۱. تعریف اصل سیاه
اگر آب گرم و سرد را در یک ظرف روباز (مثلاً یک سطل) مخلوط کنیم، گرما از آب گرم به آب سرد منتقل می‌شود. از آنجا که ظرف روباز است، مقداری گرما به هوا منتقل می‌شود. ظرف نیز گرم‌تر می‌شود. گرمای آزاد شده توسط آب گرم نه تنها توسط آب سرد جذب می‌شود، بلکه توسط جو و ظروف نیز جذب می‌شود. در این حالت، سطل یک سیستم غیر ایزوله است. وقتی آب گرم و سرد را در یک فلاسک بسته مخلوط می‌کنیم، گرما از آب گرم به آب سرد منتقل می‌شود. فلاسک‌ها سیستم‌های ایزوله هستند، بنابراین هیچ گرمایی به هوا یا فلاسک منتقل نمی‌شود. آب سرد فقط گرمای آزاد شده توسط آب گرم را جذب می‌کند تا زمانی که مخلوط آب گرم و آب سرد به تعادل حرارتی برسد.
اصل سیاه بیان می‌کند که در یک سیستم بسته ایزوله، گرمای آزاد شده توسط یک جسم با دمای بالا = گرمای جذب شده توسط یک جسم با دمای پایین.
2. فرمول اصل سیاه
آزادسازی کیو = جذب کیو
Q آزادسازی = گرمای آزاد شده توسط اجسام با دمای بالا، Q جذب = گرمای جذب شده توسط اجسام با دمای پایین.
۳. نمونه‌هایی از سوالات و بحث‌ها
مثال مسئله ۱.
یک آهن داغ با جرم ۱ کیلوگرم و دمای ۱۰۰ درجه سانتیگراد را در ظرفی حاوی ۲ کیلوگرم آب و دمای ۲۰ درجه سانتیگراد قرار می‌دهیم. دمای مخلوط نهایی چقدر است؟ گرمای ویژه آهن = ۴۵۰ ژول بر کیلوگرم کربن دی اکسید ، گرمای ویژه آب = ۴۲۰۰ ژول بر کیلوگرم کربن دی اکسید.
شناخته شده:
جرم آهن (متر) = 1 کیلوگرم
دمای آهن (T) = ۱۰۰ درجه سانتیگراد
جرم آب (متر) = ۲ کیلوگرم
دمای آب (T) = 20 درجه سانتیگراد
گرمای ویژه آهن (c) = 450 ژول بر کیلوگرم کربن دی اکسید
گرمای ویژه آب (c) = 4200 ژول بر کیلوگرم کربن دی اکسید
مورد نظر: تی؟
راه حل :
آهن دمای بالاتری نسبت به آب دارد، به طوری که آهن گرما آزاد می‌کند و آب گرما را جذب می‌کند.
آزادسازی کیو = جذب کیو
mc∆T = mc∆T
(1)(450)(100-T) = (2)(4200)(T-20)
(450)(100-T) = (8400)(T-20)
۴۵۰۰۰ – ۴۵۰T = ۸۴۰۰ T – ۱۶۸۰۰۰
۴۵۰۰۰ + ۱۶۸۰۰۰ = ۸۴۰۰ ت + ۴۵۰ ت
۲۱۳۰۰۰ = ۸۸۵۰ ت
تی = ۲۱۳۰۰۰ : ۸۸۵۰
دمای اتاق = ۳۱.۷ درجه سانتیگراد
دمای نهایی مخلوط آهن داغ و آب سرد، زمانی که هر دو در تعادل گرمایی هستند، ۲۴ درجه سانتیگراد است.
مثال مسئله ۲.
0.2 کیلوگرم یخ مخلوط با چای گرم به جرم 0.2 کیلوگرم. دمای یخ = -10 درجه سانتیگراد، دمای چای گرم = 40 درجه سانتیگراد. گرمای ویژه یخ = 2100 ژول بر کیلوگرم کربن دی اکسید ، گرمای ویژه آب = 4200 ژول بر کیلوگرم کربن دی اکسید ، گرمای ذوب آب = 334000 ژول بر کیلوگرم. یخ و چای در یک سیستم بسته و ایزوله با هم مخلوط شده‌اند.
شناخته شده:
جرم یخ (متر) = 0.2 کیلوگرم
جرم چای (متر) = 0.2 کیلوگرم
گرمای ویژه آب (c) = ۴۱۸۰ ژول بر کیلوگرم کربن دی‌اکسید
گرمای ویژه یخ (c) = 2100 ژول بر کیلوگرم کربن دی اکسید
گرمای همجوشی آب (L₂F ) = 334 x 10₁3 J /kg
دمای یخ (T ice ) = -10 درجه سانتیگراد
دمای چای ( چای T ) = ۴۰ درجه سانتیگراد
مورد نیاز: مخلوط T
راه حل :
مرحله اول، تخمین وضعیت نهایی
گرمایی که باید توسط آب آزاد شود تا دمای ۰.۲ کیلوگرم چای گرم از ۴۰ درجه سانتیگراد به ۰ درجه سانتیگراد کاهش یابد
Q رهاسازی = mc∆T
Q release = (0.2 کیلوگرم) (4180 ژول بر کیلوگرم CO2 ) (40 درجه سانتیگراد – 0 درجه سانتیگراد)
Q release = (0.2 کیلوگرم) (4180 ژول بر کیلوگرم CO2 ) (40 درجه سانتیگراد)
انتشار Q = 33,440 ژول
Q release = 33.44 کیلوژول
گرما توسط 0.2 کیلوگرم یخ جذب می‌شود تا دما از -10 درجه سانتیگراد به 0 درجه سانتیگراد افزایش یابد.
Q جذب شده = mc∆T
Q جذب شده = (0.2 کیلوگرم) (2100 ژول بر کیلوگرم کربن دی اکسید ) (0 درجه سانتیگراد - (-10 درجه سانتیگراد))
Q جذب شده = (0.2 کیلوگرم) (2100 ژول بر کیلوگرم کربن دی اکسید ) (10 درجه سانتیگراد)
Q جذب شده = ۴۲۰۰ ژول
Q جذب شده = ۴.۲ کیلوژول
گرمای جذب شده برای ذوب کردن ۰.۲ کیلوگرم یخ (گرمای لازم برای ذوب کردن تمام یخ و تبدیل آن به آب)
همجوشی Q = m L F
همجوشی Q = (0.2 کیلوگرم) (334 x 10 3 J/kg)
همجوشی Q = 66.8 x 103 ژول
همجوشی Q = 66.8 کیلوژول
بر اساس محاسبات فوق، نتایج:
Q release = 33.44 کیلوژول
Q جذب = 4.2 کیلوژول
همجوشی Q = 66.8 کیلوژول
وقتی چای به اندازه ۳۳.۴۴ کیلوژول گرما آزاد می‌کند، دمای چای از ۴۰ درجه سانتیگراد به ۰ درجه سانتیگراد تغییر می‌کند. مقداری از گرمای آزاد شده (حدود ۴.۲ کیلوژول) برای افزایش دمای یخ از ۱۰- درجه سانتیگراد به ۰ درجه سانتیگراد استفاده می‌شود. ۳۳.۴۴ کیلوژول - ۴.۲ کیلوژول = ۲۹.۲۴ کیلوژول. گرمای باقی مانده = ۲۹.۲۴ کیلوژول. برای ذوب کردن تمام یخ و تبدیل آن به آب، به ۶۶.۸ کیلوژول گرما نیاز است. گرمای باقی مانده فقط ۲۹.۲۴ کیلوژول است.
در نتیجه، گرمای آزاد شده توسط چای گرم فقط برای افزایش دمای یخ از -10 درجه سانتیگراد به 0 درجه سانتیگراد و ذوب مقداری یخ استفاده می‌شود. مقداری از یخ ذوب شده و به آب تبدیل شده است؛ برخی دیگر نه. در طول فرآیند تبدیل جامد به مایع، دما تغییر نمی‌کند. بنابراین، دمای مخلوط نهایی = 0 درجه سانتیگراد است.
مثال مسئله ۳.
جرم چای داغ (متر) = 0.4 کیلوگرم،
جرم یخ (متر) = 0.2 کیلوگرم،
دمای یخ = -10 درجه سانتیگراد
دمای چای داغ = ۹۰ درجه سانتیگراد
اگر هر دو با هم مخلوط شوند، دمای مخلوط نهایی چقدر است؟
گرمای ویژه آب (c) = ۴۱۸۰ ژول بر کیلوگرم کربن دی‌اکسید
گرمای ویژه یخ (c) = 2100 J/ kg CO
گرمای همجوشی آب (L₂F ) = 334 x 103₂J/kg
راه حل :
مرحله اول: تخمین وضعیت نهایی
گرمایی که باید توسط آب آزاد شود تا دمای ۰.۴ کیلوگرم چای داغ از ۹۰ درجه سانتیگراد به ۰ درجه سانتیگراد کاهش یابد
Q رهاسازی = mc∆T
Q release = (0.4 کیلوگرم) (4180 ژول بر کیلوگرم CO2 ) (90 درجه سانتیگراد – 0 درجه سانتیگراد)
Q release = (0.4 کیلوگرم) (4180 ژول بر کیلوگرم CO2 ) (90 درجه سانتیگراد)
انتشار Q = 150,480 ژول
Q release = 150.48 کیلوژول
گرمای جذب شده توسط 0.2 کیلوگرم یخ برای افزایش دمای آن از -10 درجه سانتیگراد به 0 درجه سانتیگراد
Q جذب شده = mc∆T
Q جذب شده = (0.2 کیلوگرم) (2100 ژول بر کیلوگرم کربن دی اکسید ) (0 درجه سانتیگراد - (-10 درجه سانتیگراد))
Q جذب شده = (0.2 کیلوگرم) (2100 ژول بر کیلوگرم کربن دی اکسید ) (10 درجه سانتیگراد)
Q جذب شده = ۴۲۰۰ ژول
Q جذب شده = ۴.۲ کیلوژول
گرمای لازم برای ذوب کردن ۰.۲ کیلوگرم یخ (گرمای لازم برای تبدیل تمام یخ به آب)
همجوشی Q = m L F
همجوشی Q = (0.2 کیلوگرم) (334 x 10 3 J/Kg)
همجوشی Q = 66.8 x 103 ژول
همجوشی Q = 66.8 کیلوژول
بر اساس محاسبات فوق، نتایج:
Q release = 150.48 کیلوژول
Q جذب شده = ۴.۲ کیلوژول
همجوشی Q = 66.8 کیلوژول
وقتی چای داغ ۱۵۰.۴۸ کیلوژول گرما آزاد کرد، دمای چای داغ از ۹۰ درجه سانتیگراد به ۰ درجه سانتیگراد تغییر کرد. مقداری از گرمای آزاد شده (حدود ۴.۲ کیلوژول) برای افزایش دمای یخ از ۱۰- درجه سانتیگراد به ۰ درجه سانتیگراد استفاده شد.
۱۵۰.۴۸ کیلوژول – ۴.۲ کیلوژول = ۱۴۶.۲۸ کیلوژول. گرمای باقی مانده = ۱۴۶.۲۸ کیلوژول.
گرمای مورد نیاز برای ذوب کردن تمام یخ و تبدیل آن به آب تنها ۶۶.۸ کیلوژول است. ۱۴۶.۲۸ کیلوژول – ۶۶.۸ کیلوژول = ۷۹.۴۸ کیلوژول. معلوم شد که مقدار اضافی ۷۹.۴۸ کیلوژول بوده است. چای داغ تا زمانی که دما به ۰ درجه سانتیگراد کاهش نیابد، تمام گرما را آزاد نمی‌کند. نتیجه‌گیری: دمای مخلوط نهایی باید بیشتر از ۰ درجه سانتیگراد باشد.
مرحله دوم: تعیین دمای نهایی (T)
گرمای لازم برای افزایش دمای یخ از -10 درجه سانتیگراد به 0 درجه سانتیگراد = 4200 ژول
گرما باید تمام یخ را ذوب کرده و به آب تبدیل کند، که به آن گرمای نهان = ۶۶۸۰۰ ژول می‌گویند.
گرما باید دمای آب (آب حاصل از همجوشی تمام یخ‌ها) را از 0 درجه سانتیگراد به T = (جرم یخ) (گرمای آب) (T - 0 درجه سانتیگراد) = (0.2 کیلوگرم) (4180 ژول بر کیلوگرم CO ) (T) = (836 ژول بر کیلوگرم CO) افزایش دهد.
گرمای آزاد شده توسط چای گرم برای کاهش دما از ۹۰ درجه سانتیگراد به T = (جرم آب داغ) (نوع گرمای آب) (۹۰ درجه سانتیگراد – T) = (۰.۴ کیلوگرم) (۴۱۸۰ ژول بر کیلوگرم کربن دی اکسید ) (۹۰ درجه سانتیگراد – T) = ۱۶۷۲ ژول بر کربن دی اکسید (۹۰ درجه سانتیگراد – T) = ۱۵۰,۴۸۰ ژول – (۱۶۷۲ ژول بر کربن دی اکسید )
۴۲۰۰ ژول + ۶۶۸۰۰ ژول + (۸۳۶ تن) ژول بر حسب گرم = ۱۵۰۴۸۰ ژول – (۱۶۷۲ تن) ژول بر حسب گرم
۷۱۰۰۰ ژول + (۸۳۶ تن) ژول بر حسب کتون = ۱۵۰۴۸۰ ژول – (۱۶۷۲ تن) ژول بر حسب کتون
(836 T) J/C₂o + (1672 T) J/C₂o = 150,480 J – 71,000 J
(2508 T) J/C o = 79,480 J
دمای اتاق = ۳۱.۷ درجه سانتیگراد
دمای نهایی = ۳۱.۷ درجه سانتیگراد
