مقاله در مورد جمع بردارها
۱. کمیتهای برداری و اسکالر
علاوه بر کمیتهای بنیادی و مشتقشده، کمیتهای فیزیکی را میتوان به دو نوع دیگر، یعنی کمیتهای اسکالر و کمیتهای برداری، تقسیم کرد. کمیتهایی مانند جرم، مسافت، زمان و حجم، کمیتهای اسکالر هستند، کمیتهایی که فقط بزرگی دارند اما جهت ندارند. در حالی که کمیتهایی مانند جابجایی، سرعت، شتاب و نیرو، کمیتهای برداری هستند، کمیتهایی که هم بزرگی دارند و هم جهت.
الف) تفاوت بین کمیت اسکالر و کمیت برداری
اگر بگویید جرم یک توپ ۴۰۰ گرم است، این جمله برای دانستن جرم توپ کافی است. برای فهمیدن جرم توپ نیازی به جهت ندارید. به همین ترتیب در مورد زمان، دما، حجم، چگالی و غیره نیز همینطور است. چندین کمیت فیزیکی وجود دارند که نمیتوان آنها را فقط با بزرگی بیان کرد. اگر بگویید کودکی ۱۰۰ متر حرکت میکند، این جمله کافی نیست. ممکن است بپرسید، او به کجا حرکت کرده است؟ آیا به سمت شمال، جنوب، شرق یا غرب است؟ به همین ترتیب، اگر بگویید که میز را با نیروی ۲۰۰ نیوتن هل میدهید.
کجا رانندگی میکنید؟ خب، به چنین کمیتهایی، کمیتهای برداری میگویند که نیاز به توضیح بزرگی و جهت دارند. نمونههایی از کمیتهای برداری عبارتند از جابجایی، شتاب، ضربه، تکانه و غیره. میتوانید هنگام مطالعه موضوعات مرتبط با آن کمیتها، آن را واضحتر درک کنید.
ب. یک بردار رسم کنید
بردار با یک فلش نشان داده میشود. فلش همیشه طوری رسم میشود که در جهت بردار باشد. طول فلش به عنوان بزرگی بردار توصیف میشود. به عنوان مثال، در شکل یک بردار نیرو (F) با بزرگی 2 N که جهت آن به سمت شمال شرقی یا 45 درجه حول محور x است.
ج. قوانینی برای نوشتن کمیتهای برداری
در نوشتن یک بردار، اگر از دستخط استفاده میکنید، نماد یک بردار معمولاً با حروف بزرگ و به صورت ایتالیک نوشته میشود و بالای آن باید یک فلش اضافه شود. برای کتابهای چاپی، نمادهای برداری با حروف بزرگ و پررنگ نوشته میشوند، مثلاً F. برای بزرگی بردار، اگر از دستخط استفاده کنیم، بزرگی یک بردار نوشته میشود، مثلاً |F|. برای کتابهای چاپی ، بزرگی یک بردار به صورت ایتالیک نوشته میشود، مثلاً F.
۲. جمع بردارها - روشهای گرافیکی
روشهای مختلفی برای جمع کردن بردارها به صورت گرافیکی وجود دارد، از جمله روش دم به نوک و روش متوازیالاضلاع.
الف. روش جمع بردارها از دم به نوک
بردارهای A و B مشخص هستند. بردار A = 3 سانتیمتر بر محور x (به سمت شرق) منطبق است. بردار B = 2 سانتیمتر زاویه 30 درجه با محور x (به سمت شمال شرقی) تشکیل میدهد. با استفاده از روش دم به نوک، A و B را به صورت گرافیکی جمع کنید. الف) R = A + B ب) R = A – B
بزرگی بردار حاصل (R) با استفاده از خطکش و جهت بردار حاصل با استفاده از نقاله اندازهگیری میشود.
بردارهای شناخته شده A، B و C. بردار A = 3 سانتیمتر بر محور x (به سمت شرق) منطبق است. بردار B = 2 سانتیمتر زاویه 30 درجه با محور x (به سمت شمال شرقی) تشکیل میدهد. بردار C = 1 سانتیمتر زاویه 60 درجه با محور x (به سمت شمال شرقی) تشکیل میدهد. A، B و C را به صورت گرافیکی با استفاده از روش دم به نوک جمع کنید.
الف) R = A + B + C
ب) R = A – B – C
بردار حاصل (R) با استفاده از خطکش اندازهگیری میشود. جهت بردار حاصل با استفاده از نقاله اندازهگیری میشود.
ب. روش متوازیالاضلاع
بردارهای شناخته شده A، B و C. بردار A = 3 سانتیمتر بر محور x (به سمت شرق) منطبق است. بردار B = 2 سانتیمتر زاویه 30 درجه با محور x (به سمت شمال شرقی) تشکیل میدهد. بردار C = 1 سانتیمتر زاویه 60 درجه با محور x (به سمت شمال شرقی) تشکیل میدهد. A، B و C را به صورت گرافیکی با استفاده از متوازیالاضلاع جمع کنید.
الف) R = A + B
ب) R = A – B
ج) R = A + B + C
د) R = A – B – C
بردار حاصل (R) با استفاده از خطکش اندازهگیری میشود. جهت بردار حاصل با استفاده از نقاله اندازهگیری میشود.
۳. جمع بردارها - الفتحلیلی روش
تعیین اندازه و جهت بردار حاصل با روش گرافیکی یکی از این روشها است. دقت نتایج به دقت و صحت شما در رسم و خواندن مقیاس بستگی دارد. اندازه و جهت بردار حاصل با دقت بیشتری از طریق محاسبات ریاضی به دست میآید.
الف. محاسبه مجموع دو بردار با استفاده از قانون کسینوسها
فرمول تعیین اندازه بردار حاصل:
فرمول تعیین جهت بردار حاصل:
C = بردار حاصل
A = بردار ۱
B = بردار ۲
cos ∠(A, B) = زاویه تشکیل شده توسط بردارهای A و B
نمونه سوال ۱:
F1 = 2 N زاویه 30 درجه نسبت به محور x تشکیل میدهد، F2 = 3 N زاویه 60 درجه نسبت به محور x تشکیل میدهد، θ = 30 درجه.
نمونه سوال ۱:
F1 = 2 N بر محور x منطبق است، F2 = 3 N زاویه 90 درجه نسبت به محور x تشکیل میدهد، θ = 90 درجه.
ب. جمع بردارها با استفاده از مؤلفهها
بردار F را که زاویه مشخصی را حول محور x تشکیل میدهد، همانطور که در شکل زیر نشان داده شده است، بررسی کنید. Fx و Fy بردارهای مؤلفه بردار F هستند.
بزرگی بردار مؤلفه با استفاده از فرمول تعیین میشود:
F x = F cos θ
Fy = F sin θ
دو بردار F را مرور کنید1 و F2 که مطابق شکل زیر، زاویه مشخصی را حول محور x تشکیل میدهد. F1x و F1y اجزای بردار F هستند.1، بنابراین F2x و F2y اجزای بردار F هستند.2.
بردار مؤلفه با استفاده از فرمول تعیین میشود:
F1x = اف1 کسینوس θ
F1y = F1 sin θ
F 2x = F 2 cos θ
F1y = F1 sin θ
جمع بردارهای مؤلفه:
F x = F 1x + F 2x
Fy = F1y + F2y
بردار حاصل با استفاده از فرمول تعیین میشود:
جهت بردار حاصل با استفاده از فرمول تعیین میشود:
نمونه سوال ۱:
مولفههای بردار F را که بزرگی آن 20 نیوتن است و زاویه 30 درجه نسبت به محور x تشکیل میدهند، تعیین کنید.
F x = (20 نیوتن) (cos 30 o ) = 17 نیوتن
F y = (20 N) (sin 30 o ) = 10 N
نمونه سوال ۱:
F1 = 20 N زاویه 30 درجه نسبت به محور x و F2 = 15 N زاویه 180 درجه نسبت به محور x تشکیل میدهد. اندازه و جهت بردار حاصل را تعیین کنید.
F 1x = (20 N)(cos 30 o ) = 17 N
F 2x = F 1 = – 15 N
F 1y = (20 N) (sin 30 o ) = 10 N
F2y = 0
جمع بردارهای مؤلفه:
F x = F 1x – F 2x = 17 N – 15 N = 2 N
Fy = 10 N
بردار حاصل:
F2 = F x 2 + Fy 2 = 2 2 + 10 2 = 4 + 100 = 104
F = 10.2 نیوتن
جهت بردار برآیند:
θ = tan −15 = 78.7 o حول محور x
نمونه سوال ۳:
F1، F2, و F3 20 درجه شمالی، 30 درجه شمالی و 40 درجه شمالی فارنهایت هستند.1 زاویه ۳۱۵ درجه تشکیل میدهدo حول محور x، F2 زاویه ۳۱۵ درجه تشکیل میدهدo حول محور x و F3 زاویه ۳۱۵ درجه تشکیل میدهدo حول محور x. اندازه و جهت بردار حاصل را تعیین کنید.
F 1x = (20 N)(cos 60 o ) = 10 N
F 1y = (20 N) (sin 60 o ) = 17 N
F 2x = (30 N)(cos 30 o ) = -26 N
F 2y = (30 N) (sin 30 o ) = 15 N
F 3x = (40 N)(cos 45 o ) = 28 N
F 3y = (40 N) (sin 45 o ) = -28 N
اضافه کردن بردار مؤلفه:
F x = F 1x – F 2x + F 3x = 10 N – 26 N + 28 N = 12 N
F y = F 1y + F 2y - F 3y = 17 N + 15 N - 28 N = 4 N
بردار حاصل:
F2 = F x 2 + Fy 2 = 12 2 + 4 2 = 144 + 16 = 160
F = 13 نیوتن
جهت بردار برآیند:
θ = tan −1 0.3 = 17 o حول محور x
