Esimerkkikysymyksiä yhdistetapahtumien todennäköisyydestä
Johdatus yhdistettyjen tapahtumien todennäköisyyteen
Todennäköisyyslaskennan ala on matematiikan haara, joka tutkii tapahtuman todennäköisyyttä. Yhdistetyn tapahtuman todennäköisyys on todennäköisyys, että tapahtumaan liittyy useampi kuin yksi tapahtuma. Esimerkiksi parillisen luvun heiton todennäköisyys nopalla ja ässän heiton todennäköisyys korttipakasta ovat esimerkkejä yhdistetyistä tapahtumista. Tässä artikkelissa käsitellään useita esimerkkiongelmia ja yhdistettyjen tapahtumien todennäköisyyttä.
Yhdistettyjen tapahtumien todennäköisyyden peruskäsite
Yhdistelmätapahtumia on kahdenlaisia:
1. Toisensa poissulkevat tapahtumat: Kaksi tapahtumaa, jotka eivät voi tapahtua samanaikaisesti. Esimerkiksi noppaa heitettäessä 2 ja 5 ovat toisensa poissulkevia tapahtumia, koska molempia lukuja ei voida heittää samanaikaisesti.
2. Ei-toisensa poissulkevat tapahtumat: Kaksi tapahtumaa, jotka voivat tapahtua samanaikaisesti. Esimerkiksi pelikorttien nostossa sydänkortin (♥) ja numerolla 10 varustetun kortin saaminen eivät ole toisensa poissulkevia tapahtumia, koska tarjolla on sydänkortti, jonka numero on 10.
Tässä on joitakin peruskaavoja, joita käytetään yhdistetyn tapahtuman todennäköisyyden laskemiseen:
– P(A tai B) (ei-toisensa poissulkeville tapahtumille): \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B)\)
– P(A tai B) (toisensa poissulkeville tapahtumille): \(P(A \cup B) = P(A) + P(B)\)
– P(A ja B) (riippumattomille tapahtumille): ∫(P(A ∫B) = P(A) × P(B))
Katso myös Soal ja Pembahasan
Esimerkkikysymys 1: Nopat
Kysymys:
Mikä on todennäköisyys saada nopalla parillinen luku tai luku, joka on suurempi kuin 4?
Keskustelu:
Määritellään ensin tapahtumat:
– Tapahtuma A: Parillisen luvun (2, 4, 6) saaminen
– Tapahtuma B: Luvun, joka on suurempi kuin 4 (5, 6), saaminen
Seuraavaksi määritämme kunkin tapahtuman todennäköisyyden:
– \(P(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\)
– \(P(B) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\)
Koska sekä tapahtumissa A että B on luku 6, meidän on laskettava \(P(A \cap B)\):
– \(P(A \cap B) = \frac{1}{6}\) (koska vain yksi luku, nimittäin 6, sisältyy sekä A:han että B:hen)
Käyttämällä kaavaa ei-toisensa poissulkeville tapahtumille:
\[P(A \kuppi B) = P(A) + P(B) – P(A \kuppi B) = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} – \frac{1}{6}\]
Tehdään näiden murtolukujen nimittäjistä samat:
\[P(A \kuppi B) = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} – \frac{1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}\]
Joten todennäköisyys saada parillinen luku tai luku, joka on suurempi kuin 4, on \(\frac{2}{3}\).
Esimerkkikysymys 2: Korttien pelaaminen
Kysymys:
Mikä on todennäköisyys saada ässä tai pata pelikorttipakasta?
Keskustelu:
Määritellään ensin tapahtumat:
– Tapahtuma A: Ässäkortin saaminen (yhteensä 4, yksi kutakin maata kohden)
– Tapahtuma B: Patakortin saaminen (yhteensä 13)
Seuraavaksi määritämme kunkin tapahtuman todennäköisyyden:
– \(P(A) = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}\)
– \(P(B) = \frac{13}{52} = \frac{1}{4}\)
Koska pataässä sisältyy sekä tapahtumiin A että B, meidän on laskettava \(P(A \cap B)\):
– \(P(A \cap B) = \frac{1}{52}\)
Käyttämällä kaavaa ei-toisensa poissulkeville tapahtumille:
\[P(A \kuppi B) = P(A) + P(B) – P(A \kuppi B) = \frac{1}{13} + \frac{1}{4} – \frac{1}{52}\]
Tehdään näiden murtolukujen nimittäjistä samat:
\[
P(A ≈ B) = ∫₀ + ∫₀ ∫₀ – ∫₀ ∫₀ = ∫₀ ∫₀ = ∫₀ ∫₀
\]
Joten todennäköisyys saada ässä tai pata on \(\frac{4}{13}\).
Esimerkkitehtävä 3: Pallo laatikossa
Kysymys:
Laatikossa on 3 punaista, 4 sinistä ja 5 vihreää palloa. Jos arpomalla valitaan yksi pallo, mikä on todennäköisyys saada punainen tai vihreä pallo?
Keskustelu:
Määritellään ensin tapahtumat:
– Tapahtuma A: Punaisen pallon saaminen (numero 3)
– Tapahtuma B: Vihreän pallon saaminen (numero 5)
Seuraavaksi määritämme kunkin tapahtuman todennäköisyyden:
– Pallojen kokonaismäärä = 3 + 4 + 5 = 12
– \(P(A) = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}\)
– \(P(B) = \frac{5}{12}\)
Koska mikään pallo ei voi olla sekä punainen että vihreä samaan aikaan, nämä tapahtumat ovat toisensa poissulkevia:
\[P(A \kuppi B) = P(A) + P(B) = \frac{1}{4} + \frac{5}{12}\]
Tehdään näiden murtolukujen nimittäjistä samat:
\[
P(A ≈ B) = ∫\frac{3}{12} + ∫\frac{5}{12} = ∫\frac{8}{12} = ∫\frac{2}{3}
\]
Joten punaisen tai vihreän pallon saamisen todennäköisyys on \(\frac{2}{3}\).
Esimerkkikysymys 4: Kaksi kolikkoa
Kysymys:
Jos kaksi kolikkoa heitetään samanaikaisesti, mikä on todennäköisyys, että ainakin toinen niistä näyttää kruunaa?
Keskustelu:
Määrittelemme tapahtuman A: ainakin yhden kuvan kokemisen.
Kahden kolikon heittämisessä on neljä mahdollista lopputulosta:
1. HH
2. HT
3. TH
4. TT
Tapahtumat, jotka sisältävät vähintään yhden kuvan, ovat:
– HT
– TH
– TT
Lasketaanpa kunkin todennäköisyys:
– Mahdollisten tapahtumien lukumäärä (yhteensä): 4
– Tapahtumien määrä, joissa on vähintään yksi kuva: 3
\[
P(A) = \frac{Tapahtumien lukumäärä, joissa on vähintään yksi pää}{Tapahtumien kokonaismäärä} = \frac{3}{4}
\]
Joten ainakin yhden kuvan ilmestymisen todennäköisyys on \(\frac{3}{4}\).
Johtopäätös
Yllä olevien ongelmien käsittely osoittaa, kuinka voimme laskea yhdistetyn tapahtuman todennäköisyyden, olipa se toisensa poissulkeva tai ei-toisensa poissulkeva. Ymmärtämällä peruskäsitteet ja käyttämällä oikeita kaavoja voimme määrittää tiettyjen tapahtumayhdistelmien todennäköisyyden erilaisissa arkipäivän tilanteissa. Jatka taitojasi harjoittelulla erilaisten tehtävien avulla, jotta tulet taitavammaksi yhdistettyjen tapahtumien todennäköisyyden määrittämisessä.
