Batez bestekoaren, medianaren eta modaren arteko desberdintasunak estatistika deskribatzailean
Estatistika deskribatzailean, helburu nagusietako bat datuak laburbiltzea da, erraz ulertzeko. Datu handiak, askotarikoak eta batzuetan "nahasiak" informazio gehiago emango dute joera zentralaren neurrien moduan aurkezten direnean. Joera zentralaren hiru neurririk erabilienak batez bestekoa, mediana eta moda dira. Hirurek datu-multzo baten "balio adierazgarria" erakustea dute helburu, baina haien funtzionamendu-metodoak, muturreko balioekiko sentikortasuna eta erabilera-egoera egokiak nabarmen aldatzen dira.
Artikulu honek batez bestekoaren, medianaren eta modaren esanahia, nola kalkulatu, abantailak eta desabantailak eta aplikazioaren adibideak aztertzen ditu, aztertzen ari diren datuetarako neurririk egokiena aukeratu ahal izateko.
1. Batez bestekoa (Average): Definizioa eta nola kalkulatu
Batez bestekoa datu-balio guztien batura datu-puntu kopuruarekin zatituta da. Askotan "batez bestekoa" deitzen zaio, eta batez bestekoa da eguneroko bizitzan ezagunena. Datuen erdigunearen argazki bat ematen du balio guztiak proportzionalki kontuan hartuta.
Batez besteko formula:
\[
\bar{x} = \frac{\sum x_i}{n}
\]
Informazioa:
– \(\sum x_i\) = datu guztien balioen batura
– \(n\) = datu kopurua
Kontua:
Demagun bost ikasleren azterketako puntuazioak hauek direla: 70, 75, 80, 85, 90.
Batez bestekoa = (70 + 75 + 80 + 85 + 90) / 5 = 400 / 5 = 80
Batez besteko abantailak
1. Erabili datu guztiak, erabilitako informazioa osoa izan dadin.
2. Erraz kalkulatzen da eta oso erabilia da analisi aurreratuan (adibidez, bariantza, desbideratze estandarra).
3. Datu numerikoetarako eta banaketa nahiko simetrikoetarako egokia.
Batez besteko gabezia
1. Oso sentikorra kanpoko balioekiko. Muturreko balio batek batez bestekoa datu gehienetatik urrundu dezake.
2. Ez ditu beti “balio tipikoak” adierazten datuen banaketa okertua bada.
Kanpoko efektuen adibideak:
Diru-sarreren datuak (milioi errupia): 3, 3, 4, 4, 5, 50
Batez bestekoa = (3+3+4+4+5+50)/6 = 69/6 = 11,5
Diru-sarrera gehienak 3-5 milioi tartean dauden arren, batez bestekoa ez da hain adierazgarria.
2. Mediana (erdiko balioa): definizioa eta nola kalkulatu
Mediana datuak txikienetik handienera ordenatzen direnean erdian dagoen balioa da. Medianak magnitude orokorra baino posizioa azpimarratzen du, eta horrek muturreko balioen aurrean erresistenteagoa egiten du.
Nola zehaztu mediana:
1. Ordenatu datuak.
2. Datuen kopurua bakoitia bada, mediana erdiko posizioan dagoen balioa da.
3. Datuen kopurua bikoitia bada, mediana bi erdiko balioen batez bestekoa da.
Adibidea (arraroa):
Datuak: 2, 3, 5, 7, 9
Mediana = erdiko balioa = 5
Adibidea (bikoitia):
Datuak: 10, 20, 30, 40
Mediana = (20 + 30) / 2 = 25
Abantailak medianak
1. Muturreko balioen eta kanpoko balioen aurrean erresistentea.
2. Egokia datu okerrak lortzeko, hala nola diru-sarreren, etxebizitzen prezioen edo itxaronaldien kasuan.
3. Datu ordinaletarako erabil daiteke (adibidez, gogobetetasun-balorazioak: oso pozik, pozik, neutroa, atsekabetuta).
Batez besteko gabeziak
1. Ez ditu datu-balio guztiak erabiltzen bere kalkuluetan ("posizioan oinarritutako" gehiago).
2. Batez besteko propietateak behar dituen analisi matematiko aurreratuetarako ez da hain egokia.
Diru-sarreren adibidera itzultzen bagara: 3, 3, 4, 4, 5, 50
Datuak ordenatuta daude, 6 daturen mediana 3. eta 4. balioen batez bestekoa da: (4 + 4) / 2 = 4
Mediana hau askoz ere adierazgarriagoa da gehiengoaren baldintzen inguruan.
3. Modua (Balio Gehiena): Definizioa eta Nola Zehaztu
Moda datu-multzo batean maizen agertzen den balioa da. Kasu batzuetan, datuek honako hauek izan ditzakete:
– Modu bakarra (unimodala): balio bat agertzen da maizen
– Bi modu (bimodala): bi balio agertzen dira maizen
– Modu asko (multimodala)
– Modurik gabe: balio guztiak maiztasun berdinarekin agertzen badira
Kontua:
Datuak: 2, 3, 3, 4, 5
Modua = 3 (gehien agertzen da)
Adibide bimodala:
Datuak: 1, 2, 2, 3, 3, 4
Modua = 2 eta 3
Moduaren abantailak
1. Datu nominaletarako (adibidez, kolore gogokoena, marka nahiagoena) erabil daitekeen joera zentralaren neurri bakarra.
2. Erraz ulertzen da, berehala erakusten baitu kategoria/balio nagusiena.
3. Ez zaie kanpoko balioek eragiten, muturreko balioek ez baitute gehien agertzen diren balioen maiztasuna aldatzen.
Modu falta.
1. Batzuetan ez da bakarra (bat baino gehiago izan daiteke) edo ez da existitzen ere.
2. Egonkortasun gutxiagokoa izan daiteke; datuetan izandako aldaketa txikiek modua alda dezakete.
3. Ez du beti datuen “erdigunea” matematikoki adierazten.
4. Batez bestekoaren, medianaren eta modaren arteko desberdintasun nagusiak
Laburbilduz, hiruren arteko desberdintasunak kalkulu-metodoan, muturreko balioekiko sentikortasunean eta datu-mota egokietan ikus daitezke:
1. Batez bestekoak balio guztiak erabiltzen ditu, datu numeriko simetrikoetarako egokiena, baina kanpoko balioekiko sentikorra.
2. Posizioan oinarritutako mediana, datu okertuetarako egokia, muturreko balioen aurrean sendoagoa.
3. Maiztasunean oinarritutako modua, datu kategoriko/nominaletarako eta balio nagusiena ikusteko egokia.
Estatistika liburu askotan, hiru banaketen arteko erlazio orokor bat dago:
– Banaketa simetrikoa: batez bestekoa ≈ mediana ≈ moda
– Eskuinera okertutako banaketa (eskuinera okertua): batez bestekoa > mediana > moda
– Ezker-oihartutako banaketa: batez bestekoa < mediana < moda Hala ere, joera bat da, ez arau absolutua. 5. Noiz erabili batez bestekoa, mediana edo moda? Joera zentralaren neurri egokia aukeratzea datuen izaeraren eta analisiaren helburuaren araberakoa da. Erabili batez bestekoa baldin eta: - Datuak numerikoak badira (tartea/erlazioa). - Banaketa nahiko simetrikoa bada. - Ez dago muturreko baliorik edo balio horiek kudeatu dira. - Beste kalkulu estatistiko batzuetarako oinarri bat behar baduzu. Egoera estatistikoa: batez besteko klaseko proben puntuazioak, puntuazioen banaketa bidezko batekin.
