نمونه سوالات بحث در مورد مقاطع مخروطی سهموی
یک مقطع مخروطی بخشی از یک سطح مخروطی است که توسط یک صفحه برش داده شده است. اشکال هندسی مقاطع مخروطی شامل دایره، بیضی، سهمی و هذلولی است. در این مقاله، ما بر سهمی، یکی از رایجترین انواع مقاطع مخروطی که در زمینههای مختلف علوم، به ویژه ریاضیات و فیزیک با آن مواجه میشویم، تمرکز خواهیم کرد. سهمی را میتوان به عنوان مجموعهای از نقاط که از یک نقطه ثابت (کانون) و یک خط ثابت (هادی) به یک فاصله هستند، تعریف کرد.
تعریف سهمی
برای درک بیشتر مفهوم سهمی، لازم است چندین عنصر مهم از سهمی را درک کنید، یعنی:
۱. رأس (قله): نقطه عطف سهمی که در آن سهمی تغییر منحنی میدهد.
۲. کانون: یک نقطه ثابت در صفحه که برای تعریف سهمی استفاده میشود.
۳. خط هادی: یک خط ثابت در صفحه که برای تعریف سهمی استفاده میشود.
۴. محور تقارن: خطی که از کانون و رأس سهمی میگذرد و سهمی را به دو قسمت متقارن تقسیم میکند.
معادله کلی یک سهمی که رأس آن در مبدأ مختصات (0,0) قرار دارد را میتوان به دو شکل نوشت:
- سهمی افقی: \( y^2 = 4ax \)
– سهمی قائم: \( x^2 = 4ay \)
که در آن \(a\) فاصله رأس تا کانون است.
نمونه سوالات و مباحث
در ادامه چندین نمونه سوال و بحث در مورد آنها در رابطه با سهمیها آمده است.
مثال سوال ۶
سوال:
معادله سهمی را که رأس آن در مبدأ مختصات (0،0) و کانون آن در نقطه (3،0) است، تعیین کنید.
بحث:
از روی سوال، میبینیم که کانون سهمی در نقطه (3,0) قرار دارد. از آنجایی که کانون روی محور x مثبت است، میدانیم که سهمی باید افقی باشد.
برای یک سهمی افقی، از معادله کلی \(y^2 = 4ax \) استفاده میکنیم.
از آنجایی که کانون در (3,0) است، پس \(a = 3\).
بنابراین، معادله سهمی به صورت زیر است:
\[y^2 = 4 \cdot 3 \cdot x \]
\[y^2 = 12x \]
مثال سوال ۶
سوال:
معادله سهمیای را تعیین کنید که دارای رأسی در مبدأ مختصات (0,0) و هادی x = -4 باشد.
بحث:
خط هادی یک سهمی، دورترین خط ثابت از رأس و روبروی کانون است. بنابراین، اگر خط هادی x = -4 باشد، کانون در (4,0) قرار دارد.
باز هم، این نشان میدهد که سهمی افقی است.
فاصله از رأس تا کانون، \(a = 4\).
معادله سهمی به صورت زیر است:
\[y^2 = 4 \cdot 4 \cdot x \]
\[y^2 = 16x \]
مثال سوال ۶
سوال:
یک سهمی با معادلهی \(x^2 = 8y \) داده شده است. مختصات رأس، کانون و معادلهی هادی را تعیین کنید.
بحث:
از معادله \(x^2 = 8y\)، میتوان دریافت که این یک سهمی عمودی است.
برای یک سهمی به فرم \( x^2 = 4ay \)، میتوانیم موارد زیر را مقایسه کنیم:
\[4a = 8 \]
\[ a = 2 \]
این نشان میدهد که فاصله از قله تا کانون ۲ است.
مختصات پیک: از آنجایی که هیچ تغییری وجود ندارد، پیک در مبدا (0، 0) باقی میماند.
– کانون: کانون در امتداد محور مثبت y و در فاصله a از رأس، یعنی (0، 2) قرار دارد.
– هادی: هادی خط y = -a است، بنابراین هادی y = -2 است.
مثال سوال ۶
سوال:
معادله سهمی را که کانون آن در نقطه (0، -2) و رأس آن در نقطه (0، 0) است، تعیین کنید.
بحث:
این مسئله نشان میدهد که سهمی عمودی و نزولی است (زیرا کانون در زیر رأس قرار دارد).
برای یک سهمی قائم رو به پایین، فرم کلی به صورت \( x^2 = -4ay \) است.
فاصله از رأس تا کانون، \(a = 2 \).
بنابراین، معادله سهمی به صورت زیر است:
\[ x^2 = -4 \cdot 2 \cdot y \]
\[x^2 = -8y \]
مثال سوال ۶
سوال:
یک سهمی دارای معادلهی \(y^2 + 4y – 4x + 20 = 0 \) است. مختصات رأس، کانون و هادی آن را تعیین کنید.
بحث:
مرحله 1: فرم معادله سهمی را به فرم استاندارد تغییر دهید.
با بازنویسی معادله شروع کنید:
\[ y^2 + 4y – 4x + 20 = 0 \]
\[ y^2 + 4y = 4x – 20 \]
مرحله 2: مربع کامل را برای قسمت \(y\) کامل کنید:
\[ y^2 + 4y + 4 = 4x – 20 + 4 \]
\[ (y + 2)^2 = 4x – 16 \]
\[ (y + 2)^2 = 4(x – 4) \]
مرحله ۳: با فرم کلی \((y – k)^2 = 4a(x – h) \) مقایسه کنید. در این حالت، \(a = 1\)، \(k = -2\) و \(h = 4\) .
– مختصات اوج: (۴، -۲)
– کانون: از آنجایی که \(a = 1\)، فاصله آن از رأس 1 واحد است. کانون (4+1, -2) = (5, -2) است.
– هادی: خط عمودی از \(x = h – a = 4 – 1 = 3 \) عبور میکند. بنابراین، هادی \(x = 3 \) است.
با درک انواع مختلف مسائل و روشهای حل آنها، امید است درک شما از سهمیها بهبود یابد. برای تقویت این مفهوم، مسائلی با اشکال و پیکربندیهای مختلف را تمرین کنید. سهمیها نه تنها یک مفهوم ریاضی هستند، بلکه کاربردهای بیشماری در فیزیک و مهندسی، از جمله مسیر پرتابهها و بازتابندههای سهموی در سیستمهای ارتباطی، دارند. هر چه بیشتر تمرین کنید، بیشتر بر این موضوع تسلط خواهید یافت.
