Esimerkkikysymyksiä ja keskustelua ympyröistä ja soinnuista
Ympyrä on yksi matematiikassa usein tutkituista geometrisista perusmuodoista. Yksi tärkeä ympyröihin liittyvä käsite on jänne, joka on ympyrän kaksi pistettä yhdistävä viiva, joka ei kulje ympyrän keskipisteen kautta. Ympyröiden ja jänteiden ymmärtäminen on olennaista geometrian opiskelussa. Tässä artikkelissa käsitellään useita esimerkkiongelmia ja keskusteluja, jotka liittyvät ympyröihin ja jänteisiin, jotta voimme syventää ymmärrystämme näistä käsitteistä.
Perustiedot
Ympyrä
Ympyrä on kokoelma kaikkia tasossa olevia pisteitä, jotka ovat yhtä kaukana tietystä pisteestä, jota kutsutaan keskipisteeksi. Jos ympyrän keskipiste on piste O ja ympyrän säde on r, niin ympyrä voidaan esittää yhtälöllä (x – O_x)² + (y – O_y)² = r² karteesisessa muodossa.
Jousijänne
Ympyrän jänne on viiva, joka yhdistää kaksi pistettä ympyrällä. Jänteen pituus riippuu paitsi ympyrän säteestä myös sitä kohti olevan keskikulman koosta.
Katso myös Soal ja Pembahasan
Kysymys 1:
Kysymys: Annetaan ympyrä, jonka säde on 10 cm ja jänne AB, jonka pituus on 16 cm. Määritä lyhin etäisyys ympyrän keskipisteestä jänteeseen.
Keskustelu:
Ympyrän keskipisteen ja jänteen välisen etäisyyden löytämiseksi voimme käyttää suorakulmaisen kolmion kaavaa, joka muodostetaan säteen, jänteen keskipisteen ja jänteen puolikkaan pituuden välillä.
Oletetaan, että piste O on ympyrän keskipiste ja piste P on ympyrän jänteen AB keskellä oleva piste, joka on kohtisuorassa jänteen AB kanssa. Näin ollen OP on etäisyys ympyrän O keskipisteestä jänteeseen AB.
Kolmiossa OAP (suorakulmainen kolmio pisteessä P) voimme soveltaa Pythagoraan lausetta:
OP² + AP² = OA²
Tiedämme, että:
– OA (ympyrän säde) = 10 cm
– AB (jänteen pituus) = 16 cm, joten AP = 16/2 = 8 cm.
Korvaa tunnetut arvot yhtälöön:
OP² + 8² = 10²
OP² + 64 = 100
OP² = 100–64
OP² = 36
OP = √36
OP = 6
Joten lyhin etäisyys ympyrän keskipisteestä jänteen reunaan on 6 cm.
Kysymys 2:
Kysymys: Ympyrän keskipiste on O, jonka säde on 8 cm. Jänne AB muodostaa 120°:n keskikulman ∠AOB. Määritä jänteen AB pituus.
Keskustelu:
Keskikulman (θ) muodostavan jänteen pituuden laskemiseksi voimme käyttää kaavaa:
AB = 2 × r × sin(θ/2)
Di mana:
– r on ympyrän säde (tässä tehtävässä 8 cm)
– θ on ympyrän keskipisteessä olevan jänteen muodostama kulma (tässä tehtävässä 120°)
Korvaa tunnetut arvot:
AB = 2 × 8 cm × sin (120°/2)
AB = 16 cm × sin(60°)
AB = 16 cm × (√3 / 2)
AB = 8√3 cm
Joten jänteen AB pituus on 8√3 cm.
Kysymys 3:
Kysymys: Ympyrän säde on 13 cm ja jänne AB on 5 cm:n päässä ympyrän keskipisteestä. Määritä jänteen AB pituus.
Keskustelu:
Tässä tapauksessa voimme käyttää muodostettua suorakulmaista kolmiota jänteen pituuden laskemiseen. Oletetaan, että piste O on ympyrän keskipiste, piste P on jänteellä oleva piste, joka on lähimpänä keskustaa, ja AB on jänne.
Tiedämme:
– OA (ympyrän säde) = 13 cm
– OP (jänteen keskipisteen etäisyys) = 5 cm.
OAP-kolmiossa:
OP² + AP² = OA²
Löydämme AP:n (puolet soinnun pituudesta):
5² + AP² = 13²
25 + AP² = 169
AP² = 169–25
AP² = 144
AP = √144
AP = 12
Joten jänteen AB pituus on 2 × AP = 2 × 12 = 24 cm.
Kysymys 4:
Kysymys: Annetaan ympyrä, jonka säde on 10 cm. Jänteen AB pituus on 12 cm. Määritä keskikulman ∠AOB suuruus.
Keskustelu:
Tässä tapauksessa meidän on käytettävä trigonometrisen funktion käänteislukua keskikulman ∠AOB määrittämiseen. Keskikulman θ sisältävän jänteen pituuden kaavan perusteella voimme kirjoittaa kaavan uudelleen θ:n laskemiseksi:
AB = 2 × r × sin(θ/2)
Missä:
– r on ympyrän säde (10 cm)
– AB on jousijänteen pituus (12 cm)
Muodosta yhtälö sin(θ/2):n eristämiseksi:
12 = 2 × 10 × sin(θ/2)
12 = 20 × sin(θ/2)
sin(θ/2) = 12/20
sin(θ/2) = 0.6
Etsi θ/2:n arvo:
θ/2 = sin^(-1)(0.6)
θ/2 = 36.87°
Niin,:
θ = 2 × 36.87° = 73.74°
Joten keskikulma ∠AOB on 73.74°.
Johtopäätös
Ympyröiden ja sointujen tutkiminen vaatii geometrian ja trigonometrian perusasioiden ymmärtämistä. Yllä olevissa esimerkeissä olemme nähneet, miten erilaisia kaavoja ja lauseita, kuten Pythagoraan lausetta, trigonometrisiä funktioita ja ympyröiden perusominaisuuksia, käytetään ongelmien ratkaisemiseen.
Näiden harjoitustehtävien avulla toivotaan, että säteen, jännevälin ja siitä johtuvan keskikulman välistä suhdetta voidaan ymmärtää syvällisemmin. Tämän käsitteen ymmärtäminen on hyödyllistä paitsi koulumatematiikassa myös jokapäiväisissä sovelluksissa eri tieteen ja tekniikan aloilla.
