نمونه سوال در مورد جمع دو بردار با استفاده از روش متوازی الاضلاع
جمع بردارها یک مفهوم حیاتی در فیزیک و ریاضیات است که اغلب برای توصیف پدیدههای طبیعی و مسائل زندگی روزمره استفاده میشود. روشهای مختلفی برای جمع دو بردار وجود دارد که یکی از آنها روش متوازیالاضلاع است. این روش نه تنها شهودی است، بلکه تجسم قدرتمندی از چگونگی ترکیب دو بردار برای تشکیل یک بردار حاصل ارائه میدهد. در این مقاله، به چندین مثال از جمع بردارها با استفاده از روش متوازیالاضلاع، همراه با راهحلهای آنها، خواهیم پرداخت.
وکتور چیست؟
قبل از اینکه به مثالهای مسئله بپردازیم، باید تعریف اولیهی بردار را درک کنیم. بردار کمیتی است که هم اندازه (طول) و هم جهت دارد. نمونههای کلاسیک بردارها شامل سرعت، شتاب، نیرو و جابجایی هستند. یک بردار را میتوان به صورت مؤلفههای آن (i، j، k) در مختصات دکارتی یا به صورت طول و جهت آن (زاویه) نمایش داد.
روش متوازی الاضلاع
روش متوازیالاضلاع یکی از راههای جمع دو بردار است. در این روش، دو بردار را به عنوان دو ضلع یک متوازیالاضلاع نمایش میدهیم. بردار حاصل، قطر متوازیالاضلاع است که از نقطه شروع دو بردار شروع میشود. از نظر ریاضی، اگر دو بردار \(\vec{A}\) و \(\vec{B}\) داشته باشیم، حاصل \( \vec{R} = \vec{A} + \vec{B} \) است.
روش گام به گام استفاده از روش متوازی الاضلاع به شرح زیر است:
۱. بردار \(\vec{A}\) را از نقطه شروع رسم کنید.
۲. از انتهای بردار \(\vec{A}\)، بردار \(\vec{B}\) را رسم کنید.
۳. از نقطه شروع \vec{A}\، خطی موازی با بردار \(\vec{B}\) رسم کنید.
۴. از انتهای بردار \(\vec{B}\) خطی موازی با بردار \(\vec{A}\) رسم کنید.
۵. یک قطر از نقطه شروع به گوشه مقابل رسم کنید تا بردار حاصل \(\vec{R}\) به دست آید.
Contoh Soal Dan Pembahasan
سوال ۳
فرض کنید دو بردار ∈(A)∈ و ∈(B)∈ داریم:
– \(\vec{A}\) دارای طول (بزرگی) ۵ واحد و جهت ۰ درجه (یا در امتداد محور x مثبت) است،
– \(\vec{B}\) طولی برابر با ۳ واحد و جهتی برابر با ۹۰ درجه (یا در امتداد محور مثبت y) دارد.
حاصل جمع این دو بردار با استفاده از روش متوازی الاضلاع چیست؟
بحث:
۱. بردار \(\vec{A}\) را در امتداد محور x مثبت با طول ۵ واحد رسم کنید.
۲. از انتهای بردار \(\vec{A}\)، بردار \(\vec{B}\) را در امتداد محور مثبت y با طول ۳ واحد رسم کنید.
۳. از نقطه شروع \(\vec{A}\)، خطی موازی با \(\vec{B}\) رسم کنید.
۴. از انتهای \(\vec{B}\)، خطی موازی با \(\vec{A}\) رسم کنید.
۵. نتیجه یک متوازیالاضلاع با قطری است که بردار حاصل \(\vec{R}\) است.
از آنجایی که \(\vec{A}\) و \(\vec{B}\) بر یکدیگر عمود هستند، میتوانیم از قضیه فیثاغورث برای محاسبه طول بردار حاصل استفاده کنیم:
\[ R = \sqrt{A^2 + B^2} = \sqrt{5^2 + 3^2} = \sqrt{25 + 9} = \sqrt{34} \تقریباً 5.83 \]
جهت بردار حاصل را میتوان با استفاده از مثلثات محاسبه کرد. اگر \(\theta\) زاویه بین بردار حاصل و \(\vec{A}\) باشد:
\[ \tan(\theta) = \frac{B}{A} = \frac{3}{5} \]
بنابراین:
\[ \theta = \tan^{-1}\left(\frac{3}{5}\right) \approx 30.96^\circ \]
بنابراین، بردار حاصل \(\vec{R}\) دارای بزرگی حدود ۵.۸۳ واحد و جهتی حدود ۳۰.۹۶ درجه از \(\vec{A}\) است.
سوال ۳
دو بردار \(\vec{C}\) و \(\vec{D}\) به صورت زیر داده شدهاند:
– \(\vec{C}\) با طول ۴ واحد و جهت ۴۵ درجه.
– \(\vec{D}\) با طول ۶ واحد و جهت ۱۲۰ درجه.
بردار حاصل \(\vec{R}\) را از جمع دو بردار تعیین کنید.
بحث:
برای جمع دو بردار که بر هم عمود نیستند یا اشکال متفاوتی دارند، میتوانید از مؤلفههای دکارتی استفاده کنید.
۱. \(\vec{C}\) و \(\vec{D}\) را به مؤلفههای x و y بشکنید.
برای \(\vec{C}\):
\[ C_x = C \cos(45^\circ) = 4 \cos(45^\circ) = 4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2} \تقریباً 2.83 \]
\[ C_y = C \sin(45^\circ) = 4 \sin(45^\circ) = 4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2} \تقریباً 2.83 \]
برای \(\vec{D}\):
\[ D_x = D \cos(120^\circ) = 6 \cos(120^\circ) = 6 \cdot (-\frac{1}{2}) = -3 \]
\[ D_y = D \sin(120^\circ) = 6 \sin(120^\circ) = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3} \تقریباً 5.20 \]
۲. مؤلفههای x و y هر دو بردار را با هم جمع کنید:
\[ R_x = C_x + D_x = 2.83 + (-3) = -0.17 \]
\[ R_y = C_y + D_y = 2.83 + 5.20 = 8.03 \]
۳. اندازه و جهت بردار حاصل \(\vec{R}\) را محاسبه کنید:
\[ R = \sqrt{R_x^2 + R_y^2} = \sqrt{(-0.17)^2 + 8.03^2} = \sqrt{0.03 + 64.48} = \sqrt{64.51} \تقریباً 8.03 \]
\[ \theta = \tan^{-1}\left(\frac{R_y}{R_x}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{8.03}{-0.17}\right) \approx \tan^{-1}(-47.24) \]
از آنجایی که نتیجه منفی است، ۱۸۰ درجه را اضافه میکنیم تا زاویه در دستگاه ربع دایره صحیح را بدست آوریم:
\[ \theta \approx \tan^{-1}(47.24) + 180^\circ \approx 271.93^\circ \]
بنابراین، بردار حاصل \(\vec{R}\) دارای بزرگی حدود ۸.۰۳ واحد و جهتی حدود ۲۷۱.۹۳ درجه است، یا میتوانیم بگوییم حدود ۹۱.۹۳ درجه از محور x منفی در ربع چهارم.
بستن
روش متوازیالاضلاع روشی مؤثر و بصری برای جمع دو بردار است. اگرچه این روش ممکن است برای بردارهای ساده ساده به نظر برسد، اما درک این نکته مهم است که برای بردارهای پیچیدهتر، اغلب برای دستیابی به نتایج دقیق، نیاز به استفاده از مؤلفههای دکارتی و تکنیکهای جبری پیشرفتهتر داریم. امیدواریم مثالهای بالا تصویر روشنی از نحوهی بهکارگیری این روش در موقعیتهای مختلف ارائه دهند.
