Poiseuillen yhtälö

Sitä kutsutaan Poiseuillen yhtälöksi, koska sen löysi edesmennyt Jean Louis Marie Poiseuille (1799-1869). Kuten selitettiin, jokaista nestettä voidaan pitää ideaalisena nesteenä. Ideaalisilla nesteillä ei ole viskositeettia. Jos kuvittelemme ideaalisen nesteen virtaavan putkessa, jokainen nesteen osa liikkuu samalla nopeudella (v). Toisin kuin ideaalisilla nesteillä, todellisilla nesteillä eli jokapäiväisessä elämässä kohtaamillamme nesteillä on viskositeetti. Koska niillä on viskositeetti, esimerkiksi putkessa virratessaan nesteen kunkin osan nopeus vaihtelee. Keskellä oleva nestekerros liikkuu nopeammin (v on suuri), kun taas putkeen kiinnittynyt nestekerros ei liiku eli pysyy paikallaan (v = 0). Joten putken keskeltä reunaan jokainen nesteen osa liikkuu eri nopeuksilla. Jotta ymmärtäisit paremmin, katso alla olevaa kuvaa…

Tietoja:

R = putken/letkun säde

v₁ = nesteen virtausnopeus putken keskellä/akselilla

v₂ = nesteen virtausnopeus etäisyydellä r₂ putken reunasta

v₃ = nesteen virtausnopeus etäisyydellä r₃ putken reunasta

v₄ = nesteen virtausnopeus etäisyydellä r₄ putken reunasta

r = etäisyys

Jotta nesteen virtausnopeus olisi sama, putken tai letkun molemmissa päissä, joiden läpi neste virtaa, on oltava paine-ero. Nesteellä tarkoitamme tässä oikeita nesteitä, kuten putkessa virtaavaa vettä tai öljyä, verisuonissa virtaavaa verta jne. Sen lisäksi, että paine-erot edistävät nesteen tasaista virtausta, ne voivat myös mahdollistaa nesteiden virtaamisen putkissa eri korkeuksilla.

Jean Louis Marie Poiseuille, entinen ranskalainen tiedemies, joka oli kiinnostunut ihmisen verenkierron fysikaalisista näkökohdista, teki tutkimusta selvittääkseen, miten tekijät, kuten paine-erot, putken poikkileikkauspinta-ala ja putken koko, vaikuttavat todellisen nesteen nopeuteen. Jean Louis Marie Poiseuillen saamat tulokset tunnetaan Poiseuillen yhtälönä.

Poiseuillen yhtälö voidaan johtaa aiemmin johdetun viskositeettikerroinyhtälön avulla. Käytämme viskositeettiyhtälöä, koska tapaus on samankaltainen, vaikkakaan ei identtinen. Viskositeettikerroinyhtälöä johdettaessa tarkastellaan todellisen nestekerroksen virtausta kahden yhdensuuntaisen levyn välissä, ja neste pääsee liikkumaan vetovoiman (F) ansiosta. Ero on siinä, että johtamamme Poiseuillen yhtälö itse asiassa ilmaisee tekijät, jotka vaikuttavat todellisen nesteen virtaukseen putkessa, ja neste virtaa paine-erojen vuoksi. Siksi viskositeettikerroinyhtälöä on muutettava uudelleen.

Nesteet voivat virrata paine-erojen vuoksi (nesteet virtaavat korkeapaineisista paikoista matalapaineisiin paikkoihin), joten korvaamme F:n p:llä₁ - s₂ (p₁ > p₂).

Viskositeettikertoimen yhtälöä johdettaessa tarkastellaan todellisen nestekerroksen virtausta kahden yhdensuuntaisen levyn välissä. Nesteen jokainen osa kokee säännöllisen nopeudenmuutoksen etäisyydellä l. Tässä tapauksessa nesteen virtausnopeus muuttuu säännöllisesti putken akselista putken reunaan. Putken akselilla oleva neste virtaa suuremmalla nopeudella (v). Mitä kauemmas reunaa kohti mennään, sitä pienempi nesteen nopeus on. Putken säde = putken akselin ja putken reunan välinen etäisyys = R. Nesteen kunkin osan ja putken reunan välinen etäisyys = r. Koska nesteen kunkin osan lukumäärä on hyvin suuri ja niiden etäisyys putken reunasta vaihtelee, kirjoitamme sen yksinkertaisesti näin:

v₁ = nesteen nopeus putken reunasta etäisyydellä r1 (r1 = R)

v₂ = nesteen nopeus putken reunasta etäisyydellä r2 (r2 < r1)

v₃ = nesteen nopeus putken reunasta etäisyydellä r3 (r3 < r2 < r1)

v₄ = nesteen nopeus putken reunasta etäisyydellä r4 (r4 < r3 < r2 < r1)

............................................. ..

vn = nesteen nopeus putken reunasta etäisyydellä rn (rn < …… < r4 < r3 < r2 < r1)

Nesteen jokaisen osan lukumäärä on hyvin suuri, emmekä tiedä tarkalleen, kuinka paljon se todellisuudessa on, joten riittää, että kirjoitamme sen tunnuksella n. Jokainen nesteen osa kokee säännöllisen nopeudenmuutoksen (v) putken akselista (r1 = R) putken reunaan (rn). Putken akselista (r1 = R) putken reunaan (rn) nesteen jokaisen osan nopeus pienenee (v1 > v2 > v3 > v4 > …. > vn).

Yllä olevasta selityksestä voimme saada käsityksen siitä, että virtausnopeus pienenee R:stä rn:ään. Putken pituus = L. Saatu yhtälö on:

Koska tarkastelemme nesteen virtausnopeutta (v), yhtälöstä 2 tulee:

Tämä on yhtälö nesteen virtausnopeudelle etäisyydellä r putkesta, jonka säde on R. Jos olet hämmentynyt katsoessasi yllä olevaa kuvaa... Huomaa, että neste virtaa putkessa, joten meidän on tarkasteltava nesteen tilavuusvirtausnopeutta.

Putken sisällä on nestettä. Esimerkiksi jaamme nesteen hyvin pieniin osiin, joissa jokaisen osan pinta-ala on yksikkö dA, se on etäisyydellä putken akselista ja sen virtausnopeus on v. Matemaattisesti tämä voidaan kirjoittaa seuraavasti:

dA1 = nestepinta-ala 1, joka on etäisyydellä 1 putken akselista

dA2 = nestepinta-ala 2, joka on etäisyydellä 2 putken akselista

dA3 = nestepinta-ala 3, joka on etäisyydellä 3 putken akselista

..................................

dA n = nesteen poikkileikkaus n, joka on etäisyys dA n putken akselista

Nestemäisiä kappaleita on niin paljon, että on kätevää kirjoittaa ne yksinkertaisesti symbolilla n. Kunkin nestemäisen kappaleen tilavuusvirtausnopeus voidaan kirjoittaa matemaattisesti seuraavasti:

Jokainen nestekappale on etäisyydellä r = 0 - r = R (R = putken säde). Toisin sanoen, nestekappaleiden etäisyys putken akselista vaihtelee. Jos hienosäädämme integrointia, saamme yhtälön putkessa olevan nesteen tilavuusvirtaukselle:

Tietoja:

Q = Debit

R = Putken tai putken sisäsäde

η = Viskositeettikerroin

P₁ - s₂ = Paine-ero putken kahden pään välillä

L = Putken pituus

p₁-p₂/L = Painegradientti (nesteen virtaus kulkee aina laskevan paineen suuntaan)

Yllä olevan Poiseuillen yhtälön perusteella näyttää siltä, ​​että nesteen tilavuusvirtausnopeus eli purkaus (Q) on verrannollinen putken säteen neljänteen potenssiin (R).₄), painegradientti (p₂ - s₁ /L) ja on kääntäen verrannollinen viskositeettiin. Jos putken sädettä kasvatetaan (viskositeettikerroin ja painegradientti pysyvät vakioina), nesteen virtausnopeus kasvaa kertoimella 16.

Putkien, ruiskujen jne. suunnittelun peruskonsepti käyttää tätä yhtälöä. Nesteen virtaus on verrannollinen R:ään₄ (R = putken säde). Ruiskun tai putken säde on laskettava huolellisesti. Esimerkiksi jos neulan säde kaksinkertaistetaan (r x 2), niin suihkuavan nesteen purkautuminen = lisää peukalon painevoimaa 16-kertaisesti.

Poiseuillen yhtälö osoittaa myös, että säteen neljäs potenssi (r⁴) on kääntäen verrannollinen putken kahden pään väliseen paine-eroon. Esimerkiksi aluksi veri virtaa verisuonessa, jonka sisäsäde on r. Jos verisuoni kapenee (esimerkiksi r/2 = verisuonen sisäsäde pienenee 2-kertaisesti), tarvitaan 16-kertainen paine-ero, jotta veri virtaa ennallaan (niin että purkaus- eli veren tilavuusvirtausnopeus pysyy vakiona).