اصل ارشمیدس

مقاله در مورد اصل ارشمیدس

یک کشتی با جرم بسیار زیاد غرق نمی‌شود، در حالی که سنگی با اندازه کوچک می‌تواند غرق شود. چرا اینطور است؟ اگر مفهوم شناوری و اصل ارشمیدس را درک کنید، پاسخ ساده است.

در زندگی روزمره، متوجه می‌شویم که اجسامی که در یک سیال، مانند یک سنگ، قرار می‌گیرند، وزن کمتری نسبت به زمانی دارند که در مایع نیستند. ممکن است بلند کردن یک سنگ از زمین برای شما دشوار باشد، اما همان سنگ به راحتی از کف آب دریا بلند می‌شود. این به دلیل نیروی شناوری است. شناوری به دلیل اختلاف فشار سیال در اعماق مختلف رخ می‌دهد. فشار سیال با عمق افزایش می‌یابد، هرچه سیال غلیظ‌تر باشد، فشار سیال بیشتر است. وقتی جسمی در سیال قرار می‌گیرد، اختلاف فشار بین سیال در بالای جسم و سیال در پایین جسم وجود خواهد داشت. سیال واقع در پایین جسم فشار بیشتری نسبت به سیال در بالای جسم دارد.

در شکل، می‌توانید جسمی را ببینید که در آب شناور است. سیال در پایین جسم فشار بیشتری نسبت به سیال واقع در بالای جسم دارد. دلیل این امر این است که سیال زیر جسم عمق قابل توجهی بیشتر از سیال بالای جسم دارد (p₂ > ساعت₁).

مقدار فشار سیال در عمق h2 _برابر است با:

مقدار فشار سیال در عمق h1 _برابر است با:

F2 ₌ نیرویی که توسط سیال در پایین جسم اعمال می‌شود، F1 ₌ نیرویی که توسط سیال در بالای جسم اعمال می‌شود، A = مساحت سطح جسم

تفاوت بین F2 _و F1 _نیروی کل اعمال شده توسط سیال بر جسم است که ما آن را به عنوان نیروی شناوری می‌شناسیم. مقدار شناوری برابر است با:

_شناوری F = _F2 − _F1

F _شناوری = (ρ gh ₂ A) - (ρ gh ₁ A)

_شناوری F = ρg A (h ₂ - h ₁ )

_شناوری F = ρ F g A h

_شناوری F = ρ F g V

ρ _F = چگالی سیال، g = شتاب گرانشی، V = حجم اجسام در سیال

بنابراین، می‌توانیم معادله‌ای را بنویسیم که میزان شناوری (شناوری F) را در بالا بیان می‌کند:

F _شناوری = ρ _F g V → m = ρ V

_شناوری F = m _F g

_شناوری F = w _F

m _F g = w _F = وزن سیالی که حجمی برابر با حجم جسم غوطه‌ور شده دارد.

بر اساس معادله فوق، می‌توان گفت که نیروی شناوری برابر با وزن سیال جابجا شده است، حجم سیال جابجا شده مشابه حجم جسم غوطه‌ور در سیال است.

اگر جسم به صورت شناور وارد سیال شود، به طوری که آن بخش از جسم که وارد شده است، تنها یک بخش باشد،

آنگاه حجم سیال جابجا شده = حجم قسمتی از جسم که در سیال فرو رفته است. صرف نظر از اینکه جسم چیست و چه شکلی دارد، همه چیز یکسانی را تجربه خواهند کرد. این نتیجه کار ارشمیدس (۲۸۷-۲۱۲ قبل از میلاد) است که به عنوان اصل ارشمیدس شناخته می‌شود.

اصل ارشمیدس بیان می‌کند که:

وقتی جسمی به طور کامل یا جزئی در مایعی فرو می‌رود، مایع نیرویی رو به بالا (نیروی شناوری) به جسم وارد می‌کند که مقدار نیروی رو به بالا (نیروی شناوری) برابر با وزن سیال جابجا شده است.

داستان ارشمیدس

ارشمیدس که بین سال‌های ۲۸۷ تا ۲۱۲ پیش از میلاد می‌زیست، از سوی شاه هیرون دوم مأمور شد تا بررسی کند که آیا تاج ساخته شده برای پادشاه از طلای خالص است یا خیر. ارشمیدس در ابتدا برای فهمیدن اینکه آیا تاج از طلای خالص ساخته شده یا تاج شامل فلزات دیگری است، گیج شده بود. مشکل این است که شکل تاج نامنظم است و نمی‌توان ابتدا آن را تخریب کرد تا مشخص شود که آیا تاج از طلای خالص ساخته شده است یا خیر.

ایده تعیین اینکه آیا تاج از طلای خالص ساخته شده است یا خیر، این است که ابتدا وزن تاج را تعیین کرده و سپس آن را با وزن مخصوص طلا مقایسه کنید. اگر تاج از طلای خالص ساخته شده باشد، وزن مخصوص تاج = وزن مخصوص طلا.

وزن مخصوص یک جسم، نسبت بین وزن جسم در هوا و وزن آبی است که حجمی برابر با حجم اجسام دارد. به صورت ریاضی نوشته می‌شود:

چگونه وزن آبی را که حجمی برابر با حجم اجسام دارد، تعیین کنیم؟

طبق گفته ارشمیدس، وزن آبی که حجمی برابر با حجم یک جسم دارد = مقدار نیروی شناوری هنگام فرو رفتن جسم (تمام قسمت جسم در آب فرو می‌رود). این همان وزنی است که اجسام هنگام وزن شدن در آب از دست می‌دهند. بنابراین:

برای تعیین وزن مخصوص تاج، ابتدا تاج را در هوا وزن می‌کنند (وزن تاج در هوا). سپس تاج را داخل آب قرار می‌دهند و دوباره وزن می‌کنند تا وزن از دست رفته تاج به دست آید. بنابراین:

پس از اینکه وزن مخصوص تاج به دست آمد، آن را با وزن مخصوص طلا مقایسه می‌کنند. وزن مخصوص طلا = ۱۹.۳. اگر وزن مخصوص تاج = وزن مخصوص طلا باشد، تاج از طلای خالص ساخته شده است. اما اگر تاج از طلای خالص ساخته نشده باشد، وزن مخصوص تاج با وزن مخصوص طلا یکسان نیست.

چرا کشتی غرق نمی‌شود؟

اگر چگالی یک جسم کمتر از چگالی آب باشد، آن جسم شناور می‌شود. برعکس، اگر چگالی یک جسم بیشتر از چگالی آب باشد، آن جسم غرق می‌شود. بیشتر کشتی‌ها از آهن و فولاد ساخته شده‌اند. چگالی آهن و فولاد = 7.8 x 103 ^{کیلوگرم} بر متر ^مکعب در حالی که چگالی آب = 1.00 x 103 ^{کیلوگرم} بر متر ^{مکعب است} . به نظر می‌رسد که چگالی آهن و فولاد بیشتر از چگالی آب است. در این حالت، وزن مخصوص آهن و فولاد = 7.8 است. کشتی باید غرق شود. چرا کشتی غرق نمی‌شود؟ چگالی کل کشتی کمتر از چگالی آب یا آب دریا است.

مثال مسئله ۱:

سنگی به جرم ۴۰ کیلوگرم در کف برکه‌ای قرار دارد. اگر حجم سنگ ۰.۲ متر مکعب باشد، حداقل نیروی لازم برای بلند کردن سنگ چقدر است؟

شناخته شده:

جرم سنگ (متر) = ۴۰ کیلوگرم

حجم سنگ (V) = 0.02 متر ^مکعب

چگالی آب = ۱۰۰۰ کیلوگرم بر متر ^مکعب

شتاب گرانش (g) = 10 متر بر ^ثانیه

مورد نیاز: حداقل F

راه حل:

_شناوری F = w _F

_شناوری F = m _F g → m = pV

_شناوری F = ρ _F g V

_شناوری F = (1000 کیلوگرم بر متر ^مکعب )(10 متر بر ثانیه ⁾ (0.02 متر ^مکعب )

_شناوری F = 200 کیلوگرم متر بر ^ثانیه

_{نیروی شناوری} F = 200 نیوتن

وزن سنگ (w) = میلی‌گرم

وزن سنگ = (40 کیلوگرم)(10 متر بر ^ثانیه )

وزن سنگ = ۴۰۰ کیلوگرم متر بر ^ثانیه

وزن سنگ = ۴۰۰ نیوتن

حداقل نیروی لازم برای بلند کردن سنگ :

وزن سنگ – نیروی شناوری = ۴۰۰ نیوتن – ۲۰۰ نیوتن = ۲۰۰ نیوتن

مثال مسئله ۱:

وزن جسم در آب = ۵۰۰۰ کیلوگرم بر متر مربع ^و وزن جسم در آب = ۴۰۰۰ کیلوگرم بر متر ^مربع . اگر چگالی جسم = ۲۰۰۰ کیلوگرم بر متر ^مکعب باشد، جرم و حجم جسم چقدر است؟ g = ۱۰ متر ^مربع

راه حل

شتاب گرانش (g) = 10 متر بر ^ثانیه

چگالی جسم = ۲۰۰۰ کیلوگرم بر متر ^مکعب

چگالی آب = ۱۰۰۰ کیلوگرم بر متر ^مکعب

وزن جسم در هوا = 5000 کیلوگرم متر بر ^ثانیه

وزن جسم در آب = ۴۰۰۰ کیلوگرم متر بر ^ثانیه

نیروی شناوری (F نیروی شناوری) = وزن جسم در هوا - وزن جسم در آب

نیروی شناوری F = 5000 کیلوگرم بر متر مربع ^– 4000 کیلوگرم بر متر ^مربع

شناوری F = 1000 کیلوگرم متر بر ^ثانیه

F نیروی شناوری = وزن آب جابجا شده

نیروی شناوری F = (جرم آب)(g)

شناوری F = (حجم آب جابجا شده) (چگالی آب) (گرم)

حجم آب جابجا شده = حجم جسم در آب

حجم جسم = 0.1 متر ^مکعب

جرم جسم = ?

ρ = m / V

متر = ρ ولت

m = (2000 کیلوگرم بر متر ^مکعب ) (0.1 متر ^مکعب )

متر = ۲۰۰ کیلوگرم

جرم جسم = ۲۰۰ کیلوگرم

مثال مسئله ۱:

اگر یک بادکنک بخواهد 500 کیلوگرم بار را بلند کند، چه حجمی از هلیوم مورد نیاز است؟

راه حل:

چگالی هلیوم = 0.1786 کیلوگرم بر متر ^مکعب

چگالی هوا = ۱.۲۹۳ کیلوگرم بر متر ^مکعب

نیروی شناوری = وزن هوای جابجا شده = وزن جسم + وزن هلیوم

نیروی شناوری = وزن جسم + وزن هلیوم

نیروی شناوری = (جرم بار) (گرم) + (جرم هلیوم) (گرم)

نیروی شناوری = (جرم بار + جرم هلیوم)g —- معادله 1

نیروی شناوری = وزن هوای جابجا شده

نیروی شناوری = (جرم هوای جابجا شده)(g) —- معادله 2

معادله ۱ و معادله ۲ را با هم ترکیب می‌کنیم:

(جرم بار + جرم هلیوم)(g) = (جرم هوای جابجا شده)(g)

جرم بار + جرم هلیوم = جرم هوای جابجا شده

۵۰۰ کیلوگرم + (ρ هلیوم)(V هلیوم) = (ρ آب)(V آب)

۵۰۰ کیلوگرم = (ρ آب) (حجم آب) – (ρ هلیوم) (حجم هلیوم)

حجم هوای جابجا شده (V هوا) = حجم هلیوم موجود در بادکنک (V هلیوم)

500 کیلوگرم = (ρ آب – ρ هلیوم) (V)

این حداقل حجم هلیوم مورد نیاز برای بلند کردن وزنه‌ها روی سطح زمین است. برای اینکه بالن بالاتر شناور شود، باید حجم هلیوم اضافه شود. حجم هلیوم باید افزایش یابد زیرا چگالی هوا با ارتفاع کاهش می‌یابد.