Esimerkkikysymyksiä Comptonin ilmiöstä
Compton-ilmiö on kvanttifysiikan keskeinen ilmiö. Tämä löytö ei ainoastaan syvennä ymmärrystämme valon aalto-hiukkasdualismista, vaan tarjoaa myös vahvaa näyttöä säteilyn kvanttiteorialle. Tässä artikkelissa tarkastellaan Compton-ilmiötä ja sen perusperiaatteita sekä esitetään esimerkkiongelmia ja ratkaisuja tämän käsitteen soveltamiseksi.
Comptonin ilmiön ymmärtäminen
Compton-ilmiö, joka on nimetty löytäjänsä Arthur H. Comptonin mukaan, on ilmiö, jossa fotoni (valonhiukkanen) törmää elektroniin ja kokee aallonpituuden muutoksen. Törmäyksen jälkeen fotoni siirtää osan energiastaan elektronille, jolloin fotonin aallonpituus kasvaa (tai taajuus laskee).
Tätä aallonpituuden muutosta kutsutaan Comptonin siirtymäksi, ja se voidaan ilmaista yhtälöllä:
\[
\Delta \lambda = \lambda' – \lambda = \frac{h}{m_ec}(1 – \cos \theta)
\]
Jossa:
– \(\Delta \lambda\) on fotonin aallonpituuden muutos,
– \(\lambda\) on fotonin alkuperäinen aallonpituus,
– \(\lambda'\) on fotonin aallonpituus törmäyksen jälkeen,
– \(h\) on Planckin vakio (\(6.626 \x 10^{-34} \, \text{Js}\)),
– \(m_e\) on elektronin massa (\(9.109 \x 10^{-31} \, \text{kg}\)),
– \(c\) on valonnopeus (\(3 \x 10^8 \, \text{m/s}\)),
– \(\theta\) on fotonin sirontakulma.
Katso myös Soal ja Pembahasan
Kysymys 1
0,1 nm:n aallonpituinen fotoni osuu paikallaan olevaan elektroniin. Fotoni siroaa sitten 90° kulmassa alkuperäisestä suunnastaan. Laske fotonin aallonpituus törmäyksen jälkeen!
Keskustelu:
Se on tiedossa:
– Alkuperäinen aallonpituus, \(\lambda = 0.1 \, \text{nm} = 0.1 \times 10^{-9} \, \text{m}\)
– Sirontakulma, \(\theta = 90^\circ \)
Comptonin siirtoyhtälön käyttäminen:
\[
\Delta \lambda = \frac{h}{m_ec}(1 – \cos \theta)
\]
Korvaa Planckin vakion, elektronin massan ja valonnopeuden arvot:
\[
\Delta \lambda = \frac{6.626 × 10^{-34}}{9.109 × 10^{-31} × 3 \x 10^8}(1 – \cos 90^circ)
\]
Koska \(\cos 90^\circ = 0\),
\[
\Delta \lambda = \frac{6.626 × 10^{-34}}{9.109 × 10^{-31} \times 3 \times 10^8}
\]
\[
\Delta \lambda = \frac{6.626 × 10^{-34}}{2.7327 × 10^{-22}}
\]
\[
\Delta \lambda = 2.43 × 10^{-12} \, \m} = 0.00243 \, \nm}
\]
Joten törmäyksen jälkeinen aallonpituus on:
\[
\lambda' = \lambda + \Delta \lambda = 0.1 \, \text{nm} + 0.00243 \, \text{nm} = 0.10243 \, \text{nm}
\]
Kysymys 2
Fotoni, jonka aallonpituus on \lambda = 0.05 \, \text{nm} \), siroaa kulmassa \theta = 120^\circ \. Määritä fotonin aallonpituus sironnan jälkeen.
Keskustelu:
Se on tiedossa:
– Alkuperäinen aallonpituus, \(\lambda = 0.05 \, \text{nm} = 0.05 \times 10^{-9} \, \text{m}\)
– Sirontakulma, \(\theta = 120^\circ \)
Comptonin siirtoyhtälön käyttäminen:
\[
\Delta \lambda = \frac{h}{m_ec}(1 – \cos \theta)
\]
Korvaa Planckin vakion, elektronin massan ja valonnopeuden arvot:
\[
\Delta \lambda = \frac{6.626 × 10^{-34}}{9.109 × 10^{-31} × 3 \x 10^8}(1 – \cos 120^circ)
\]
Koska \(\cos 120^\circ = -0.5\),
\[
\Delta \lambda = \frac{6.626 × 10^{-34}}{9.109 × 10^{-31} × 3 × 10^8}(1 – (-0.5))
\]
\[
\Delta \lambda = \frac{6.626 × 10^{-34}}{9.109 × 10^{-31} × 3 × 10^8}(1 + 0.5)
\]
\[
\Delta \lambda = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{2.7327 \times 10^{-22}} \times 1.5
\]
\[
\Delta \lambda = 2.43 kertaa 10^{-12} \, \m} kertaa 1.5 = 3.645 kertaa 10^{-12} \, \m} = 0.003645 \, \nm}
\]
Joten törmäyksen jälkeinen aallonpituus on:
\[
\lambda' = \lambda + \Delta \lambda = 0.05 \, \text{nm} + 0.003645 \, \text{nm} = 0.053645 \, \text{nm}
\]
Kysymys 3
Jos fotonin aallonpituus sironnan jälkeen on 0.045 nm ja sirontakulma on \(60^\circ\), määritä fotonin aallonpituus ennen sirontaa.
Keskustelu:
Se on tiedossa:
– Aallonpituus törmäyksen jälkeen, \(\lambda' = 0.045 \, \text{nm} = 0.045 \times 10^{-9} \, \text{m}\)
– Sirontakulma, \(\theta = 60^\circ \)
Comptonin siirtoyhtälön käyttäminen:
\[
\Delta \lambda = \frac{h}{m_ec}(1 – \cos \theta)
\]
Korvaa Planckin vakion, elektronin massan ja valonnopeuden arvot:
\[
\Delta \lambda = \frac{6.626 × 10^{-34}}{9.109 × 10^{-31} × 3 \x 10^8}(1 – \cos 60^circ)
\]
Koska \(\cos 60^\circ = 0.5\),
\[
\Delta \lambda = \frac{6.626 × 10^{-34}}{9.109 × 10^{-31} × 3 × 10^8}(1 – 0.5)
\]
\[
\Delta \lambda = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{2.7327 \times 10^{-22}} \times 0.5
\]
\[
\Delta \lambda = 2.43 kertaa 10^{-12} \, \m} kertaa 0.5 = 1.215 kertaa 10^{-12} \, \m} = 0.001215 \, \nm}
\]
Törmäyksen jälkeinen aallonpituus tunnetaan:
\[
θετη = θετη + θετη
\]
Joten aallonpituus ennen sirontaa on:
\[
\lambda = \lambda' – \Delta \lambda = 0.045 \, \nm} – 0.001215 \, \nm} = 0.043785 \, \nm}
\]
Johtopäätös
Comptonin ilmiön ymmärtäminen auttaa meitä ymmärtämään paremmin fotonien ja elektronien välistä vuorovaikutusta kvanttifysiikan kontekstissa. Tämä sironnasta johtuva aallonpituuden muutos osoittaa valon aalto-hiukkasdualismin ja vahvistaa säteilyn kvanttiteoriaa. Yllä olevat esimerkit ovat Comptonin yhtälön suoria sovelluksia, jotka voivat auttaa meitä ymmärtämään peruskonseptia ja laskemaan aallonpituuden muutoksia erilaisissa olosuhteissa.
