin sisällä oleva ilma. Tämän seurauksena talon ulkopuolella oleva ilmanpaine on pienempi kuin talon sisällä oleva ilmanpaine. Koska talon sisällä oleva ilmanpaine on suurempi, ovi työntyy ulospäin. Toisin sanoen ovilehti liikkuu paikasta, jossa ilmanpaine on suuri, paikkaan, jossa ilmanpaine on pieni.
Bernoullin yhtälö
Aiemmin olemme oppineet Bernoullin periaatteesta. Bernoulli kehitti periaatteen myös kvantitatiivisesti. Bernoullin yhtälön johtamiseksi oletamme, että nesteen virtaus on tasaista ja laminaarista, puristamatonta ja viskositeetti on minimaalinen, joten se voidaan jättää huomiotta.
Jatkuvuusyhtälön käsittelyssä olemme oppineet, että nesteen virtausnopeus voi vaihdella myös virtausputken virtauspinta-alan mukaan. Edellä kuvatun Bernoullin periaatteen perusteella nesteen paine voi myös vaihdella nesteen virtausnopeuden mukaan. Nesteen paine voi myös vaihdella nesteen korkeuden mukaan. Paineen, virtausnopeuden ja virtauskorkeuden välinen suhde voidaan saada Bernoullin yhtälöstä.
Bernoullin yhtälö on kriittinen, koska sitä voidaan käyttää lentokoneiden lentojen, vesivoimalaitosten, putkistojen jne. analysointiin. Jotta Bernoullin yhtälö voidaan johtaa yleisesti, oletamme, että neste virtaa virtausputken läpi, jonka poikkileikkauspinta-ala ei ole sama ja jonka korkeus on myös erilainen. Bernoullin yhtälön johtamiseksi sovellamme työn ja energian teoreemaa virtausputkessa olevaan nesteeseen.
Alla olevassa kuvassa virtausputken läpinäkymätön väri osoittaa nesteen virtausta, kun taas valkoinen väri ei osoita nestettä lainkaan.
Poikkileikkausalalla 1 (vasemmalla) oleva neste virtaa pisteeseen L1 asti ja pakottaa osassa 2 (oikealla) olevan nesteen liikkumaan pisteeseen L2 asti . Koska oikealla oleva poikkileikkausala 2 on pienempi, nesteen virtausnopeus virtausputken oikealla puolella on suurempi (muista jatkuvuusyhtälö). Tämä aiheuttaa paine-eron osan 2 (virtausputken oikea puoli) ja osan 1 (virtausputken vasen puoli) välille – muista Bernoullin periaate. Osasta 1 vasemmalla puolella oleva neste antaa paineen (P1 ) oikealla olevalle nesteelle ja tekee työtä:
Sitten W1- yhtälö voidaan kirjoittaa:
W1 = p1 A1L1
Osiossa 2 (virtausputken oikealla puolella) nesteelle tehty työ on:
W² = −p²A²L²
Negatiivinen merkki osoittaa, että käytetty voima on vastakkainen liikesuunnalle. Neste siis tekee työtä poikkileikkauksen 2 oikealla puolella. Lisäksi painovoima vaikuttaa nesteeseen. Yllä olevassa tapauksessa nestemassoja siirtyy osasta 1 pisteeseen L1 asti osaan 2 pisteeseen L2 asti , missä on nesteen tilavuus osassa 1 (A 1 L 1 ) = nesteen tilavuus osassa 2 (A 2 L 2 ). Painovoiman tekemä työ on:
W3 = −mg( h2 − h1 )
W3 = − mgh2 + mgh1 )
W3 = mg/ h1 − mg / h2
Negatiivisen merkkisen virtauksen aiheuttaa ylöspäin virtaava neste, joka virtaa painovoiman suuntaan nähden vastakkaiseen suuntaan. Nesteeseen kohdistuva nettotyö on siis:
W = W1 + W2 + W3
W = P1 A1 L1 - P2 A2 L2 + mgh1 - mgh2
Työ-energia-lausekkeen mukaan systeemiin tehty nettotyö on sama kuin kineettisen energian muutos. Siten voimme korvata työn (W) kineettisen energian muutoksilla (EK2 – EK1 ).
Yllä oleva yhtälö voidaan kirjoittaa uudelleen:
W = P1 A1 L1 - P2 A2 L2 + mgh1 - mgh2
EK2 ‐ EK1 = P1 A1 L1 - P2 A2 L2 + mgh1 - mgh2
1⁄2 mV22 – 1⁄2 mV12 = P1 A1 L1 - P2 A2 L2 + mgh1 - mgh2
Nestemäinen massa, joka virtaa pisteeseen L asti1 poikkileikkauksessa A1 = nesteen massa, joka virtaa pisteeseen L asti2 (poikkileikkaus A2). Nesteen massan, sanotaan m, tilavuus on A1 L1 ja A2 L2 jossa A1 L1 =A2 L2 (L2 on pidempi kuin L1).
Nyt sijoitetaan m yllä olevaan yhtälöön m:llä = ρ AL:
Tämä on Bernoullin yhtälö. Bernoullin yhtälö on johdettu työ-energia-periaatteen perusteella, joten se on eräänlainen energian säilymislaki.
P = paine, ρ = tiheys, v = nesteen nopeus, g = painovoiman kiihtyvyys, h = putken korkeus maanpinnasta.
Yllä olevan Bernoullin yhtälön vasen ja oikea segmentti voivat viitata kahteen pisteeseen missä tahansa virtausputken varrella, joten voimme kirjoittaa yllä olevan yhtälön uudelleen muotoon:
Tarkastellaan nyt Bernoullin yhtälöä joissakin tapauksissa.
Bernoullin yhtälö staattisissa nesteissä
Bernoullin yhtälön erikoistapaus on staattinen neste, jolla ei ole nopeutta. Näin ollen v1 = v2 = 0. Staattisen nesteen tapauksessa voimme muotoilla Bernoullin yhtälön muodossa:
Jos h² – h1 = h, yhtälö voidaan kirjoittaa muodossa:
p1 − p2 = ρg( h2 − h1 )
p1 − p2 = ρgh
Bernoullin yhtälö samalla korkuisella putkella
Jos putken korkeus on sama, Bernoullin yhtälö muuttuu muotoon:
