نمونه سوالات مربوط به تبدیل در صفحه دکارتی
تبدیلات در صفحه دکارتی موضوع مهمی در ریاضیات، به ویژه هندسه، هستند. این تبدیلات شامل عملیات مختلفی مانند انتقال، انعکاس، چرخش و اتساع هستند که هدف آنها حرکت یا تغییر شکل یک جسم در یک صفحه دو بعدی است. این مقاله چندین مثال از مسائل را بررسی کرده و آنها را در رابطه با تبدیلات در صفحه دکارتی مورد بحث قرار خواهد داد.
انواع دگرگونی
قبل از اینکه به مثال مسئله بپردازیم، ابتدا انواع تبدیلهای زیر را مرور میکنیم:
۱. ترجمه (شیفت)
انتقال، جابجایی یک نقطه یا جسم در یک صفحه به اندازه یک فاصله مشخص در یک جهت مشخص است. انتقال را میتوان به صورت زیر تعریف کرد:
\[
(x, y) \rightarrow (x+a, y+b)
\]
که در آن \(a\) و \(b\) فواصل جابجایی افقی و عمودی هستند.
۲. بازتاب
بازتاب، بازتاب یک نقطه یا جسم در امتداد یک محور است، چه محور x، محور y یا خط دیگری. برای مثال، بازتاب در امتداد محور x:
\[
(x، y) \rightarrow (x، -y)
\]
۳. چرخش (چرخش)
چرخش، چرخش یک نقطه یا جسم به دور یک نقطه مرکزی با زاویه مشخص است. چرخش در خلاف جهت عقربههای ساعت به اندازه زاویه \(\theta\) را میتوان به صورت زیر بیان کرد:
\[
(x, y) \ فلش راست (x \cos \theta – y \sin \theta, x \sin \theta + y \cos \theta)
\]
۴. انبساط (مقیاسبندی)
اتساع، تغییر در اندازه یک جسم به اندازه یک ضریب مقیاس مشخص است. اگر ضریب مقیاس \(k\) باشد، اتساع را میتوان به صورت زیر بیان کرد:
\[
(x، y) \rightarrow (kx، ky)
\]
Contoh Soal Dan Pembahasan
سوال ۱: ترجمه
سوال:
یک انتقال در نقطه \(A(2, 3)\) با جابجایی 5 واحد به سمت راست و 4 واحد به سمت بالا انجام دهید.
بحث:
انتقال \(5\) واحد به سمت راست به معنای افزایش مختصات x به اندازه \(5\) است. عبارت "4 واحد به بالا" به معنای افزایش مختصات y به اندازه \(4\) است. نتیجه انتقال عبارت است از:
\[
(x، y) \rightarrow (x+5، y+4)
\]
بنابراین نقطه \(A(2, 3)\) پس از انتقال به صورت زیر میشود:
\[
(x+5, y+4) \rightarrow (2+5, 3+4) \rightarrow (7, 7)
\]
بنابراین، نقطه \(A(2, 3)\) بعد از انتقال، \(A'(7, 7)\) است.
سوال ۲: تأمل
سوال:
نقطه \(B(-4, 7)\) را حول محور yها منعکس کنید.
بحث:
بازتاب حول محور y، مختصات x را به منفی مختصات x اولیه تغییر میدهد، در حالی که مختصات y بدون تغییر باقی میماند.
\[
(x، y) \rightarrow (-x، y)
\]
بنابراین نقطه \(B(-4, 7)\) پس از بازتاب به صورت زیر میشود:
\[
(x, y) \rightarrow (-(-4), 7) \rightarrow (4, 7)
\]
بنابراین، نقطه \(B(-4, 7)\) پس از بازتاب حول محور y، \(B'(4, 7)\) است.
سوال ۳: چرخش
سوال:
نقطه \(C(1, 2)\) را به اندازه \(90^\circ\) در خلاف جهت عقربههای ساعت بچرخانید، به طوری که مرکز آن در مبدأ \((0, 0)\) قرار داشته باشد.
بحث:
چرخش \(90^\circ\) در خلاف جهت عقربههای ساعت را میتوان به صورت زیر بیان کرد:
\[
(x، y) \rightarrow (-y، x)
\]
بنابراین نقطه \(C(1, 2)\) پس از دوران به صورت زیر در میآید:
\[
(x، y) \rightarrow (-2، 1)
\]
بنابراین، نقطه \(C(1, 2)\) پس از چرخش \(90^\circ\) در خلاف جهت عقربههای ساعت، \(C'(-2, 1)\) است.
سوال ۴: اتساع
سوال:
نقطه \(D(3, 4)\) را با ضریب مقیاس \(k = 2\) منبسط کنید.
بحث:
اتساع با ضریب مقیاس \(2\) به معنی ضرب هر دو مختصات در \(2\) است.
\[
(x، y) \rightarrow (2x، 2y)
\]
بنابراین نقطه \(D(3, 4)\) پس از اتساع به صورت زیر در میآید:
\[
(x, y) \rightarrow (2 \times 3, 2 \times 4) \rightarrow (6, 8)
\]
بنابراین، نقطه \(D(3, 4)\) پس از اتساع با ضریب مقیاس \(2\) برابر است با \(D'(6, 8)\).
سوال ۵: ترکیب تبدیلها
سوال:
حول محور xها بازتاب دهید و سپس با ضریب مقیاس \(k = 0.5\) در نقطه \(E(8, -6)\) منبسط شوید.
بحث:
اولین قدم، تأمل در مورد محور x است:
\[
(x، y) \rightarrow (x، -y)
\]
\[
(8، -6) \rightarrow (8، 6)
\]
مرحله دوم انجام یک انبساط با ضریب مقیاس \(0.5\) است:
\[
(x، y) \rightarrow (0.5x، 0.5y)
\]
\[
(8، 6) \rightarrow (0.5 \times 8، 0.5 \times 6) \rightarrow (4، 3)
\]
بنابراین، نقطه \(E(8, -6)\) پس از بازتاب حول محور x و انبساط با ضریب مقیاس \(0.5\) برابر است با \(E'(4, 3)\).
سوال ۶: تبدیل با چرخش و انتقال
سوال:
نقطه \(F(-3, 4)\) را به اندازه \(180^\circ\) در خلاف جهت عقربههای ساعت بچرخانید، سپس نتیجه را با بردار \((2, -1)\) جابجا کنید.
بحث:
اولین قدم، چرخاندن به اندازه \(180^\circ\) در خلاف جهت عقربههای ساعت است:
\[
(x، y) \rightarrow (-x، -y)
\]
\[
(-۳، ۴) \rightarrow (۳، -۴)
\]
مرحله دوم انجام یک انتقال با بردار \((2, -1)\) است:
\[
(x, y) \rightarrow (x+2, y-1)
\]
\[
(۳، -۴) \rightarrow (۳+۲، -۴-۱) \rightarrow (۵، -۵)
\]
بنابراین، نقطه \(F(-3, 4)\) پس از دوران \(180^\circ\) و انتقال توسط بردار \((2, -1)\) برابر است با \(F'(5, -5)\).
نتیجه گیری
تبدیلات در صفحه دکارتی یک مفهوم مهم در هندسه است که شامل عملیات مختلفی مانند انتقال، بازتاب، چرخش و اتساع میشود. با درک نحوه عملکرد هر نوع تبدیل، میتوانیم به راحتی موقعیت یا شکل یک جسم را در صفحه تغییر دهیم. از طریق مثالهای بالا، میتوانیم کاربردهای عملی تبدیلات مختلف و نحوه ترکیب آنها برای دستیابی به تبدیلات پیچیدهتر را ببینیم. امیدواریم این مقاله در درک تبدیلات در صفحه دکارتی مفید بوده باشد.
