Esimerkkikysymyksiä ja keskustelua binomijakaumasta
Binomijakauma on yksi yleisimmin käytetyistä diskreeteistä todennäköisyysjakaumista. Se on hyödyllinen mallinnettaessa onnistumisten määrää useissa identtisissä, riippumattomissa kokeissa, joista jokainen tuottaa joko onnistumisen tai epäonnistumisen. Tässä artikkelissa perehdymme binomijakaumaan tarkemmin antamalla useita esimerkkejä ja yksityiskohtaisen keskustelun.
Johdatus binomijakaumaan
Binomijakauman pääominaisuudet:
1. n : Yritysten tai toistojen lukumäärä.
2. p : Kunkin kokeen onnistumistodennäköisyys.
3. q = 1-p : Kunkin kokeen epäonnistumistodennäköisyys.
Binomijakauman todennäköisyysmassafunktio on:
\[ P(X = k) = {n \valitse k} p^k (1-p)^{nk} \]
Jossa:
– \({n \valitse k} = \frac{n!}{k!(nk)!} \)
– \(X \): Satunnaismuuttuja, joka edustaa onnistumisten lukumäärää.
– \(k \): Tavoiteltujen onnistumisten lukumäärä.
Katso myös Soal ja Pembahasan
Aloitetaan esimerkkiongelmilla ymmärtääksemme binomijakauman käsitteen tarkemmin.
Esimerkki 1: Valitseminen opiskelijaryhmästä
Oletetaan esimerkiksi, että meillä on 10 oppilaan ryhmä ja todennäköisyys sille, että jokainen oppilas valitaan osallistumaan kilpailuun, on 0,3. Haluamme tietää todennäköisyyden sille, että tasan 4 oppilasta valitaan.
Vaihe 1: Määritä binomijakauman parametrit.
– \(n = 10 \)
– \(p = 0.3 \)
Vaihe 2: Laske binomijakauman avulla todennäköisyys, että \(X = 4 \).
\[ P(X = 4) = {10 \valitse 4} (0.3)^4 (0.7)^6 \]
Lasketaan \( {10 \valitse 4} \):
\[ {10 \valitse 4} = \frac{10!}{4!(10-4)!} = \frac{10!}{4!6!} = 210 \]
Laske nyt \( (0.3)^4 \) ja \( (0.7)^6 \):
\[ (0.3)^4 = 0.0081 \]
\[ (0.7)^6 = 0.117649 \]
Niin,
\[ P(X = 4) = 210 \cdot 0.0081 \cdot 0.117649 \noin 0.20012 \]
Joten todennäköisyys sille, että tasan 4 opiskelijaa valitaan, on noin 0.20012 eli 20.012 %.
Esimerkki 2: Todennäköisyys pienempi tai yhtä suuri kuin 2
Nyt meiltä esimerkiksi kysytään todennäköisyyttä sille, että valitaan enintään kaksi opiskelijaa.
Vaihe 1: Meidän on laskettava \(P(X = 0) \), \(P(X = 1) \) ja \(P(X = 2) \).
– Kun P(X = 0) on funktio):
\[ P(X = 0) = {10 \valitse 0} (0.3)^0 (0.7)^{10} \]
\[ {10 \valitse 0} = 1 \]
\[ (0.7)^{10} = 0.0282475 \]
\[ P(X = 0) = 1 \cdot 1 \cdot 0.0282475 = 0.0282475 \]
– Kun P(X = 1) on funktio):
\[ P(X = 1) = {10 \valitse 1} (0.3)^1 (0.7)^9 \]
\[ {10 \valitse 1} = 10 \]
\[ (0.3) \cdot (0.7)^9 = 0.1210608 \]
\[ P(X = 1) = 10 \cdot 0.3 \cdot 0.1210608 = 0.3631824 \]
– Kun P(X = 2) on funktio):
\[ P(X = 2) = {10 \valitse 2} (0.3)^2 (0.7)^8 \]
\[ {10 \valitse 2} = 45 \]
\[ (0.3)^2 \cdot (0.7)^8 = 0.2334744 \]
\[ P(X = 2) = 45 \cdot 0.09 \cdot 0.2334744 = 0.2334744 \]
Vaihe 2: Laske todennäköisyydet yhteen.
\[P(X ≤ 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) \]
\[P(X ≤ 2) = 0.0282475 + 0.3631824 + 0.3826372 = 0.7740671 \]
Todennäköisyys sille, että valitaan enintään kaksi opiskelijaa, on siis noin 0.7740671 eli 77.41 %.
Esimerkki 3: Todennäköisyys vähintään 8
Jos koe tehdään 12 kertaa ja jokaisen kokeen onnistumistodennäköisyys on 0.5, mikä on todennäköisyys sille, että ainakin 8 kertaa onnistuu?
Vaihe 1: Aseta binomiparametrit: \(n = 12, p = 0.5 \).
Vaihe 2: Laske todennäköisyys funktiolle \(X \geq 8 \).
Tämä edellyttää useiden yksittäisten todennäköisyyksien laskemista ja niiden yhteenlaskemista:
\[ P(X \geq 8) = P(X = 8) + P(X = 9) + P(X = 10) + P(X = 11) + P(X = 12) \]
Laske yksi kerrallaan:
– Kun P(X = 8) on funktio):
\[ P(X = 8) = {12 \valitse 8} (0.5)^8 (0.5)^4 \]
\[ {12 \valitse 8} = 495 \]
\[ (0.5)^{12} = 0.0002441406 \]
\[ P(X = 8) = 495 \cdot 0.0002441406 = 0.1208496 \]
– Kun P(X = 9) on funktio):
\[ P(X = 9) = {12 \valitse 9} (0.5)^9 (0.5)^3 \]
\[ {12 \valitse 9} = 220 \]
\[ P(X = 9) = 220 \cdot 0.0002441406 = 0.05371094 \]
– Kun P(X = 10) on funktio):
\[ P(X = 10) = {12 \valitse 10} (0.5)^{10} (0.5)^2 \]
\[ {12 \valitse 10} = 66 \]
\[ P(X = 10) = 66 \cdot 0.0002441406 = 0.01611328 \]
– Kun P(X = 11) on funktio):
\[ P(X = 11) = {12 \valitse 11} (0.5)^{11} (0.5)^1 \]
\[ {12 \valitse 11} = 12 \]
\[ P(X = 11) = 12 \cdot 0.0002441406 = 0.002929688 \]
– Kun P(X = 12) on funktio):
\[ P(X = 12) = {12 \valitse 12} (0.5)^{12} \]
\[ {12 \valitse 12} = 1 \]
\[ P(X = 12) = 1 \cdot 0.0002441406 = 0.0002441406 \]
Vaihe 3: Laske kaikki todennäköisyydet yhteen.
\[P(X \geq 8) = 0.1208496 + 0.05371094 + 0.01611328 + 0.002929688 + 0.0002441406 \noin 0.1938477 \]
Joten todennäköisyys sille, että 12 yrityksessä tapahtuu vähintään 8 onnistumista, on noin 0.1938477 eli 19.38 %.
Johtopäätös
Binomijakauma on tilastotieteen peruskäsite, jolla on ratkaiseva merkitys monissa käytännön sovelluksissa. Ymmärtämällä, miten todennäköisyydet lasketaan binomijakauman eri tapauksissa, kuten yllä olevissa esimerkeissä on esitetty, voimme soveltaa tätä käsitettä tosielämän tilanteissa. Tämä harjoitus vahvistaa myös ymmärrystämme siitä, miten todennäköisyysrakenteet toimivat selkeässä ja järjestelmällisessä kontekstissa.
